2024-2025学年山东省淄博市淄博十一中高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省淄博十一中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是( )
A. B. C. D.
3.若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.若正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.若定义域为的函数不是偶函数，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期现有一杯用热水冲的速溶咖啡，放在的房间中，如果咖啡降温到需要，那么降温到，需要的时长为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知是上的增函数，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面命题为假命题的是( )
A. 若，，则
B. 函数的单调减区间是
C. 的最小值是
D. 与是同一函数
10.关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是( )
A.
B. 不等式的解集为
C. 的最大值为
D. 关于的不等式解集中仅有两个整数，则的取值范围是
11.已知定义在上的函数满足，当时，，，则( )
A. B. 为奇函数
C. 为减函数 D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设函数，则 ______．
13.幂函数在区间上单调递增，则实数的值为 ．
14.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．
请写出一个图象关于点成中心对称的函数解析式 ______；
利用题目中的推广结论，若函数的图象关于点对称，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知合，或．
当时，求；
若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知，，．
求的最小值；
求的最大值．
17.本小题分
若函数为定义在上的奇函数．
求实数的值，并证明函数的单调性；
若存在实数使得不等式能成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数，．
解关于的不等式；
若，当时，的最小值为，求的值．
19.本小题分
若函数在定义域的某区间上单调递增，而在区间上单调递减，则称函数在区间上是“弱增函数”．
判断和在上是否为“弱增函数”写出结论即可，无需证明；
若在上是“弱增函数”，求实数的取值范围；
已知是常数且，若存在区间使得函数在区间上是“弱增函数”，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.答案不唯一
15.解：当时，集合或或，
因为，所以．
因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，
而，或，
所以或，故或，即实数的取值范围为．
16.解：因为，所以，
当且仅当，时取等号，所以的最小值为．
因为，所以，
当且仅当，即，时取等号，所以的最大值为．
17.解：因为函数为定义在上的奇函数，
所以，解得，
经检验符合题意，
所以，
证明：任取，，且，
则
因为，所以，
所以，，，
所以，即，
所以函数在上单调递增．
因为，在上的奇函数，
所以，
由知函数在上单调递增，
所以，成立，
即，成立，
设，则，
所以，，
所以，，
设，，
则在上单调递增，在上单调递减，
又，，
所以，
所以的范围为．
18.解：已知函数，
不等式，即，
当时，，解得；
当时，，
若时，则，解得或，
若时，则，解得，
若时，则，解得，
若时，则，解得，
综上所述，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
，，对称轴，
当时，即，此时在上单调递增，
所以，即；
当时，即，此时在上单调递减，在单调递增，
所以，即舍去．
综上所述，．
19.解：根据题意，对于，
因为在上单调递增，
故不是上的“弱增函数”；
对于，在上单调递增，
有在上单调递减，
故是上的“弱增函数”；
根据题意，若在上是“弱增函数”，
则在上单调递增，且在上单调递减．
的对称轴为，
在上单调递增；
令，，为对勾函数，
当时，，由对勾函数性质知：在单调递减，
当时，即时，在上单调递减；
在上为“弱增函数”时，的取值范围是．
根据题意，若存在区间使得函数在区间上是“弱增函数”，
而，则有，
分种情况讨论：
当时，分析可得：在为常数函数，故不是“弱增函数”；
当时，若在区间上为“弱增函数”，
则单调递增，单调递减．
令，
当时，分析可得：在单调递增，故不可能为“弱增函数”；
当时，为对勾函数，在单调递减，在单调递增．的对称轴为；
为“弱增函数”可得或，
解可得：或．
时，为“弱增函数”；
当时，若为“弱增函数”，则有，解可得：；
综上可得，的取值范围是．
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