2024-2025学年广东省东莞市翰林高级中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省东莞市翰林高级中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
3.已知直线与直线平行，则它们之间的距离为( )
A. B. C. D.
4.已知点，，，则点到直线的距离是( )
A. B. C. D.
5.如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点是底面圆周上的一点，且，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是( )
A.
B.
C.
D.
6.已知点，，若直线：与线段含端点有公共点，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.设双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，若，且，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.吹奏乐器“埙”如图在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆半椭圆且为常数和半圆组成的曲线如图所示，曲线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，点是半圆上任意一点，当点的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 若空间向量，，则在上的投影向量为
B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C. 若空间向量，满足，则与夹角为锐角
D. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则
10.已知直线：，圆：，点为圆上一动点，则下列说法正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 圆心到直线的距离最大为
11.设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且则下列说法中正确的是( )
A. ， B. 离心率为
C. 的面积为 D. 的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数的值为______．
13.由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为______．
14.已知，分别是椭圆：的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好经过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知顶点、、．
求边上中线所在的直线方程；
求边上高线所在的直线方程；
求的面积．
16.本小题分
已知圆心在直线上的圆经过两点和．
求圆的方程；
设点，若圆上存在点满足，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且，点在棱上不与点，重合．
求证：平面平面．
求二面角的平面角的余弦值．
直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为，短轴长为过点且不平行于坐标轴的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．
求椭圆的标准方程；
证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；
求面积的最大值．
19.本小题分
瀑布图是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”图
埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为，定义正方形，，，的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，，将极点，，分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，，，，，，如图埃舍尔多面体可视部分是由个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图我们构造了其中两个四棱锥与
求异面直线与成角余弦值；
求平面与平面的夹角正弦值；
求埃舍尔体的表面积与体积直接写出答案．
参考答案
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15.解：顶点、、．
边的中点，即，
故直线，即：．
，故AE的斜率，
故直线，即：．
由可知，由点斜式即可得：，即：，
三角形的高是点到直线的距离，所以，
，
．
16.解：设和的中点为点，则点坐标为，易知，
则过点且与直线垂直的直线方程为，
即，
又圆心也在直线上，
联立，解得，
即圆心为，又易知，
因此圆的方程为；
设，
由题圆上存在点满足，可得，
，，
化简得，
可知点轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
依题意可知圆与圆有公共点，即，
解得．
即实数的取值范围为
17.解：证明：因为平面，所以，，
又，则以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
所以，，
所以，，且，，平面，
所以平面，平面，
所以平面平面．
由知是平面的一个法向量，，，
设平面的一个法向量为，
则，所以，即，
令，则，，所以，
所以，
又由图可知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的平面角的余弦值为．
由得，，，，
设，则，可得，
所以，
由知是平面的一个法向量，
若平面，可得，
则，该方程无解，
所以直线不能与平面垂直．
18.解：由已知可得，则，
．
椭圆的方程为：；
证明：设，，则，
，两点在椭圆上，
，两式相减并整理得：，
而直线的斜率为，
直线的斜率为，则．
故直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；
解：直线的斜率不为，设直线的方程为：，
联立，得：，
可得，
，
设点到直线的距离为，则，
即，
令，则，
，
当且仅当，即，则时取等号，
面积的最大值为．
19.解：由题意可知，，，两两垂直，且，
分别以的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则由题意可得：，，，，
，，，，
又，分别是，的中点，，．
，，
，
异面直线与成角余弦值为；
由可得，，，，
设是平面的一个法向量，
则，，取，
设是平面的一个法向量，
则，，取，
，
平面与平面的夹角正弦值为；
，，，
，，，
，
，且，
四边形为平行四边形，
又，，
四边形为菱形，又，，
，
设是平面的一个法向量，
则，取，
又，
点到平面的距离，
四棱锥的体积，
，，，
在方向上的投影为，
点到直线的距离，
同理可得点到直线的距离，
四棱锥的侧面积，
埃舍尔体的表面积为，体积为．
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