创新题型 期末复习（含答案）2024-2025学年人教版八年级数学上册

创新题型
创新题型———开放性试题
1.若长度分别为3,4,a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是 .(写出一个即可)
2.已知多项式 与一个单项式的和是一个多项式的平方，则满足条件的单项式可以是 (写出一个即可).
3.①当x≠1时,分式有意义；②当x= -2时，分式的值为0.请写出一个同时满足以上两个条件的分式： .(写出一个即可)
4.如图,在△ABC 和△DEF中,B,E,C,F在同一直线上.下面给出四个论断：
①AB = DE;②AC = DF;③∠ABC = ∠DEF;④BE=CF.
(1)把上述论断中的三个作为已知条件，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并给出证明.
(2)在(1)的基础上,若∠B=50°,∠D=55°,求∠ACF 的度数.
5.如图,在△AMN 中,∠MAN>90°,AM 的垂直平分线交 MN 于点B,交AM 于点 E,AN的垂直平分线交 MN于点C,交AN于点 F,连接AB,AC.
(1)若AM=AN,∠MAN=120°,则△ABC 的形状是 .
(2)若去掉(1)中“∠MAN=120°”的条件,其他条件不变，判断△ABC 的形状，并说明理由.
(3)当∠M，∠N 之间满足的数量关系为 时，△ABC 是等腰三角形.(写出一个即可)
创新题型———新定义试题
1.定义一种“ ”运算: 例如： 则方程 的解是 ( )
A. x= -1 D. x=2
2.定义一种新运算(a,b),若 ,则(a,b) =c.例:(2,8) =3,(3,81)=4.若(3,5)+(3,7)=(3,x),则x的值为 .
3.已知a，b是实数，定义“△”的运算:
(1)小明通过计算发现a△b= - 4ab,请说明它成立的理由.
(2)若 求 的值.
(3)请判断等式(a△b)△c=a△(b△c)是否成立.并说明理由.
4.定义：
在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3 倍，那么这样的三角形叫做“梦想三角形”.反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍.
(1)如果一个“梦想三角形”有一个内角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 .
(2)如图,已知∠O=60°,在射线OM 上取一点A,过点A作 AB⊥OM 交射线 ON 于点 B,在线段 OB 上取一点 C(点 C 不与点 O,B重合),连接AC.若∠ACB=80°,则△AOB,△AOC 是否为“梦想三角形”，请说明理由.
创新题型———阅读理解题
1.阅读并完成相应的任务.如图，小华站在堤岸边的凉亭A 点处，他正北方向的 B 点处停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制订了如下方案.
课题 测量凉亭与游艇之间的距离
测量工具 皮尺等.
测量方案 示意图 (不完整)
测量步骤 ①小华沿堤岸向正西方向直行到电线杆 C 点处; ②再往正西方向走相同的距离，到达 D点处； ③然后他向正南方向直行，当自己、电线杆与游艇在同一条直线上时停下来，此时小华位于 E 点处.
测量数据 AC=20米,CD=20米,DE=8米.
任务一：根据题意将测量方案示意图补充完整.
任务二：①凉亭与游艇之间的距离是 米.
②请你说明小华方案的合理性.
2.阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：
我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.
如 这样的分式就是假分式；再如 这样的分式就是真分式.假分式也可以化为带分式(即：整式与真分式的和的形式).如:
解决下列问题：
(1)分式 是 分式(填“真”或“假”);
(2)将假分式 化为带分式；
(3)如果x为整数，分式 的值为整数，求所有符合条件的x的值的和.
3.对于二次多项式 我们把x= - 3代入多项式，发现 由此可以推断多项式中有因式(x+3)[注：把x=a代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式含有因式(x-a)].设另一个因式为(x+k),则有 3k,所以k+3 = - 4,解得k= - 7,|因此多项式因式分解得x -4x-21=(x+3)(x-7).
我们把以上因式分解的方法叫做“试根法”.
【解决问题】
(1)当x= 时,多项式 所以 可以因式分解为 .
(2)对于三次多项式 我们把x=1代入多项式，发现 0，由此可以推断多项式中有因式(x-1)，设另一个因式为 则有 求a,b的值.
(3)对于三次多项式 用“试根法”因式分解.
4.阅读：数学课上，老师出了这样一道题：“如图(1)，在△ABC 中,AD 平分∠BAC,∠B =2∠C.求证:AB+BD=AC.”
分析：要证AB +BD =AC，就是要证线段的和差问题，所以有两种方法.
方法一：“截长法”. 如图(2)，在AC 上截取AE=AB,连接DE,只要证 BD = 即可,这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出△ ≌△ ，得出∠B=∠AED及BD= ,再证出∠ =∠ ,进而得出 ED=EC,则结论成立.
方法二:“补短法”.如图(3),延长AB 至点 F,使BF=BD,连接DF……
(1)请将方法一的解题思路补充完整.
(2)请将方法二的证明过程补充完整.
