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【冲刺期末——能力提升专练】
专题22 解含绝对值的方程
姓名：___________班级：___________得分：___________
一、解答题
1．同学们，你们知道怎样解“绝对值方程”吗？我们可以这样考虑：因为，，所以有或，分别解得或，根据以上解法，求方程的解．
2．先阅读，后解题：符号表示的绝对值为3，表示的绝对值为3，如果那么或．若解方程，可将绝对值符号内的看成一个整体，则可得或，分别解方程可得或．利用上面的知识，解方程：．
3．先阅读下列解题过程，再解答问题．
解方程∶．
解∶当时，原方程可化为，
解得；
当时，原方程可化为，
解得．
所以原方程的解是或．
解方程∶．
4．解方程：
5．阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下种情况：
（1）当时，原式；
（2）当时，原式；
（3）当时，原式．
综上讨论，原式．
通过以上阅读，请你解决以下问题：
(1)分别求出和的零点值；
(2)化简代数式；
(3)解方程．
6．华罗庚先生说，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．
【知识储备】
我们知道，表示数轴上表示的点到原点的距离，表示数轴上表示a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义；点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为．
【初步探索】
（1）数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示2和的两点之间的距离是 ；
（2）的几何意义是数轴上表示数x与数 的两点之间的距离；
【深入探究】
（3）请你利用数轴探究，当表示数x的点在整条数轴上移动时，能使成立的x的值是 ；
【拓展延伸】
（4）若数轴上有P、Q两点，它们在数轴上的点表示的数分别为整数x、y，且，则P、Q两点之间的距离是 ．
7．解绝对值方程：．
8．解方程：
9．同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：
(1)数轴上表示6与两点之间的距离是 ，数轴上表示x与的两点之间的距离可以表示为 ．
(2)如果表示x的点A到表示的点B的距离为4，则 ．
(3)同理表示数轴上有理数x所对应的点到和1所对应的点的距离之和，当时，x的取值范围是 ； 当时，x的值为 ．
(4)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，求出最小值及对应的取值范围；如果没有，说明理由．
10．已知关于的绝对值方程只有三个解，求的值．
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【冲刺期末——能力提升专练】
专题22 解含绝对值的方程
姓名：___________班级：___________得分：___________
一、解答题
1．同学们，你们知道怎样解“绝对值方程”吗？我们可以这样考虑：因为，，所以有或，分别解得或，根据以上解法，求方程的解．
【答案】或
【解析】本题主要考查了解一元一次方程，绝对值等知识点，根据绝对值的性质得到两个一元一次方程，分别解一元一次方程即可，熟练掌握绝对值和解一元一次方程是解决此题的关键．
解：∵，，
∴或，
∴或．
2．先阅读，后解题：符号表示的绝对值为3，表示的绝对值为3，如果那么或．若解方程，可将绝对值符号内的看成一个整体，则可得或，分别解方程可得或．利用上面的知识，解方程：．
【答案】或．
【解析】此题考查了绝对值的意义，解一元一次方程，方程整理后，利用绝对值的代数意义转化为两个一元一次方程，求出解即可．
解：∵，
∴
∴或
解得：或．
3．先阅读下列解题过程，再解答问题．
解方程∶．
解∶当时，原方程可化为，
解得；
当时，原方程可化为，
解得．
所以原方程的解是或．
解方程∶．
【答案】或
【解析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，利用绝对值的性质化简方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．根据绝对值的性质，可化简方程，根据解方程，可得答案．
解：解∶移项，得．
当，即时，
原方程可化为，解得；
当，即时，
原方程可化为，解得．
所以原方程的解是或．
4．解方程：
【答案】或
【解析】本题考查了解一元一次方程，化简绝对值，分情况讨论，分别解一元一次方程，即可求解．
解：
∴
∴或
解得：或
5．阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下种情况：
（1）当时，原式；
（2）当时，原式；
（3）当时，原式．
综上讨论，原式．
通过以上阅读，请你解决以下问题：
(1)分别求出和的零点值；
(2)化简代数式；
(3)解方程．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【解析】本题主要考查绝对值及一元一次方程，理解零点及化简带绝对值的代数式的方法是解答本题的关键．
