2024-2025学年江苏省淮安市淮阴中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省淮阴中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.若椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知点是抛物线：的焦点，若抛物线上的点到的距离为，则点到轴的距离为( )
A. B. C. D.
4.若在和之间插入个数，使这个数成等比数列，则该等比数列的公比为( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
6.若等差数列的前项和为，，则取得最小值时的值为( )
A. B. C. D.
7.已知，，动点满足则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
8.若椭圆：的左、右焦点分别为、，上顶点为，过作直线的垂线交椭圆于，两点，设的内切圆的半径为，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设直线：，：，圆：，则下列说法正确的有( )
A. 若，则或 B. 若，则
C. 恒过定点 D. 被圆截得的弦长最小值为
10.下列说法正确的有( )
A. 若数列为等差数列，其公差，则数列是递增数列
B. 若数列为等比数列，其公比，则数列是递减数列
C. 若数列为等差数列，则数列为等比数列
D. 若数列的前项和为，且，则数列是等差数列
11.已知点，直线：，曲线上的点满足到的距离与到的距离之积为，则下列说法正确的有( )
A. 曲线关于轴对称
B. 曲线经过坐标原点
C. 设曲线上动点到直线的距离为，则的最小值为
D. 当点在曲线上时，的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线过点，且与两条坐标轴的正半轴围成一个等腰直角三角形，则直线的方程为______．
13.设双曲线：的左、右焦点分别为、，点是双曲线上的一点，若，，则双曲线的离心率为______．
14.已知直线：，圆：，圆：，若圆与圆、圆、直线都相切，则圆的半径为______，若圆与圆、圆、直线都相切，则圆的半径为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知三点，，在圆上，点为圆心．
求圆的方程；
过点作圆的两条切线，切点为，，求四边形的面积．
16.本小题分
已知数列的前项和为，且数列是首项为，公比为的等比数列．
求数列的通项公式；
若，求满足条件的最大正整数的值．
17.本小题分
已知抛物线：过点，直线与抛物线相交于，两点，若直线过点．
求抛物线的方程；
证明：以为直径的圆经过坐标原点；
若，求直线的方程．
18.本小题分
已知数列的前项和为，，．
证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
求数列的前项和为；
若对任意恒成立求实数的取值范围．
19.本小题分
已知，，动点满足直线与直线的斜率之积，动点的轨迹形成曲线．
求曲线的方程；
设点为常数且，求线段长度的最大值；
经过点的两条直线，，直线与曲线相交于，两点，直线与曲线相交于，两点，若直线过定点，证明：直线恒过定点．
参考答案
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15.解：三点，，在圆上，
则由圆的对称性可知：圆心为线段，垂直平分线的交点，
，线段中点为，
线段垂直平分线方程为：，即，
又线段的垂直平分线为，，
圆的半径，
圆的方程为：．
，，，
，，
四边形的面积．
16.解：数列的前项和为，且数列是首项为，公比为的等比数列，
可得，解得，
由等比数列的通项公式可得，即，
当时，，对也成立，
综上所述；
由得，则，
即有数列是首项和公比都为的等比数列，
所以，
所以，即，
又函数，，单调递增，
且，，
即满足的最大正整数为，
综上所述，满足的最大正整数为．
17.解：抛物线：过点，所以，，
故抛物线的方程为：．
证明：如图，直线过点，
设直线的方程为：，，，
联立，化简得，则，
所以，，
又，，
所以，
即，故以为直径的圆经过坐标原点；
由可知，，
因为，所以，
所以，解得：，
所以直线的方程为，
即或．
18.解：证明：数列的前项和为，，，
由，两边同时除以，
可得，又，
所以数列是首项、公差均为的等差数列，
由等差数列的通项公式可得，
所以．
由，
可得，
所以，
所以．
若对任意恒成立，
即有，整理得恒成立，
令，则，
当时，，当时，，当时，，
所以，即的最小值为，
综上，，即实数的取值范围是．
19.解：已知，，动点满足直线与直线的斜率之积，
可设点，由直线的斜率公式可得，
则，
故曲线的方程为；
解：设，则，
又点在椭圆上，得，
，
，当时，，
当时，有．
综上所述，；
证明：先选择特殊位置，将点放置到位置，此时与关于轴对称，
直线方程分别为：，：，
连接，得到过的直线：，
联立，解得与交于点．
设，，，，
设的中点，
将，两点代入椭圆，做差可得，
整理得：．
点是线段中点，可得，，
代入可得：，
整理后可以得到所在曲线的方程为：．
注意到对于两端点在椭圆上的线段，设其中点为，
则线段所在直线斜率存在时，都有．
同理，可设，的中点，，
用同样方法可以得到和所在的曲线方程．
注意到在靠近点的四等分点处，的中点所在曲线为过和交点的曲线，
由曲线系的方法，，
根据曲线关联的点的坐标之间的关系，，
可得，．
假设直线所过的定点为，
计算用点和两点表示的斜率，并与点的坐标相乘得到：
，
化简得到，
可知线段满足两端点在椭圆上，与假设结果相符．
综上，直线过定点．
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