湖北省随州市曾都区第一高级中学2025届高三上学期12月联考数学试题（含答案）

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湖北随州曾都一中2025届高三上学期12月月考数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1设集合，则（）
A B. C. D.
2. 记为等差数列的前项和，若，，则（）
A. B. C. D.
3. 若，是两个不同的平面，直线，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知向量，满足，，，则（）
A. 2 B. C. 4 D. 16
5. 若，则（）
A. B. C. D.
6. 已知，函数在上没有零点，则实数的取值范围（）
A. B.
C. D.
7. 若正数满足，则的最小值是（）
A. 2 B. C. 4 D.
8. 在中，已知，且满足，则的形状是（）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法中正确的是（）
A. 数据1，2，2，3，4，5极差与众数之和为7
B. 若随机变量X服从二项分布，且，则
C. X和Y是分类变量，若值越大，则判断“X与Y独立”的把握性越大
D. 若随机变量X服从正态分布，且，则
10. 已知数列的前n项和为，满足，且，则下列结论中正确的是（）
A. 为等比数列 B. 为等比数列
C. D.
11. 如图，函数的部分图象，则（）
A.
B. 将图象向右平移后得到函数的图象
C. 在区间上单调递增
D. 在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数，模长为1，且，则________.
13. 已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为______.（用数字作答）
14. 一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字.摸球人不知最大数字是多少，每次等可能地从中摸出一个球，不放回.摸球人决定放弃前面两次摸出的球，从第3次开始，如果摸出的球上标有的数字大于前面摸出的球上的数字，就把这个球保存下来，摸球结束，否则继续摸球.问摸球人最后保存下来是数字最大的球的概率是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.
（1）求角A；
（2）若，的面积为，求的值.
16. 已知函数，曲线在处的切线方程为.
（1）求函数的极值；
（2）若，，求实数的取值范围.
17. 如图，三棱锥中，，平面平面，平面平面.
（1）证明：平面；
（2）若为钝角，且二面角的大小为，求.
18. 已知，数列前项和，且满足；数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在实数，使得数列是等差数列？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由；
（3）求使得不等式成立的的最大值．
19. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为：，定点，B是圆C上任意一点，线段BF的垂直平分线l和半径BC相交于点T.
（1）求点T的轨迹W的方程；
（2）已知点，过点F的一条直线，斜率不为0，交曲线W于P、Q两点，直线AP，AQ分别与直线交于M，N两点，求证：直线FM与直线FN的斜率之积为常数.
湖北随州曾都一中2025届高三上学期12月月考数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】C
2.
【答案】A
3.
【答案】A
4.
【答案】C
5.
【答案】B
6.
【答案】D
7.
【答案】C
8.
【答案】C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】BD
10.
【答案】BCD
11.
【答案】ACD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】1
13.
【答案】
14.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）利用边化角及和差公式、辅助角公式即可求解；
（2）由面积公式和正弦定理即可求解.
【小问1详解】
由条件得，从而.
所以，由正弦定理得，故.
从而，得，故.
所以.
【小问2详解】
设的面积为，则.
16.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可求出的值，从而得到函数解析式，再利用导数求出函数的极值；
（2）依题意可得，恒成立，分析可得，从而得到对恒成立，令，利用导数说明函数的单调性，即可求出参数的取值范围.
【小问1详解】
因，所以，
依题意，即，
所以，定义域为，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极小值，无极大值；
【小问2详解】
因为，恒成立，
因为当时，，所以，
所以对恒成立，
令，则当时，恒成立，
因为，
设，
当，即时，所以，
即在上单调递减，所以，符合题意；
当，即，，，
所以，由零点存在性定理可知存在使得，
又二次函数开口向下，对称轴为，
则当时，即，
所以在上单调递增，即存在，使得，
这与当时，恒成立矛盾，故舍去；
综上可得．
17.
【解析】
【分析】（1）如图，根据面面垂直的性质可得平面PAC，利用线面垂直的性质可得、，结合线面垂直的判定定理即可证明；
（2）法一：如图，根据线面垂直的判定定理与性质可得平面PAC，得，设，，则，根据建立方程，解之即可求解.
法二：建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角建立关于的方程，结合三角恒等变换的化简计算即可求解.
【小问1详解】
如图，在平面ABC内取点O，过O作于M，过O作于N，
平面平面ABC，平面平面，平面ABC，
平面PAC，又平面PAC，，同理可证，
又，平面ABC，
平面ABC；
【小问2详解】
法一：如图，过点B作于点H，过H作于点Q，连接BQ，
平面ABC，平面ABC，，
又，平面PAC，
平面PAC，则为二面角平面角，即
设，，
则，，
所以，又，所以，
所以，由得，
整理得，又，解得或（舍去），
综上.
法二：如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，设，，
则，，，，
易知平面PAC的法向量为，
设面PAB的法向量为，
则，
，
则，
整理得，由，
得，解得或（舍），
综上，.
18.
【解析】
【分析】（1）根据作差得到，结合等比数列的定义计算可得；
（2）假设存在实数，使得数列是等差数列，根据等差数列的定义作差得到，即可求出；
（3）结合（2）可得的通项公式，即可得到，令，利用作差法说明单调性，即可求出的最大值.
【小问1详解】
因为①，②，
②-①得，∴，而，∴，
∴成首项为，公比为的等比数列，∴．
【小问2详解】
假设存在实数，使得数列是等差数列，
∴
为常数，
∴，解得，
∴存在使成等差数列，且公差为．
【小问3详解】
由（2）知，
∴，∴不等式，即，
令，则，
∴在上单调递减，注意到，，
∴时，，∴．
19.
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合椭圆的定义可知点T的轨迹为椭圆，然后求得，即可得到标准方程；
（2）根据题意，设直线，然后联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可得到的纵坐标，然后代入斜率公式计算，即可证明.
【小问1详解】
由题意：点T在线段BF的垂直平分线上，则，可得.
由椭圆定义可得，点T的轨迹是以，为焦点的椭圆，
且椭圆长轴长为，焦距为，，
所以点T的轨迹W的方程为
【小问2详解】
由（1）知，，设直线，，，
联立消去x，整理得，则
，
根据题意可设，，则由，
可得，同理可得，
所以直线FM与直线FN的斜率之积，
.
所以直线FM与直线FN的斜率之积为定值.
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