2024-2025学年河南省名校大联考高一上学期12月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年河南省名校大联考高一上学期12月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.如图，动物园要靠墙足够长建造两间相邻的长方形禽舍，不靠墙的面以及两间禽舍之间要修建围墙，已有材料可供建成围墙的总长度为米，若设禽舍宽为米，则当所建造的禽舍总面积最大时，的值是( )
A. B. C. D.
4.已知，则下列不等式不成立的是( )
A. B. C. D.
5.函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
6.已知某校高一年级女生人数多于男生人数，在分科后选报物理方向的学生人数多于历史方向的学生人数，则( )
A. 物理方向的男生多于物理方向的女生 B. 历史方向的女生多于历史方向的男生
C. 物理方向的女生多于历史方向的男生 D. 物理方向的男生多于历史方向的女生
7.已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.数学上用“”表示连乘运算，例如：设函数，记，，则使成立的的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中有零点的是( )
A. B. C. D.
10.下列选项正确的是
A. B.
C. D.
11.已知函数的定义域为，满足，且当时，若的图象与且的图象恰好有三个交点，则的值可能是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数则 ．
13.已知，，为常数，若不等式的解集为，则不等式的解集为 ．
14.已知函数，，若对任意恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集，集合，．
Ⅰ若，求；
Ⅱ若，求实数的取值范围．
16.本小题分
根据某高科技公司多年的经营数据，发现该公司每年的利润单位：万元与研发投入单位：万元满足函数关系式，且当时，．
Ⅰ若该公司想要明年的利润为万元，则明年的研发投入应该为多少万元
Ⅱ若该公司想要明年的利润相比今年增加万元，则明年的研发投入相比今年应该怎样变化
17.本小题分
已知正数，满足，设函数．
Ⅰ求，
Ⅱ若实数，满足，且在区间上的最大值为，求，．
18.本小题分
已知函数的定义域为，，，且仅有一个零点．
Ⅰ求，
Ⅱ若为奇函数，求的值
Ⅲ设函数，若存在实数，，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围．
19.本小题分
函数是一个特殊的函数，在人工智能领域和生物学中发挥着重要的作用，其数学表达式是．
Ⅰ判断的单调性，并用定义证明
Ⅱ设函数，求的值
Ⅲ若函数在上有零点，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：Ⅰ因为，所以或．
当时，故．
Ⅱ因为，所以A.
若，则，
由得解得，与矛盾．
若，则，，
由得解得．
综上，实数的取值范围是
16.解：Ⅰ由题意知，所以．
．
故明年的研发投入应该为万元．
Ⅱ设今年的研发投入为万元，明年的研发投入为万元，
由题意得，
故明年的研发投入应该增加到今年的倍
17.解：Ⅰ将代入，得，
即，所以，故，
所以．
Ⅱ由Ⅰ知，作出的图象，如图．
观察可知在上单调递减，在上单调递增，且，
由，可得，则，所以．
若在上的最大值为，
因为，所以，所以，
所以，得，
从而，．
18.解：Ⅰ函数的定义域为，，，且仅有一个零点．
令，，得，即，所以．
令，，得，所以，所以．
Ⅱ若是奇函数，则，
因为仅有一个零点，且由Ⅰ知，所以
当时，因为，，
所以，即是奇函数．
综上，．
Ⅲ由Ⅱ知，所以，所以，
则在和上均单调递增．
若存在实数，，使得在区间上的值域为，
则是方程的两个实根，
所以方程在上有两个不相等的实根．
设，则，解得，
故实数的取值范围是
19.解：
Ⅰ在上单调递增，证明：任取，，且，，因为，所以，所以，所以在上单调递增；
Ⅱ由题意得，所以，故，所以
；
Ⅲ由题意得，令，当时，，在上有零点关于的方程在上有解，方程可化为，令，则，且，因为函数在上单调递增，所以当时，，故实数的取值范围是
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