第13章 全等三角形 单元测试卷 （含答案）

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第13章 全等三角形 单元测试卷
一、选择题(每小题3分，共30分)
1. 下列语句是命题的是 ( )
A.作直线AB 的垂线 B.同旁内角互补
C.在线段AB上取点C D.垂线段最短吗
2. 已知△ABC≌△FED,若∠E=37°,∠C=100°,则∠A 的度数是 ( )
A.100° B.80° C.43° D.37°
3. 根据下列条件，能画出唯一△ABC的是 ( )
A. AB=3,BC=4,AC=8 B. BC=3,AB=4,∠A=40°
C. AB=3,∠A=60°,∠B=40° D. AB=3,∠C=90°
4. 如图3-Z-1,若△ABC是等边三角形,AB=6,BD是AC边上的高,延长BC到点E,使CE=CD,则BE的长为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
5. 如图3-Z-2,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点 M,N,作直线MN,交 BC于点D,连结AD,则∠BAD的度数为 ( )
A.65° B.60° C.55° D.45°
6. 如图3-Z-3,AD∥BC,∠ABC的平分线BP 与∠BAD的平分线AP 相交于点 P,作PE⊥AB 于点E,PE=5,则两条平行线AD与BC间的距离为 ( )
A.5 B.8 C.9 D.10
7. 已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角的度数为 ( )
A.15°或75° B.30° C.150° D.150°或30°
8. 下列说法中正确的有 ( )
(1)一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等；
(2)一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
(3)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；
(4)有两条边相等的两个直角三角形全等；
(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
9. 如图3-Z-4,在△MPN中,H是高MQ和NR 的交点,且PM=HN.已知MH=3,PQ=2,则 PN的长为 ( )
A.5 B.7 C.8 D.11
10. 如图3-Z-5,在长方形ABCD中,AB=4,AD=6.延长BC到点 E,使CE=2,连结DE,动点 P 从点 B出发,以每秒2个单位长度的速度沿折线BCDA 向终点A运动，设点 P的运动时间为t秒，当t的值为 时，△ABP和△DCE全等( )
A.1 B.1或3 C.1或7 D.3或7
二、填空题(每小题3分，共15 分)
11. 要说明命题“若a<1,则 是假命题，可以举的反例是a= .
12. 如图3-Z-6,点D 在直线BC上,AC=BC,∠ACD=120°,则∠A 的度数为 .
13. 如图3-Z-7,已知 的边 AB,AC的垂直平分线分别交边 AB,AC于点 D,E,交 BC于点 M,N,连结AM,AN.若 则 的度数为 .
14. 如图3-Z-8,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2cm,CD⊥AB于点 D,在CA上取一点 E,使CE=BC,过点 E作EF⊥CA交CD 的延长线于点F.若EF=5cm,则
15. 如图 8是一个角度为10°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF，FG，GH，…，且 ，在OA，OB足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为 .
三、解答题(共55分)
16. (7分)如图3-Z-10,在 中,AB=AC,AD为BC边上的中线, EF为过点A 的一条直线，且 EF∥BC,求 的度数.
17. (7分)如图3-Z-11,E是 的平分线上一点， ，垂足分别为C，D.求证：OE是线段CD 的垂直平分线.
18. (7分)如图3-Z-12,点E在CD上,BC与AE 交于点F, 求证：(
(2)∠1=∠3.
19. (8分)如图3-Z-13,点D,E分别在AB,AC上, BE,CD相交于点O,OB=OC.求证：
小虎同学的证明过程如下：
证明:∵∠ADC=∠AEB=90°,
∵∠DOB=∠EOC,
∴∠B=∠C.…第一步
又OA=OA,OB=OC,
∴△ABO≌△ACO.……第二步
∴∠1=∠2.…第三步
(1)小虎同学的证明过程中，第 步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程.
20. (8分)如图3-Z-14,在△ABC中.
(1)用尺规完成以下基本作图：过点A作BC 的垂线交BC 于点E；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)所作的图形中,在EC上取一点F,使得BE=EF,连结AF,若CF=AB,求证:△AFC为等腰三角形.
21. (8分)如图3-Z-15①所示,△ABC是等边三角形,D是边 BC上一点(点D 不与点B,C重合),作∠EDF=60°,使角的两边分别交边AB,AC于点E,F,且BD=CF.若DE⊥BC,则∠DFC的度数是 ;
如图②所示，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点(点D不与点B，C重合)，作∠EDF=60°，使角的两边分别交边AB,AC于点E,F,且BD=CF.求证:BE=CD;
如图③所示,△ABC是等边三角形,若D是边BC 的中点,且AB=2,∠EDF=60°,且 BD=CF.求四边形AEDF的周长.
