2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市德强高级中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市德强高级中学高二（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列中，，，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知等差数列满足，，则( )
A. B. C. D.
3.已知直线过点，且在纵坐标上的截距为横坐标上的截距的两倍，则直线的方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
4.已知圆，圆，则这两圆的公共弦长为( )
A. B. C. D.
5.已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.设，圆：若动直线：与圆交于点，，动直线：与圆交于点，，则的最大值是( )
A. B. C. D.
8.“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”利用这个原理，小明在家里用两个射灯射出的光锥视为圆锥在墙上投影出两个相同的椭圆图，光锥的一条母线恰好与墙面垂直图是一个射灯投影的直观图，圆锥的轴截面是等边三角形，椭圆所在平面为，，则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的公差为，前项和为，且，则( )
A. B. C. D.
10.已知圆：，则( )
A. 圆与直线必有两个交点
B. 圆上存在个点到直线的距离都等于
C. 若圆与圆恰有三条公切线，则
D. 已知动点在直线上，过点向圆引两条切线，，为切点，则的最小值为
11.已知是椭圆：位于第一象限上的一点，，是的两个焦点，，点在的平分线上，的平分线与轴交于点，为原点，，且，则下列结论正确的是( )
A. 的面积为 B. 的离心率为
C. 点到轴的距离为 D.
12.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则以下结论正确的是( )
A. B.
C. 的最小值为 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设等差数列的前项和为，且，，则 ______．
14.已知直线：，：，若，则实数 ______．
15.设，分别为椭圆的左、右焦点，过点且倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率为______．
16.已知抛物线：的焦点为，若上存在三点，，，且为的重心，则三边中线长之和为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设为等差数列的前项和，已知，．
求数列的通项公式；
当为何值时，最大，并求出的最大值．
18.本小题分
已知圆的圆心在直线上，且经过点，．
求圆的方程；
若直线过点且与圆相切，求直线的方程．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，的角平分线所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为．
求点的坐标；
求直线的方程．
20.本小题分
已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线右支且不在坐标轴上，
若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程；
若，，求的面积．
21.本小题分
已知动点到直线的距离比它到定点的距离多，记的轨迹为．
求的方程；
若过点的直线与相交于，两点，且，求直线的方程．
22.本小题分
已知，，直线，交于点，且直线，的斜率之积为，点的轨迹记为曲线．
求的方程．
不过点的直线与交于，两点，且直线与的斜率之和为，试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
参考答案
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17.解：设等差数列的公差为，
则，
解得，，
数列的通项公式为，
即．
由得，
由二次函数的性质得：
当时，最大，且最大值为．
18.解：因为圆心在直线上，所以设圆的圆心，半径为，
所以圆的方程为．
因为圆经过点，，
所以，．
解得，，所以圆的方程为；
直线斜率存在时，设直线的方程为，即，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得，此时直线的方程为；
直线斜率不存在时，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离，符合题意，
综上：直线的方程为或．
19.解：由题意可知点在直线上，设，
则中点，
又点在直线上，
可得，解得，
可得；
解：由可知，又，
设直线的方程为：，
则直线的方程为：，
又的角平分线所在的直线方程为，
在直线取点，
则点到直线的距离等于点到直线的距离，
即有，整理得，
解得：或，
当时，所求方程即为直线的方程，
可得，
所求直线的方程为：．
20.解：双曲线与椭圆有共同的焦点，可得，双曲线过点，
可得，，解得，，
双曲线的标准方程为：．
设，，
由双曲线的定义可得，
在中，由余弦定理，得，
可得，
则的面积．
21.解：因为动点到直线的距离比它到定点的距离多，
所以动点到直线的距离等于它到定点的距离，
则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
故的方程为；
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
因为，
所以
，
解得或，
则．
当时，直线的方程为，不符合题意；
当时，直线的方程，符合题意．
故直线的方程为．
22.解：由，，设，
可得，，
由题意，得，
整理得，
所以曲线的方程为；
设，，
当直线斜率不存在时，，，
由直线与的斜率之和为，
可得，所以，
此时直线：，恒过定点；
当斜率存在时，设：，
由，得，
则，即，
，
因为直线与的斜率之和为，
所以，
即，
即，整理得，
因为，所以，
故直线方程为，恒过定点；
综上，直线过定点．
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