相似三角形的四大常考模型 期末复习练习（含答案）2024-2025北师大版九年级数学上册

相似三角形的四大常考模型
A字型
1.如图,在△ABC中， 则下列结论中正确的是 ( )
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=2,AB =2 点 D 在边 AC,.上,CD:AD=1:3,连接BD,点E 在线段 BD上,如果∠BCE=∠A,那么CE= .
8字型
3.如图,△ABC 中,A,B两个顶点在x轴的上方，点C 的坐标是(1，0)，以点 C 为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍，设点 B 的横坐标是a，则点 B 的对应点 B'的横坐标是 ( )
A. -2a+3 B. -2a+1
C. -2a+2 D. -2a-2
手拉手型
4. 如图,四边形 ABCD 中,AC 平分∠DAB,∠ADC=∠ACB =90°,E 为 AB 的中点,连接DE,CE,且DE交AC于点 F.
(1)求证:
(2)若AD=4,AB=6,求 的值.
5.如图,已知∠DAB =∠ECB,∠ABD=∠CBE.求证:△ABC∽△DBE.
6.如图,在△ABC 和△DEC中,已知∠ACB =∠DCE=90°,AC=6,BC=3,CD=5,CE=2.5,连接AD,BE.
(1)求证:△ACD∽△BCE;
(2)若∠BCE=45°,求△ACD的面积.
一线三等角型
7.如图,已知AB⊥BD,ED⊥BD,C是线段 BD 的中点,且AC⊥CE,若ED=2,BD=8,则AB=
8.(1)问题发现:如图(1),△ABC 是等边三角形,点 D,E 分别在边 BC,AC 上,若∠ADE =60°，则可得结论：
(2)拓展探究:如图(2),△ABC 是等腰三角形,AB =AC,∠B =α,点 D,E 分别在边BC,AC上.若∠ADE =α,则(1)中的结论是否仍然成立 请说明理由.
(3)解决问题:如图(3),在△ABC 中,∠B =30°,AB=AC=4 cm,点 P 从点 A 出发,以l cm/s 的速度沿AB 向点 B 匀速运动,同时点M 从点 B 出发，以 的速度沿BC 向点 C 匀速运动，当其中一个点运动至终点时，另一点也随之停止运动.连接PM,在PM 右侧作∠PMG=30°,该角的另一边交射线 CA 于点 G，连接PG.设运动时间为 ts，当△APG为等腰三角形时，请直接写出t的值.
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答案
3. A
4.(1)证明:∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠CAB.
∵∠ADC=∠ACB=90°,∴△ADC∽△ACB,
(2)∵∠ACB=90°,E为AB的中点,∴CE=BE=AE,∴∠EAC =∠ECA,
∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB,∴ ∠DAC=∠ECA.
又∠AFD=∠CFE,∴ △AFD∽△CFE,
5.证 明:∵ ∠DAB = ∠ECB,∠ABD=∠CBE,
∴△ABD∽△CBE,
即
∵∠ABC=∠ABD+∠DBC,∠DBE=∠DBC+∠CBE,
∴∠ABC=∠DBE.
∴△ABC∽△DBE.
6.(1)证明:∵∠ACB =∠DCE=90°,
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE,
∴∠ACD=∠BCE.
(2)如图,过点 A 作 AG ⊥CD 于点 G,则∠AGC=90°,
∵∠ACD=∠BCE,∠BCE=45°,
∴AG=CG.
在Rt△ACG中,由勾股定理得
7.8 ∵AB⊥BD,ED⊥BD,∴∠B =∠D =90°.∵AC⊥CE,∴ ∠ACE=90°.∵ ∠A+∠ACB =∠DCE+∠ACB,∴∠A =∠DCE,∴ △ABC∽ C是线段 BD 的中点，
ED=2,BD=8,∴BC=DC=4,∴AB= 解得AB=8.
8.(2)(1)中的结论仍然成立.
理由:∵AB=AC,∠B=α,
∴∠C=∠B=α,∠BAD+∠ADB=180°-α.
∵∠ADE=α,
∴∠CDE+∠ADB=180°-α,
∴∠BAD=∠CDE.
∴△ABD∽△DCE,
(3)t的值为l或2.
解法提示:∵∠B=30°,AB=AC,
∴∠B=∠C=30°,∠BPM +∠PMB =180°-30°=150°.
∵∠PMG=30°,
∴∠CMG+∠PMB=180°-30°=150°.
∴∠BPM=∠CMG.
∵ ∠B=∠C=30°,∴△PBM∽△MCG,
由题意可知 ∴BP=(4-t) cm.
过点 A 作 AH⊥BC 于点 H,则 2cm,CH=2 cm,
∴CG=3t.
分两种情况讨论.
①当点 G在线段AC上时,如图(1),
∵△APG为等腰三角形,∠PAG=120°,
∴AP=AG,此时AG=AC-CG=(4-3t) cm,
∴4-3t=t,解得t=1.
②当点 G 在 CA 的延长线上时,如图(2),
∵△APG为等腰三角形，
∴△APG为等边三角形，
∴AP=AG.此时AG=CG-AC=(3t-4) cm,
∴3t-4=t,解得t=2.
综上可知，t的值为Ⅰ或2.