（1）阅读材料，根据零点值的求法，即绝对值里面的代数式等于，即可解答；
（2）根据阅读材料中，化简绝对值的代数式的方法，根据的取值范围，分为三种情况，根据绝对值的性质解答即可；
（3）根据（2）中的化简结果列方程求解即可．
解：（1）分别令和，分别求得和，
所以和的零点值分别为和；
（2）当时，原式；
当时，原式；
当时，原式；
综上讨论，原式；
（3）当时，，解得；
当时，，解得，
所以原方程的解为或．
6．华罗庚先生说，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．
【知识储备】
我们知道，表示数轴上表示的点到原点的距离，表示数轴上表示a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义；点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为．
【初步探索】
（1）数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示2和的两点之间的距离是 ；
（2）的几何意义是数轴上表示数x与数 的两点之间的距离；
【深入探究】
（3）请你利用数轴探究，当表示数x的点在整条数轴上移动时，能使成立的x的值是 ；
【拓展延伸】
（4）若数轴上有P、Q两点，它们在数轴上的点表示的数分别为整数x、y，且，则P、Q两点之间的距离是 ．
【答案】（1）3；5；（2）；（3）或4；（4）3或5或7
【解析】本题考查了有理数加减法的应用，绝对值方程，利用数形结合和分类讨论是解题的关键；
（1）根据两点间距离公式可得结论；
（2）利用数轴上两点之间的距离公式的定义即可解答；
（3） 利用分类讨论的方法即可得出x的值；
（4） 根据P、Q分别为整数x、y，分类讨论即可解答
解：（1）数轴上表示和的两点之间的距离为，数轴上表示2和的两点之间的距离为，
故答案为：3，5；
（2）的几何意义是数轴上表示数x与数的两点之间的距离，
故答案为：；
（3）如图：
，
当时，
当时，，
令，得；
当时，，
令，得；
综上所述：成立的x的值是或4；
故答案为：或4．
（4）根据题意得：，都是整数，
分三种情况讨论：
①当，时，
，或，
∴或7；
②当，时，
或1，或，
∴或3或7；
③当，时，
或0，，
∴或3；
综上所述：P、Q两点之间的距离是3或5或7．
故答案为：3或5或7．
7．解绝对值方程：．
【答案】原方程无解
【解析】本题主要考查了绝对值方程，根据绝对值的意义分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，先化简绝对值，然后分别求出结果即可．
解：当时，原方程化为，解得：（舍去）；
当时，原方程化为，解得：（舍去）；
当时，原方程化为，解得：（舍去）；
∴原方程无解．
8．解方程：
【答案】或
【解析】本题考查了化简绝对值，解一元一次方程，正确分类讨论，去绝对值是解题的关键．
分类讨论，分别解一元一次方程即可．
解：当时，则，
解得：；
当时，则，
解得：，不符合题意，舍；
当时，则，
解得：，
∴或．
9．同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：
(1)数轴上表示6与两点之间的距离是 ，数轴上表示x与的两点之间的距离可以表示为 ．
(2)如果表示x的点A到表示的点B的距离为4，则 ．
(3)同理表示数轴上有理数x所对应的点到和1所对应的点的距离之和，当时，x的取值范围是 ； 当时，x的值为 ．
(4)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，求出最小值及对应的取值范围；如果没有，说明理由．
【答案】(1)，
(2)或
(3)；
(4)
【解析】（1）根据距离公式即可解答；
（2）利用距离公式列方程求解即可；
（3）分为，和去绝对值求解即可；
（4），和，去绝对值求解即可.
本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，考查了取绝对值的方法，取绝对值在数轴上的运用，去绝对的关键是确定绝对值里面的数的正负性.
解：（1）数轴上表示与两点之间的距离是,
数轴上表示x与的两点之间的距离可以表示为,
故答案为: ，；
（2），
解得：或，
故答案为：或；
（3）当时，，
解得，不符合题意舍去；
当时，，
解得，不符合题意舍去；
当时，，解得全部满足，
故整数为；
当时，，
解得；
当时，，
解得，
当时，，无解，
故x的值为；
故答案为：；；
（4）当时，；
当时，；；
当时，；
故最小值为．
10．已知关于的绝对值方程只有三个解，求的值．
【答案】
【解析】本题考查了解含有绝对值的一元一次方程，正确理解绝对值的意义是关键．
首先根据绝对值的意义得到或，解方程得到或或或，当时，方程只有两个解，不符合题意，则，由方程只有三个解得到，解方程即可得到答案．
解：∵ ，
∴或，
∴或，
∴或或或，
∴或或或，
当时，则，即此时方程只有两个解，不符合题意；
∴，
∴，
∵关于的绝对值方程只有三个解，
∴，
∴．
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