2024-2025学年浙江省台州市六校联盟高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省台州市六校联盟高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
4.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知，，满足，则( )
A. B. C. D.
6.已知为奇函数，则( )
A. B. C. D.
7.已知，，( )
A. B. C. D.
8.已知函数满足：对任意，，当时，都有成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设集合，，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10.下列选项正确的是( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，则
11.有以下判断，其中是正确判断的有( )
A. 与表示同一函数
B. 函数的图象与直线的交点最多有个
C. 与是同一函数
D. 函数的定义域为，则函数的定义域为
12.已知与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值可能是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设函数，则 ______．
14.已知函数的图象经过点，其中且则在的最小值为______．
15.函数在的值域是______．
16.若函数在区间上同时满足：在区间上是单调函数，当，函数的值域为，则称区间为函数的“保值”区间，若函数存在“保值”区间，求实数的取值范围______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
化简求值．
；
．
18.本小题分
已知全集，集合，．
当时，求与；
若，求实数的取值范围．
19.本小题分
随着环保观念深入人心，自本世纪年代开始新能源汽车开始加速发展，得益于钱学森等老一批科学家的战略眼光及中国汽车人的不懈努力，目前中国正在重新塑造全球汽车行业的格局，在电池、电机、智能化方面具有压倒性优势，成为世界新能源的领导者年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产百辆，需另投入成本万元，且已知每辆车售价万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完．
求出年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式；
年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
20.本小题分
已知函数为奇函数，且其定义域为．
求出的值，并利用单调性的定义证明：在上单调递减；
解不等式．
21.本小题分
已知正实数、和实数满足．
若，求的最小值；
若存在最大值，求的取值范围．
22.本小题分
黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用黎曼函数定义在上，．
求．
请用描述法写出满足方程，的解集；
解不等式．
参考答案
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16.
17.原式
；
原式
．
18.解：全集，集合，．
当时，，
，全集，
所以，，或，
故．
因为，则，所以，，解得．
因此，实数的取值范围是．
19.解：年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，
每生产百辆，需另投入成本万元，且，
已知每辆车售价万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完，
当时，，
当时，
，
所以；
当时，，
所以当时，有最大值，为；
当时，
，
当且仅当，即时，有最大值为，
所以当时，有最大值为．
综上所述：年生产量为百辆时，企业所获得利润最大，最大利润为万元．
20.解：根据奇函数的性质可知，，即，，满足，
所以，
设，，，，，
则，
即，
所以在上单调递减；
，
因为函数是奇函数，且在区间上单调递减，，
所以函数在区间上单调递减，
所以，解得：，
所以不等式的解集为．
21.解：当时，则，
又因为、为正实数，则，
所以，
当且仅当且，即当，时等号成立，故的最小值为．
因为正实数、和实数满足，
当时，则，此时的最大值为；
当时，，
可得，即，不合乎题意；
当时，，
若存在最小值，则，可得，即时，
则，，此时存在最大值．
综上所述，若存在最大值，则的取值范围是．
22.解：由黎曼函数的定义可知，，，；
依题意，，
当时，，则方程无解，
当为内的无理数时，，则方程无解，
当为既约真分数时，则，为大于的正整数，
则由方程，解得，为大于的正整数，
综上，方程，的解集为为大于的正整数；
若或或为内无理数时，，
显然不等式无解，
若为既约真分数，
则，为大于的正整数，
所以，
解得，
又因为为既约真分数，
所以，，
综上所述，不等式的解集为．
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