2024-2025学年河北省承德市承德二中高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省承德二中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列不等式中成立的是( )
A. 若，则
B. 已知，，，则
C. 若，则
D. 若，则
2.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
3.设全集，集合，集合，则集合( )
A. B. C. D.
4.已知，则的最小值是( )
A. B. C. D.
5.集合或，，若为实数集，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知函数满足：对任意，，当时，都有成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.设函数为定义在上的奇函数，且当时，，若，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，则满足的实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若函数的图像与轴的两个交点是，，则下列结论正确的是( )
A.
B. 方程的两根是，
C. 不等式的解集是
D. 不等式的解集是
10.下列说法正确的有( )
A. 命题“，”的否定是“，”
B. “”是“”的必要条件
C. 命题“，”是假命题
D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件
11.已知函数，则( )
A. B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数是奇函数 D. 函数的图象关于点中心对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为______．
13.已知函数的定义域是，则函数的定义域是______．
14.已知函数的定义域为，若对于任意的，，都有，当时，都有，则函数在区间上的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知：关于的方程有实数根，：．
若命题是真命题，求实数的取值范围；
若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数，二次函数满足：且．
求的解析式；
若，解关于的不等式．
17.本小题分
某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从年起全面发售经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为万元．
求企业获得年利润万元关于年产量百台的函数关系式；
当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润．
18.本小题分
定义在上的函数满足：对任意的，，都有，且当时，．
求证：是奇函数；
判断的正负，并说明理由．
19.本小题分
已知函数的定义域为，对任意的，，都有当时，．
求的值，并证明：当时，；
判断的单调性，并证明你的结论；
若，求不等式的解集．
参考答案
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15.解：：关于的方程有实数根，：．
因为命题是真命题，则命题是假命题，即关于的方程无实数根，
因此，解得，
所以实数的取值范围是．
由知，命题是真命题，即：，
因为命题是命题的必要不充分条件，则，
因此，解得，
所以实数的取值范围是．
16.解：设二次函数，
所以，
所以，所以，
解得，即，
所以，可得，
即；
因为，
所以，所以，
当时，，所以，此时解集为；
当时，即，此时解集为，
当时，即，此时解集为或，
当时，即，此时解集为，
当时，即，此时解集为或，
综上，当时，解集为，
当时，解集为；
当时，解集为或，
当时，解集为，
当时，解集为或．
17.解：当，时，
，
当，时，
，
综上所述，；
由可知，，
当，时，，
故当百台时，取得最大值，最大值为万元，
当，时，
万元，
当且仅当，即时，等号成立，
由于，
故当年产量为万台时，企业所获年利润最大，最大利润为万元．
18.解：证明：因为函数的定义域为，
令，得，
即，
令，
可得，
即，
所以在上为奇函数；
，理由如下：
因为在上为奇函数，
则，
当时，，
即，
所以．
19.解：函数的定义域为，
对任意的，，都有当时，．
因为，，都有，
所以令，得，则，
证明：因为时，，
所以当时，，则，
令，，得，
所以．
在上单调递减，证明如下：
不妨设，则，，
令，，则，
所以，
即，所以在上单调递减；
因为，令，，
则，即，
由，得，即，
由知在上单调递减，
所以，所以，
即，则该不等式对应方程的实数根为和．
当时，，不等式的解集为，
当时，，不等式的解集为，
当时，，不等式的解集为，
综上：当时，解集为，
当时，解集为，
当时，解集为．
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