2024-2025学年河南省南阳市高一上学期12月联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省南阳市高一上学期12月联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“”是“的终边落在第一象限或落在第二象限”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
2.中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画如图所示，某扇面的形状为扇环，记的长为的长为，若，则此扇环的圆心角的弧度数为( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.已知角，且，则等于( )
A. B. C. D.
5.已知，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
6.下列说法中，正确说法的个数为( ) 若函数的定义域为，则实数的取值范围是；已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是；若，，则的最小值为；已知，则的最小值为．
A. B. C. D.
7.已知幂函数在上单调递增，函数，总存在，使得，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 函数有个零点
D. 当时，
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 命题的否定为
B. 角度化为弧度是
C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为
D. 已知函数的值域为，则的取值范围是
10.若角的终边在第三象限，则的值可能为( )
A. B. C. D.
11.对于函数下列说法正确的是( )
A. 当时，的最小值为
B. 当时，存在最小值
C. 当时，在上单调递增
D. 的零点个数为，则函数的值域为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，则 ．
13.已知，则 ．
14.若函数，且关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知关于的方程的两个根分别为和，且．
求的值；
求的值；
求方程的两根及的值．
16.本小题分
某医学研究所研发一种药物据监测，如果成人在小时内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每升血液中的药物含量毫克与开始注射后的时间小时之间近似满足如图所示的曲线，与的函数关系为且根据图中提供的信息：
写出开始注射该药后每升血液中药物含量毫克关于时间小时的函数关系式；
据测定：每升血液中药物含量不少于毫克时该药有效，那么该药的药效时间有多长？结果保留小数点后两位参考值：
17.本小题分
设函数，且．
若，求证：在内存在零点；
若不等式的解集是，且时，恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
当时，求该函数的值域；
求不等式的解集；
若对于恒成立，求的最小值．
19.本小题分
定义在上的函数是单调函数，，且．
求，并判断函数的奇偶性；
判断函数的单调性，并证明；
若存在，使得成立，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：因为和是方程的两个根，所以
原式．
因为，所以，
所以，解得．
由可知，，所以方程为，其两根为，
所以或，又因为，所以或．

16.解：
当时，设，将代入得，
解得，此时；
当时，设且，将代入，得
解得，此时．
综上可得．
当时，令，解得；
当时，令，即
而，故
药效时间，
所以药效时间约为小时．

17.解：
解：由，即，，
，，
当时，，由零点存在性定理知在上存在零点；
当时，则， 是 零点，此时存在零点；
综上，在内存在零点．
解：依题意得，且是方程的两根，
由一元二次方程根与系数的关系得，，即，
所以．
依题意，得在时恒成立．
因为，所以只需在时恒成立，
即．
令，
令，则，且在时单调递增，
所以当时，，
所以，即，所以．
所以，的取值范围是．

18.解：
因为，
令，由，可知，
函数转化为．
因为，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取到最小值，为 ．
由，可知当时，取到最大值，
故当时，函数的值域为．
由题得，令，
则，即，解得或，
当时，即，解得；
当时，即，解得，
故不等式的解集为，或．
由于对于恒成立，
令，则，即在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为 函数在上单调递增，也在上单调递增，
所以函数在上单调递增，所以当时，函数取得最大值，为，
故当时，对于恒成立．
所以，的最小值为．

19.解：
在等式中，
令，可得，解得．
因为函数的定义域为，
令，可得，所以，
因此，函数为奇函数．
函数为上的减函数．
证明如下：任取，且，则，所以．
因为，
所以，
所以，函数为上的减函数．
由存在，使得，
可得．
因为函数在上单调递减，所以．
令，其中，则，即函数为偶函数；
任取且，
则
，
因为，则，则，
所以，则，
所以，函数在上单调递增，则当时，，
即，
所以，当时，．
令，则，则，
所以，可得．
令，其中，由题意可得．
因为函数在上单调递减，所以，
则，因此，实数的取值范围是．

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