2024-2025学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷（A卷）（含答案）

2024-2025学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的斜率为( )
A. B. C. D.
2.已知等比数列，若，，则( )
A. B. C. D.
3.若椭圆的右焦点坐标为，则的值为( )
A. B. C. D.
4.设两直线：，：相互垂直，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上的任意一点，则的最大值是( )
A. B. C. D.
6.设等差数列的前项和为，且满足，，则当取得最小值时，的值为( )
A. B. C. D.
7.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以反复进行上述运算，经过有限步后，必然进入循环这就是数学史上著名的“冰雹猜想”如取正整数，根据上述运算法则得出现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：为正整数，当时，( )
A. B. C. D.
8.“”是“圆与坐标轴有四个交点”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 非充分必要条件
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知两椭圆和，则( )
A. 两椭圆有相同的焦点 B. 两椭圆的离心率相等
C. 两椭圆有个交点 D. 两椭圆有相同的对称轴和对称中心
10.已知数列，满足，且，则( )
A. 当时，是等比数列 B.
C. 当时，是等差数列 D. 当时，是递增数列
11.已知实数，满足方程，则( )
A. 的取值范围是 B. 的取值范围是
C. 的取值范围是 D. 的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线，，交于一点，则 ______．
13.已知数列满足，，若，则数列的前项和 ______．
14.已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线与交于，两点若，，且的面积为，则椭圆的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知椭圆的方程为，设椭圆的左右焦点分别为，，与轴正半轴的交点为．
求的周长；
设过椭圆的右焦点，且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求弦的长．
16.本小题分
已知圆：，圆：．
求证：两圆，相交；
设两圆交于，两点，求四边形的面积．
17.本小题分
已知数列中，，．
求证：数列为等差数列，并求；
求的前项和．
18.本小题分
已知椭圆：，，在椭圆上．
求椭圆的方程；
若斜率存在的直线交椭圆于，两点，且线段的中点的横坐标为，过作新直线，
求直线和直线的斜率之积；
证明新直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
19.本小题分
在所有不大于的正整数中，记既不能被整除也不能被整除的个数记为注：一个自然数能被和整除当且仅当其能被，的最小公倍数整除，如能被和整除等价于能被整除
求，的值不需说明；
求关于的表达式；
若数列满足，记数列的前项和为，求证：对于，均有．
参考答案
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15.解：由题，，，
所以；
由题，右焦点为，直线的斜率为，
所以直线的方程为：，设，，
联立，化简得，
所以，
所以
．
16.证明：圆：的圆心，半径，
圆：，即的圆心，半径，
可得，即，
所以两圆相交．
解：设，则其同时满足两圆的方程：，，
故其也满足两式之差：，化简得一直线方程：，
即在直线上，同理点也在直线上，因此：就是直线的方程．
到直线的距离，由垂径定理可得．
因为，四边形的面积．
17.解：因为，所以，
故，
即数列是以为首项，为公差的等差数列，
故，
所以；
依题意可得，
，
两式相减可得，
所以．
18.解：由题可得，
故椭圆的方程为：；
由题，设，、，显然，如图，
联立，两式作差变形得，
因为为线段的中点，所以，
又，，
所以，
即直线和直线的斜率之积为；
证明：由可得直线的斜率为，
又，所以直线的方程为，
即，
所以新直线过定点，坐标为．
19.解：在不大于的所有正整数中，既不能被整除也不能被整除的数为，，共个，
即有；
在不大于的所有正整数中，能被整除的共有个，能被整除的奇数个数为，
；
在不大于的所有正整数中，能被整除的数有个，能被整除的数有个，
能被和同时整除的数，即是能被整除的数，其个数有个，
所以满足题意的表达式为；
证明：由知，当时，，所以，
当时，，
上式放缩用到了不等式性质，若，，则
则时，，
也即，
综上可得，对于成立，即证．
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