抓分小卷6
1.5【答案不唯一,只要12.4a(答案不唯一,或-4a等)
(答案不唯一)
4.【参考答案】(1)若选①③④为条件,②为结论.
∵BE=CF,
∴BE+CE=CF+CE,即BC=EF,在△ABC和△DEF中.
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴AC=DF,
故本命题为真命题，符合题意.
若选①②④为条件，③为结论.
∵BE=CF,
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∴BE+CE=CF+CE,即BC=EF,在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SSS),
∴∠ABC=∠DEF,
故本命题为真命题，符合题意.
若选①②③为条件，④为结论，
无法证明△ABC≌△DEF，故本命题不是真命题.
若选②③④为条件，①为结论，
无法证明△ABC≌△DEF，故本命题不是真命题.
(本题答案不唯一，但是若选择①②③为条件④为结论或者②③④为条件①为结论，则不符合题意，错误)
(2)结合(1)可得△ABC≌△DEF,∴ ∠A =∠D=55°,∴∠ACF=∠A +∠B =105°.
5.【参考答案】(1)等边三角形
(2)△ABC是等腰三角形.
理由:∵AM=AN,
∴∠M=∠N.
∵ BE 是线段AM 的垂直平分线，
∴AB=BM,∴ ∠MAB=∠M.
同理可得∠NAC=∠N.
∵∠ABC=∠M+∠MAB,∠ACB=∠N+∠NAC,
∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,
∴ △ABC 是等腰三角形.
(3)∠M =∠N(答案不唯一,或2∠M +∠N=90°,∠M+2∠N=90°)
解法提示:若∠M=∠N,方法同(2).
若2∠M+∠N=90°,
由题意可得,∠M=∠MAB.
∵2∠M+∠N=90°,
∴∠M +∠MAB+∠N=90°,
∴∠BAN=90°,
∴ ∠NBA+∠N=∠BAC+∠NAC=90°.
又∠N=∠NAC,
∴∠NBA =∠BAC,∴CB=CA,
∴ △ABC 是等腰三角形.
若∠M+2∠N=90°,方法同上.
综上所述,当∠M=∠N,2∠M +∠N =90°或∠M+2∠N=90°时,△ABC是等腰三角形.
抓分小卷7
1. B 根据题中的定义得 整理得 去分母,得-x=1+x-2,解得 经检验， 是该分式方程的解，∴该分式方程的解为
2.35 设3"=5,3"=7,,依题意得(3,5)=m,(3,7)=n,∴(3,5)+(3,7)=m+n,∴(3,x)=
3.【参考答案】(1)理由: 故a△b= - 4ab成立.
(2)由题意得，
(3)成立.
理由如下：
由(1)可知(a△b)△c=( - 4ab)△c= - 4×(-4ab)×c=16abc,
a△(b△c)=a△( - 4bc)= - 4a×(-4bc)=16abc,∴(a△b)△c=a△(b△c).
4.【参考答案】(1)36°或18°
(2)△AOB,△AOC都是“梦想三角形”.
理由:∵AB⊥OM,∴∠OAB=90°,
∴∠ABO=90°-∠O=30°,∴∠OAB=3∠ABO,
∴ △AOB 为“梦想三角形”.
∵∠O=60°,∠ACB=80°,
∴∠OAC=80°-60°=20°,
【技巧】三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和
∴∠O=3∠OAC,
∴ △AOC 是“梦想三角形”.
1.【参考答案】任务一：补充测量方案示意图如图所示.
任务二：①8
②如图,由题意可知,AC=20 米,CD =20 米,DE=8米,∠A =∠D=90°.
在△ABC和△DEC中,
∴△ABC≌△DEC(ASA),∴AB=DE=8米,
∴小华的方案是合理的.
2.【参考答案】(1)真
(2)原式
(3)原式
因为x为整数，分式的值为整数，所以x+1的值为-3,-1,1,3,
解得x=-4,-2,0,2,
则所有符合条件的x的值的和为-4+(-2)+0+2=-4.
3.【参考答案】(1)±2 (x+2)(x-2)
(2)由题意可知
所以-(1-a)=-1,-b=3,
解得a=0,b=-3.
(3)当x=2时,
所以多项式有因式(x-2).
设另一个因式为
所以
(2c-d)x-2d,
所以c-2=4,2d=18,
解得c=6,d=9,
所以
【易错】因式分解要彻底
(x-2)(x+3) .
4.【参考答案】(1)EC ABD AED DE EDC(C)C(EDC)
(2)证明:如图(3),延长AB 至点 F,使BF=BD,连接DF,
∴∠F=∠BDF,
∴∠ABD=∠F+∠BDF=2∠F.
∵∠ABD=2∠C,∴∠F=∠C.
∵AD平分∠BAC,∴∠FAD =∠CAD.
在△AFD 和△ACD 中
∴△AFD≌△ACD(AAS),
∴AF=AC.
∵AF=AB+BF,BF=BD,
∴AC=AB+BD.