重庆市万州第三中学等多校2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题（含答案）

1
重庆高一数学考试
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章到第五章第一节.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1已知全集，集合，则（）
A. B. C. D.
2. 命题的否定为（）
A. B.
C. D.
3. 设，，，则a，b，c的大小关系为（）
A. B. C. D.
4. 将钟表的分针拨快20分钟，则时针转过的角的弧度数为（）
A. B. C. D.
5. 已知函数，则的单调递增区间为（）
A. B. C. D.
6. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（）
A. B.
C. D.
7. 已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数取值范围是（）
A. B. C. D.
8. 已知函数，定义在上的函数满足，对任意的，均有成立，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（）
A. 函数且的图象必过定点
B.
C. 方程的解集为
D.
10. 已知函数是定义在上的偶函数，若，且，则下列满足不等式的的值可以为（）
A. B. C. 1 D. 2
11. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题都可以转换为几何问题加以解决，如：对于形如的代数式，可以转化为平面上点与的距离加以考虑.结合以上观点，对于函数，下列说法正确的是（）
A. 的图象是轴对称图形
B. 是单调函数
C. 的值域为
D. 方程无实数解
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12求值：__________.
13. 已知一扇形的周长为40，则这个扇形面积的最大值是__________.
14. 设函数若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为__________；的最小值为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 设集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
16. 已知函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）解不等式.
17. 已知定义在上的函数满足，且当时，.
（1）求值，并证明是偶函数；
（2）解不等式.
18. 有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据，如下表所示：
60 70 80 90 100
8.8 11 13.6 16.6 20
为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：①；②.
（1）请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式.
（2）现有一辆同型号电动汽车从A地出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为，汽车到达B地后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）.已知该高速公路上有一功率为的充电桩（充电量充电功率充电时间）.
（i）求出行驶过程中，耗电量的函数解析式，并说明其单调性（不需证明）.
（ii）若不充电，该电动汽车能否到达B地？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从A地到达B地所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值.
19. 某中学的数学小组在探究函数的性质时，发现函数和，它们虽然都是增函数，但是图象上却有很大的差异.通过观察图象和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念.定义：设连续函数的定义域为，若对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则称为上的凸函数.对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若是区间上的凹函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时，等号成立）.小组成员询问老师，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题时，关键是构造函数.
（1）设函数，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）试判断在上凹凸性，并说明理由；
（3）设，且，求的最小值.
重庆高一数学考试
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】A
2.
【答案】B
3.
【答案】A
4.
【答案】B
5.
【答案】C
6.
【答案】D
7.
【答案】D
8.
【答案】A
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】AB
10.
【答案】BD
11.
【答案】ACD
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】
13.
【答案】
14.
【答案】 ①. ②.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）根据两个集合交、并、补的定义即可计算求解；
（2）根据集合的包含关系，分和两种情况列式求解即可.
【小问1详解】
若，则，
所以，
，
故或.
【小问2详解】
因为，所以.
①当时，，解得，满足题意；
②当时，，解得.
综上，实数的取值范围是.
16.
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的定义求实数的值；
（2）由（1），易知为上的单调递增函数，利用单调性解不等式.
【小问1详解】
为上的奇函数，则，
即，
整理可得，解得
【小问2详解】
由（1），
易知为上的单调递增函数.
因为为奇函数，不等式，
可化为，
所以，
即，所以.
令，解得或.
若，则无解；若，则；若，则.
综上，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
17.
【解析】
【分析】（1）令和，可求的值，再令，可得，得证；
（2）任取且，则，根据条件判定函数的单调性计算即可解不等式.
【小问1详解】
令，则，得；
令，则，得.
易知的定义域关于原点对称，令，
则，
所以是偶函数.
【小问2详解】
因为是偶函数，所以只考虑定义域在上的单调性.
任取且，
因为，所以，
则.
因为，所以，所以，
则在上单调递增，
所以，
即.
又为偶函数，有，
所以，则，解得，
故不等式的解集为.
18.
【解析】
【分析】（1）根据与的数据关系，选择函数关系式，再代入数据，即可求解；
（2）（ⅰ）根据（1）的结果，求耗电量的函数解析式；（ⅱ）根据的单调性求整个路程耗电量的最小值，即可判断是否需要充电，根据公式初始电量+充电电量-消耗电量保障电量，列式求解.
【小问1详解】
与的函数关系，在定义域内单调递增，由增长速度可知，选择函数模型①
由题意，有解得
所以.
【小问2详解】
（i）由题意，，
所以函数上单调递增.
（ii）因为，即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车要在服务区充电，否则不能到达B地.
设行驶时间与充电时间分别为（单位：），总和为.
若能到达地，则初始电量+充电电量-消耗电量保障电量，
即，则，
所以总时间
当且仅当，即时，等号成立，
所以电动该汽车从A地到达B地的最少用时为.
19.
【解析】
【分析】（1）结合单调性化简不等式得，由条件可得，由此确定结论；
（2）判断函数的凹凸性，结合凹函数的定义证明结论；
（3）结合（2）判断为凹函数，结合琴生不等式求的最值.
【小问1详解】
已知，所以在上单调递增.
要使不等式恒成立，即不等式恒成立，
即，
所以，即.
①当时，因为，所以，所以；
②当时，，又，所以，则，所以.
综上，实数的取值范围是.
【小问2详解】
因为，，
所以，故判断在上为凹函数，
证明如下：
，可知，
则
，
所以在上为凹函数.
【小问3详解】
令
由（2）可知在上为凹函数，
所以在上为凹函数.
由，
得.
由琴生不等式可得，
即，
可得，当且仅当时，等号成立.
故的最小值为.
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