江苏省南通市新高考基地学校2025届高三上学期12月第一次大联考数学试卷（含答案）

江苏省南通市新高考基地学校2025届高三上学期12月第一次大联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量和满足，，则( )
A. B. C. D.
4.某人通过手机记录锻炼情况，得到月份每天的锻炼时间单位：如下表：
锻炼时间 小于 不小于
天数
据表中数据，下列结论一定正确的是( )
A. 天锻炼时间的中位数不超过 B. 天锻炼时间的平均数不低于
C. 天锻炼时间的极差不超过 D. 天锻炼时间的众数不低于
5.已知圆锥的底面半径和球的半径相等，且它们的表面积相等，则该圆锥和球的体积之比为( )
A. B. C. D.
6.记函数，的图象为曲线段，直线与交于，两点，直线与交于，两点若，则( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的左焦点为，点，分别在的左、右两支上，为坐标原点，且，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知三次函数的定义域和值域都为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在正四棱柱中，，为的中点，则( )
A. 平面 B. 平面
C. 平面 D. 平面
10.已知函数及其导函数的定义域均为，记若是奇函数，且，且则( )
A. B.
C. D.
11.设曲线与轴交于、两点，是上一点不在坐标轴上，则( )
A. 曲线是轴对称图形 B. 的面积小于
C. 曲线围成的封闭图形面积小于 D. 为钝角
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是等比数列，若，，则 ．
13.若和都为锐角，，，则 ．
14.设，，，，函数是自然对数的底数，从有序实数对中随机抽取一对，使得恰有两个零点的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的三个内角，，所对边为，，，若，．
求的值
若，求的面积．
16.本小题分
如图，四棱锥中，四边形为菱形，，．
证明：
若，，求平面与平面所成二面角的正弦值．
17.本小题分
已知数列满足：是公差为的等差数列，是公差为的等差数列，且．
证明：是等差数列
设是方程的根，数列的前项和为，证明：．
18.本小题分
在坐标平面中，已知抛物线，经过点的直线与交于，两点，直线平行于且与切于点当直线与轴垂直时，．
求的方程
若直线与交于点，求的横坐标
求的面积的最小值．
19.本小题分
已知函数及其导函数定义域都为区间，，，是曲线，上任意不同的三点若点，，的横坐标依次成等差数列，且在点处的切线的斜率大于直线的斜率，则称在上为“中值偏移”函数．
设．
讨论的单调性
若是上的“中值偏移”函数，求实数的取值范围
证明：在上为“中值偏移”函数．
参考答案
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15.解：：，正弦定理
，
，，．
，由余弦定理，可得，整理得，解得或舍去．
因为，所以，所以的面积为．
16.解：取中点为，连接，，，
菱形中，，
为正三角形，
又为中点，，
，为中点，，
又、平面，，
故AD平面，又平面，故AD；
作于，连接，
由知平面，又平面，故AD，
又，，、平面，故平面，
菱形中，，，
由知，，即，
由，可得为等边三角形，，
同理可得，
设，则，
，
又，中，，
则，
解得，此时，即为中点，
以为原点，、为、轴，过与平面垂直向上方向为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的法向量为，
则
令，则，，即，
易知平面的一个法向量为，
故，，，
故平面与平面所成二面角的正弦值为．
17.证明：由题意，时，，所以，
，所以，
所以，
又，，，
所以是首项为，公差为的等差数列；
解：由可知．
因为是方程的根，
所以，
所以，
令，则，
所以函数单调递增，
因为，，所以，
所以．
18.解：当直线与轴垂直时，此时直线的方程为，
代入抛物线的方程得，则，
又，所以，解得，
所以的方程为；
易知直线的斜率不为，
设直线的方程为，直线的方程为，
联立消去可得，，
因为直线与切于点，
所以，解得，
所以直线的方程为，切点的坐标为，
因为存在直线，所以，
直线的方程为，
联立，解得，
所以的横坐标为；
设，，直线的方程为，切点的坐标为，
联立直线与抛物线的方程，消去可得，，
则，，
则，
点到直线的距离，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的面积的最小值为．
19.解：，，
若，则，可知函数在上单调递减；
若，令，解得，
当时，；当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增．
综上可得，
当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
不妨设点、、的横坐标分别为、、，其中，
则曲线在点处的切线斜率为，
直线的斜率为，
因为函数是上的“中值偏移”函数，
所以对任意的，恒成立，
即对任意的恒成立，
令，，
则，
则函数在上单调递增，
故，
即，
可得，
即实数的取值范围为．
，则，
设点、、的横坐标分别为、、，其中，
则曲线在点处的切线斜率为，
直线的斜率为
，
则
，
令，
则，
令，，
则，
可知函数在上单调递增，
则，
即，即，
故函数在上为“中值偏移”函数．
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