2024-2025学年浙江省杭州学军中学高二上学期12月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年浙江省杭州学军中学高二上学期12月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线经过点，，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
2.若椭圆的长半轴长等于其焦距，则( )
A. B. C. D.
3.已知直线与垂直，则实数( )
A. B. C. D.
4.抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
5.在四面体中，为棱的中点，点为线段上一点，且，设，，，则( )
A. B. C. D.
6.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板称为天心石，环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块．下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块．已知每层环数相同，且下层比中层多块，则三层共有扇面形石板不含天心石( )
A. 块 B. 块 C. 块 D. 块
7.已知点为圆上一动点，若直线上存在两点，，满足，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知正方体的棱长为，为棱的中点，为侧面的中心，点，分别为直线，上的动点，且，当取得最小值时，点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，是两条不同直线，，是两个不同平面，下列命题为真命题的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则或 D. 若，，则或
10.一般地，对于数列，如果存在一个正整数，使得当取每一个正整数时，都有，那么数列就叫作周期数列，叫作这个数列的一个周期，则下列结论正确的是( )
A. 对于数列，若，则为周期数列
B. 若满足：，，则为周期数列
C. 若为周期数列，则存在正整数，使得恒成立
D. 已知数列的各项均为非零整数，为其前项和，若存在正整数，使得恒成立，则为周期数列
11.已知点为抛物线的焦点，点为抛物线上位于第一象限内的点，直线为抛物线的准线，点在直线上，若，，，且直线与抛物线交于另一点，则下列结论正确的是( )
A. 直线的倾斜角为 B. 抛物线的方程为
C. D. 点在以线段为直径的圆上
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在等差数列中，若，则 ．
13.已知，是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率是 ．
14.已知，函数设，，其中，，若存在最小值，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知双曲线的中心在原点，右焦点为，过点．
求双曲线的标准方程；
若直线与双曲线有且只有一个公共点，求实数的值．
16.本小题分
如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，平面，，且，，．
求直线与直线所成角的余弦值
证明：，，，四点共面．
17.本小题分
记为数列的前项和，为数列的前项积，已知．
证明：数列是等差数列
求的通项公式．
18.本小题分
如图，在矩形中，点分别在线段上，沿直线将翻折成，使平面平面．
证明：；
求二面角的余弦值；
点，分别在线段、上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长．
19.本小题分
已知点，，定义，的“倒影距离”为，我们把到两定点，的“倒影距离”之和为的点的轨迹叫做“倒影椭圆”．
求“倒影椭圆”的方程
求“倒影椭圆”的面积
设为坐标原点，若“倒影椭圆”的外接椭圆为，为外接椭圆的下顶点，过点的直线与椭圆交于，两点均异于点，且的外接圆的圆心为异于点，证明：直线与的斜率之积为定值．
参考答案
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15.解：由双曲线的中心在原点，焦点在轴上，，过点，
设双曲线的方程为：，由，
过点，可得，可得，即得，
故双曲线标准方程为：；
由，得
由题意得，解得．
当，即时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点，
所以或．

16.解：连接，因为四边形为菱形，又，所以为等边三角形，取的中点，连接，则，所以，因为平面，平面，平面，所以，，以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
则，，，，，由，可知，所以，于是，，故直线与直线所成角的余弦值为；
证明：因为，，所以，分别为，的中点，则，，连接，，则，，设，由知，则，
则
解得，，
所以，故，，，四点共面．
17.解：证明：方法一：
由已知 得 ，且 ， ，
取 ，由 得 ，
由于 为数列 的前项积，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
由于 ，
所以 ，即 ，其中 ，
所以数列 是以 为首项，以 为公差等差数列
方法二【最优解】：
由已知条件知
于是
由得 ，
又 ，
由得 ，
令 ，由 ，得 ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列；
方法三：
由 ，得 ，且 ， ， ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
在 中，当 时， ，
故数列 是以 为首项， 为公差的等差数列；
方法四：数学归纳法
由已知 ，得 ， ， ， ，猜想数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，且 ，
下面用数学归纳法证明，
当 时显然成立，
假设当 时成立，即 ，
那么当 时， ，
综上，猜想对任意的 都成立，
即数列 是以 为首项， 为公差的等差数列；
由可得，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
，
，
当时， ，
当时， ，显然对于不成立，
．

18.解：
取中点，连接．
，，由折叠得．
平面，平面．
平面，．
平面平面，平面平面，平面，，平面．
，
．
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，
，，
设平面的法向量为，则，取．
由题意得，平面的法向量为，
，
由图可得二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为．
连接．
设，则．
翻折后与重合，，
由得，，，
，解得，即．

19.解：设，由“倒影距离”的定义可知，，
，
由题可知，即所以“倒影椭圆”的方程为．
由得，，
当时，
当时，由对称性可知，其图象如图所示，
故“倒影椭圆”的面积为．
证明：由上图可得，“倒影椭圆”的外接椭圆长半轴长为，且经过点，可得的方程为．
由可知，，由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，，
联立，，恒成立，则，，
线段的中点为，即，又，
则的中垂线的方程为，即．
同理可得的中垂线的方程为．
设的外接圆的圆心的坐标为，则，是方程的两个根，
所以，，又，，可得，
整理得，则，即，
故直线与的斜率之积为定值．
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