2024-2025学年湖北省武汉市汉阳一中、江夏一中、洪山高中高一上学期12月联考数学试题（含答案）

2024-2025学年湖北省武汉市汉阳一中、江夏一中、洪山高中高一上学期12月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设函数，则在下列区间中，使函数有零点的区间是( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
3.图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是( )
A. 、、
B. 、、
C. 、、
D. 、、
4.我们处在一个有声的世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同的要求音量大小的单位是分贝对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算：其中是人耳能听到的声音的最低声波强度设的声音强度为，的声音强度为，则是的( )
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
5.函数的部分图象大致是( )
A. B.
C. D.
6.设，则，，的大小顺序是( )
A. B. C. D.
7.已知，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.设函数是奇函数，函数的图象与的图象有个交点，则这些交点的所有横坐标与纵坐标之和等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的高斯取整函数为，表示不超过的最大整数，例如，，已知函数，，则下列说法中正确的是( )
A. 是奇函数 B. 在上是增函数
C. 是偶函数 D. 的值域是
11.若，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 ．
13.函数与的图象关于直线对称，则的单调递增区间是
14.已知函数，若关于的方程有个不同的实根、、、，且，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算下列各式的值：
；
．
16.本小题分
已知集合，集合．
若，且，求实数的取值范围．
，若是的必要不充分条件，判断实数是否存在，若存在求的范围．
17.本小题分
已知定义域为的函数满足对任意、都有．
求证：是奇函数；
设，证明：对任意、都有；
当时，，求不等式的解集．
18.本小题分
已知，函数．
若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的值；
设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围．
19.本小题分
关于的方程．
若方程无实根，求的取值范围；
若方程有个不等实根，求的取值范围；
若，且满足试判断方程根的个数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：原式
原式
．
16.解：由题意可得或，，
，
由于，
当时，有，即；
当时，有，解得．
综上所述，；
由题意可得，且，
，
且等号不同时取，解得，．

17.
因为函数的定义域为，
对任意、都有，
令，得，故，
令，得，可得，
令，，得，故函数为奇函数．
因为，且，，
所以，，即．
设，则，所以，
因为，
所以，在上是减函数，
因为函数的定义域为，，且为奇函数，
所以，，即函数是偶函数，
由可得，则，解得且，
因此，不等式的解集为．

18.
关于的方程的解集中恰有一个元素，
将代入可得，即，
由对数运算性质可得，化简可得，
即方程的解集中恰有一个元素，
当时，代入可得，解得，满足题意，
当时，则，解得，
再代入方程可解得，代入经检验可知，合乎题意．
满足关于的方程的解集中恰有一个元素，
综上可知，或．
若，对任意，函数在区间上单调递减，
由题意可知，
化简可得，即，所以，
令，
，
当时，，
当时，，
设，
设，则
，
，则，，
，，
所以在是增函数，，
，，
所以的取值范围为．

19.解：令，则，
原方程转化为，，
原方程无实根，则需式无实根或实根均小于零，
令，
若式无实根，则，
解得，
若式实根均小于零，则
解得，
综合，可知的取值范围是；
作函数的图象，
可知或时，每一个值对应个不同的值，
时一个值对应个不同的值，
时一个值对应个不同的值，
要使原方程有四个不等实根，
式一根为零，另一根大于，无解；
有两不等根且两根均大于，则，解得；
式有实根在之间，另一根小于零，则 ，
解得 ．
综上所述，取值范围为；
因为 ，
所以，
因为为正实数，所以，
可得，即，
所以，即，
当且仅当即，时等号成立，
故，此时有
故式有两不等实根且一根在之间，另一根大于，
故原方程有个实根．

第1页，共1页