2024-2025学年湖北省荆门市德艺高级中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省荆门市德艺高级中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.从，，，，中有放回地依次取出两个数，则下列各对事件是互斥而不对立事件的是( )
A. 恰有个是奇数和全是奇数 B. 恰有个是偶数和至少有个是偶数
C. 至少有个是奇数和全是奇数 D. 至少有个是偶数和全是偶数
2.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )
A. B. C. D.
3.如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱且，则( )
A.
B.
C.
D.
4.，，则的概率是( )
A. B. C. D.
5.已知正方体的棱长为，若点满足，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
6.已知直线：和直线：，以下论述中：
当或时，与相交；
当时，或；
当且仅当时，；
当时，．
正确的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.在棱长为的正方体，中，，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，设点为的中点，则点到平面的距离为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在两坐标轴上截距相等，且到点的距离为的直线方程可以是( )
A. B. C. D.
10.已知圆：，直线：则以下命题正确的有( )
A. 直线恒过定点
B. 圆被轴截得的弦长为
C. 直线与圆恒相交
D. 直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为
11.在正三棱柱中，，点满足，其中，，则( )
A. 当时，的周长为定值
B. 当时，三棱锥的体积为定值
C. 当时，有且仅有一个点，使得
D. 当时，有且仅有一个点，使得平面
三、填空题：本题共3小题，共20分。
12.如图所示，在一次游戏中，小明需要在个小格子中填上至中不重复的整数，小明通过推理已经得到了个小格子中的准确数字，，，，，这个数字未知，且，为奇数，则的概率为______．
13.已知直线：及点，，点在上，当的值最大时，点的坐标为______，的最大值为______．
14.已知空间四边形各边及对角线长都相等，，分别为，的中点，向量与夹角的余弦值______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一，若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有次参加科目二考试的机会这次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若次都没有通过，则需要重新报名，其中前次参加科目二考试免费，若前次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交元的补考费，某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，现有这个驾校的一对夫妻学员同时报名参加驾驶证科目二考试，若这对夫妻每人每次是否通过科目二考试相互独立，他们参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．
Ⅰ求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率；
Ⅱ求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为元的概率．
16.本小题分
已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的边上的高所在直线方程为．
求顶点的坐标；
求直线的方程．
17.本小题分
已知圆：．
过点向圆作切线，求切线的方程；
若为直线：上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值．
18.本小题分
如图，三棱锥中，，，，为中点．
证明；
点满足，求二面角的正弦值．
19.本小题分
如图，四面体中，，，，为的中点．
证明：平面平面；
设，，点在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
参考答案
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15.解：设表示“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的事件”，表示“丈夫在第次参加科目二考试中通过”，
表示“妻子在第次参加科目二考试中通过”，则，
则，
所以这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率是．
由知，夫妻二人共交元补考费的事件，
则，
所以这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为元的概率．
16.解：设，
边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
，解得，，
．
设，则，边的中点，
所以，
联立解得，，
．
．
直线的方程为，化为．
17.解：切线的斜率不存在时，满足条件．
切线的斜率存在时，设方程为，即，
圆心到切线的距离，解得，可得切线方程为：，
综上可得切线的方程为：，或．
当时，取得最小值，此时，
．
18.证明：连接，，
，为中点．
，
又，，
与均为等边三角形，
，
，，
平面，
平面，
．
解：设，
，
，，
，
，
又，，
平面，
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，
，
，
，，，
设平面与平面的一个法向量分别为，，
则，令，解得，
，令，解得，，
故，，
设二面角的平面角为，
则，
故，
所以二面角的正弦值为．
19.证明：，为的中点．，
又，，，≌，
，又为的中点．，
又，，平面，
平面，又平面，
平面平面；
解：连接，由知，，
故EF最小时，的面积最小，时，的面积最小，
又平面，平面，，
又，，平面，
平面，又平面，
平面平面，
过作于点，则平面，
故，即为直线与平面所成的角，
由，，知是为边长的等边三角形，
故AC，由已知可得，，又，，
，所以，
，
在中，由余弦定理得，
．
故CF与平面所成的角的正弦值为．
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