22. (10分)阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.
已知:如图3-Z-16,E是BC的中点,点A在DE 上,且∠BAE=∠D.
求证:AB=CD.
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们所在的两个三角形也不全等.因此，要证明AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形.
现给出如下两种添加辅助线的方法，请对原题进行证明.
(1)如图3-Z-17①,延长DE 到点F,使得EF=DE,连结BF;
(2)如图②,过点C作CG⊥DE于点G,过点 B作BF⊥DE交DE 的延长线于点F.
答案
1. B 2. C 3.C4. C 5. A 6. D7. D 8. B 9. B10. C
11. - 2(答案不唯一)
12. 60° 13. 100° 14. 3 15. 8
16. 50°
17. 证明:∵E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别是 C,D,∴DE=CE,∠EDO=∠ECO=90°.
在 Rt△ODE 与 Rt△OCE中,
∵OE=OE,DE=CE,
∴Rt△ODE≌Rt△OCE,∴OD=OC,
∴点O在线段CD 的垂直平分线上.又∵DE=EC,
∴点 E 在线段CD 的垂直平分线上，∴OE 是线段CD 的垂直平分线.
18. 证明:(1)∵∠1=∠2,
∴∠1+∠CBE=∠2+∠CBE,
即∠ABE=∠CBD.
在△ABE和△CBD中,
∵AB=CB,∠ABE=∠CBD,BE=BD,
∴△ABE≌△CBD(S. A. S.),
∴AE=CD.
(2)由(1)知△ABE≌△CBD,
∴∠A=∠C.
又∵∠AFB=∠CFE,∴∠1=∠3.
19. 解:(1)二
(2)证明:∵∠ADC=∠AEB=90°,
∴∠BDC=∠CEB=90°.
在△DOB 和△EOC 中,
∵∠BDO=∠CEO,∠DOB=∠EOC,
OB=OC,
∴△DOB≌△EOC(A. A. S.),
∴OD=OE.
在 Rt△ADO和 Rt△AEO中,
∵OD=OE,OA=OA,
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(H. L.),
∴∠1=∠2.
20. 解:(1)如图所示.
(2)证明:如图.∵AE⊥BC,
∴∠AEB=∠AEF=90°.
在△ABE与△AFE中,
∵BE=FE,∠AEB=∠AEF,AE=AE,
∴△ABE≌△AFE(S. A. S.),
∴AB=AF.
又∵CF=AB,∴CF=AF,
∴△AFC为等腰三角形.
21. 解:【感知】90°
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°.
∵∠EDF=60°,∴∠B=∠EDF.
∵∠EDC是△BED的外角,
∴∠B+∠BED=∠EDF+∠CDF,
∴∠BED=∠CDF.
在△BED和△CDF中,
∵∠BED=∠CDF,∠B=∠C,BD=CF,
∴△BED≌△CDF(A. A. S.),
∴BE=CD.
∵△ABC是等边三角形,AB=2,
∴∠B=∠C=60°,AB=BC=CA=2.
∵D是BC 的中点,BD=CF,
∴BD=CD=CF=AF=1.
由可知△BED≌△CDF,
∴BE=CD=1,DE=DF,
∴BD=BE=1,AE=1.
又∵∠B=60°,
∴△BDE是等边三角形，
∴DE=BD=1.
同理可得DF=1,
∴四边形 AEDF的周长=AE+DE+DF+AF=4.
22. 证明:(1)∵E为BC的中点,∴BE=CE.在△DEC和△FEB中,
∵DE=FE,∠DEC=∠FEB,CE=BE,
∴△DEC≌△FEB,
∴∠D=∠F,CD=BF.
∵∠BAE=∠D,∴∠BAE=∠F,
∴AB=BF,∴AB=CD.
(2)∵E为BC 的中点,∴BE=CE.
∵CG⊥DE,BF⊥DE,
∴∠CGE=∠BFE=90°.
在△CGE和△BFE中,
∵∠CGE=∠BFE,∠CEG=∠BEF,CE=BE,
∴△CGE≌△BFE,∴CG=BF.
在△ABF和△DCG中,
∵∠BAF=∠D,∠BFA=∠CGD=90°,BF=CG,
∴△ABF≌△DCG,
∴AB=CD.