2024-2025学年湖南省衡阳市衡阳三中高二（上）期末数学模拟试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省衡阳市衡阳三中高二（上）期末模拟考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知圆：，为直线：上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，当四边形的面积最小时，直线的方程为( )
A. B. C. D.
2.如图，已知点在正方体的对角线上，设，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆的左焦点为，过焦点作圆的一条切线交椭圆的一个交点为，切点为，且为坐标原点，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
4.牛顿在流数法一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法牛顿法设是的根，选取作为的初始近似值，过点做曲线的切线，与轴的交点的横坐标为，称是的一次近似值；过点做曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值则( )
A. B. C. D.
5.以双曲线的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线于，两点已知，则抛物线的焦点到准线的距离为( )
A. 或 B. C. 或 D.
6.数列的前项和为，，，设，则数列的前项之和为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8.设曲线，过点的直线与交于，两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点，，若，则的斜率可以为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知实数，满足圆的方程，则下列说法正确的是( )
A. 圆心，半径为
B. 过点作圆的切线，则切线方程为
C. 的最大值是
D. 的最大值是
10.已知等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 为递减数列 D. 的前项和为
11.已知函数，对于任意实数，，下列结论成立的有( )
A.
B. 函数在定义域上单调递增
C. 曲线在点处的切线方程是
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列中，，，公比，则 ______．
13.在正方体中，点、分别在、上，且，，则异面直线与所成角的余弦值为______．
14.已知两定点，，动点满足，则动点的轨迹方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆心为的圆经过点，直线：．
求圆的方程；
写出直线恒过定点的坐标，并求直线被圆所截得的弦长最短时的值及最短弦长．
16.本小题分
如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，为的中点．
证明：平面；
若，，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知函数为实常数．
若，求证：在上是增函数；
当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的值；
若存在，使得成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知数列的前项和为，且．
求的通项公式；
求数列的前项和．
19.本小题分
已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率．
求双曲线的方程；
记双曲线的右顶点为，过点作直线，与的左支分别交于，两点，且，，为垂足．
证明：直线恒过定点，并求出点坐标．
判断是否存在定点，使得为定值，若存在说明理由并求出点坐标．
参考答案
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15.解：圆的半径，
圆的方程为；
直线的方程为，，
令，解得：，定点的坐标为，
，点在圆的内部，故直线恒与圆相交，
又圆心到直线的距离，
被圆截得的弦长为，
当取得最大值时，弦长有最小值，最小值为，此时．
16.证明：如图所示，连接，设，连接，
因为四边形为正方形，则为的中点，
因为是的中点，所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
解：因为平面，四边形为正方形，
以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
因为，，
则，，，
，，，
设平面的法向量为，
由，
则有，取，可得，
又为平面的一个法向量，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：证明：由题可知函数的定义域，
，，，
令，解得，
在上是增函数．
，，，
令解得，令解得，
在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数有最小值为，
，，
当时，函数有最大值为．
由得，即，
，，，，
且当时，在恒成立，，
即存在时，，
令，，
令，
令，解得，
令，解得，
在单调递减，单调递增，
，
时，恒成立，
，
实数的取值范围是．
18.解：，当时，，
两式相减，得，整理得，
即时，，又当时，，解得，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
．
由知，，
令，易知，，
设数列的前项和为，则，，
由，得，
即，
，
．
19.解：根据题意，坐标原点是双曲线的中心，
离心率为，左焦点为，
所以，所以，，
因此双曲线方程为．
证明：根据第一问知，当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立直线和双曲线方程，化简得，
根的判别式，所以，
设，，根据韦达定理可得，
由于，因此，所以，
所以，
所以，
整理得，
所以，
所以，
可得，所以，
将代入直线，
此时直线过定点，
当直线的斜率不存在时，不妨设直线方程为，
因为，所以为等腰直角三角形，
此时点坐标为，
所以舍或，
此时过定点；
将代入直线，
此时直线过定点，不符合题意．
综上可知，直线恒过定点，
因为，此时存在以为斜边的直角三角形，
所以存在定点为中点满足，此时．
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