创新题型———新定义试题期末复习练习（含答案）2024-2025北师大版九年级数学上册

创新题型———新定义试题
1.对于4个实数a，b，c，d给出一种新的运算，定义 bc.例如: 则方程 的根的情况为 ( )
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
2.定义新运算:a b= 例如： 3 则y=3 x(x≠0)的图象是( )
3.定义：一次函数y= ax+b 的特征数为[a. b],若一次函数 y =-2x+m的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数 的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，则一次函数y= -2x+m的特征数是 ( )
A.[2,3] B.[2,-3]
C.[-2,3] D.[ - 2,-3]
4.如图，定义：若双曲线 与它的一条对称轴y=x相交于A. B两点，则线段AB 的长度称为双曲线 (k>0)的对径.若双曲线 的对径是8,则k= .
5.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”.如图，已知线段 CD 是△ABC 的“和谐分割线”,△ACD 为等腰三角形,△CBD∽△ABC.若∠A =46°,则∠ACB的度数为 .
6.我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和.如图(1), ar+ cq+ bp是该三角形的顺序旋转和, ap + bq + cr是该三角形的逆序旋转和.已知某三角形的特征值如图(2)，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于 4 的概率是 .
7.已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)定义：如果两个一元二次方程有且仅有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，若关于x的一元二次方程 4x+k=0与 是“友好方程”，且k 是符合(1)中条件的最大整数，求m的值.
8.定义：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形，如图,筝形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点O,且AC垂直平分BD.
(1)请结合图形与定义，写出筝形的两条性质.
性质1: ;
性质2: .
(2)若AB∥CD,求证:四边形ABCD为菱形.
9.定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等)，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”.
(1)如图(1)，△ABC 的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD 是以AC为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出△ACD(找出3个即可)；
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(2)如图(2),在四边形 ABCD 中,∠ABC =80°, ∠ADC = 140°, 对角线 BD 平分∠ABC,则BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”吗 请说明理由.
答案
即 ∴该方程有两个相等的实数根.
2. D 由题意得 当x>0时，反比例函数 的图象在第一象限；当x<0时，反比例函数 的图象在第二象限,故选 D.
3. D 将一次函数y=-2x+m向上平移3个单位长度后得到y=-2x+m+3,设A(x ,y ),B(x ,y ),联立 得 (m+3)x-3=0.∵x 和x 是方程 3)x-3=0的两根. A,B两点关于原点对称， ∴m= - 3,∴一次函数y= - 2x+m的特征数是[-2,-3].
〔排除法〉由定义可知.一次函数y=-2x+m的特征数是[-2、m],故排除A,B.∵反比例函数 的图象是中心对称图形，对称中心是原点，∴一次函数y=-2x+∞的图象向上平移3个单位长度后，与反比例函数的交点关于原点对称,∴一次函数y=-2x+m+3经过原点,∴m+3=0,即m=-3.∴一次函数y=-2x+m的特征数为[-2.-3].
4.8 由题意得,AB=8,OA=4.过点A 作AC⊥x轴于点(C, ∴点A的坐标为(2 ,2/2),把. 代入 得
5.113°或92° ∵ △BCD∽△BAC,∴∠BCD =∠A=46°.∵ △ACD 是等腰三角形,∠ADC >∠BCD,∴∠ADC>∠A,即AC≠CD.当AC =AD 时, 67°,∴ ∠ACB =67°+46°=113°;当 DA = DC时,∠ACD=∠A=46°,∴∠ACB =46°+46°=92°.
6. 该三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差为(4x+2k+3y)-(3x+2y+4k) =x+y-2k.当x+y-2k<4时,∵k≥l,∴x+y<6.从1,2,3中任取一个数作为x,从1,2,3,4中任取一个数作为y.画树状图如图所示：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4 的结果有9种，故所求概率为
7.(1)∵关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，∴△>0,即( 且k≠2,∴k<4且k≠2.
(2)由题意，得k=3，此时方程为 解得
当x=3时,
当x=1时,m=0,
∴m的值为 或0.
8.(1)对角线互相垂直 是轴对称图形
(2)证明:∵AC垂直平分BD,
∴AB=AD,BO=DO,BC=DC.
∵AB∥CD,∴∠ABO=∠ODC.
在△ABO 和△CDO中,
∴△AOB≌△COD(ASA),
∴AB=CD,∴AB=CD=BC=AD,
∴ 四边形ABCD 为菱形.
9.(1)如图.
解法提示：由题意得
∠ABC=90°,AC=5.
当∠ACD=90°时,
△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA,
或
列
∴CD=10或CD=2.5.
同理可得,当∠CAD = 90°时,AD =2. 5 或AD=10,
∴△ACD ,△ACD ,△ACD ,△ACD 即为所求.
(2)当AB≠BD 时,BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”;当 AB = BD 时,BD 不是四边形ABCD的“相似对角线”.
理由如下：
∵∠ABC=80°,BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC=40°,
∴ ∠A+∠ADB=140°.
∵∠ADC=140°,
∴∠BDC+∠ADB=140°,∴ ∠A=∠BDC.
当AB≠BD时,△ABD∽△DBC,
∴ BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”;
当AB=BD时,△ABD≌△DBC,
∴ BD 不是四边形ABCD 的“相似对角线”.