山东省名校2025届高三上学期12月校际联合检测数学试题（含答案）

山东省名校2025届高三上学期12月校际联合检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知等差数列的前项和为，，，则( )
A. B. C. D.
5.设是空间中的一个平面，，，是两两不重合的三条直线，则下列命题中，真命题的是( )
A. 若，，，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
6.已知，，，则( )
A. B. C. D.
7.若正四棱锥的高为，且所有顶点都在半径为的球面上，则该正四棱锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
8.若是上的单调函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，真命题的是( )
A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10.函数的图象，如图所示，则( )
A. 的最小正周期为
B. 函数是奇函数
C. 的图象关于点对称
D. 若在上有且仅有三个零点，则
11.在正方体中，，分别为棱，的中点，则( )
A. 平面 B.
C. 直线与直线所成角为 D. 平面经过棱的三等分点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列的前项和为，若，则 ．
13.已知正数，满足，则的最小值为 ．
14.一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知在中，角，，的对边分别为，，，且．
求角
若为边上一点，且，求的值．
16.本小题分
已知函数．
证明：函数的图像关于点对称
若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，且，底面是边长为的菱形，．
证明：平面平面
若直线与平面所成角的正弦值为，点为棱上的动点不包括端点，求二面角的正弦值的最小值．
18.本小题分
已知函数其中是自然对数的底，，．
讨论函数的单调性
当时，若恒成立，求整数的最大值．
19.本小题分
已知无穷数列，构造新数列满足，满足，，满足，若为常数数列，则称为阶等差数列同理令，，，，若为常数数列，则称为阶等比数列．
已知为二阶等差数列，且，，，求的通项公式
若数列为二阶等差数列，为一阶等比数列证明：为三阶等比数列
已知，令的前项和为，，证明：．
参考答案
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14.
15.解：依题意，，
由正弦定理可得，
因为，所以，
所以，
即，所以，即，
因为，所以，
所以，即．
不妨设，则，
因为，，所以为等边三角形，
则，，
由余弦定理得，
所以，解得或舍去，
所以．
16.解：函数的定义域为，
依题意，
，
所以函数的图像关于点对称．
当时，，
由已知，不等式恒成立，
因为，所以，
以上不等式可化为：，
整理得，，
设，
由，知，上式可转化为，，
因为，
由，知，所以，
所以实数的取值范围为
17.解：连接交于点，连接，
因为是菱形，所以，
为的中点，，所以．
又，面，且，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
过作交于点，
面面，，面面，面，
所以面，则即为直线与平面所成角，
因为，，，面，，所以面，
又面，所以，
所以为，的交点，为等边三角形，
所以为的重心，
所以，
则，
在中，解得，
以为原点，，所在直线为，轴建立如下图坐标系，
则，，，，
所以，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则
令，故．
设，，
则，
设平面的一个法向量为，
则
令，故
设平面与平面夹角为，
于是，
令，
则
，
当，即，时，，此时．
故二面角的正弦值的最小值为．
18.解：函数定义域为，
．
当时，，在上是增函数
当时，由，解得，
由，解得．
所以函数在上是增函数，在上是减函数．
综上，当时，在上是增函数
当时，在上是增函数，在上是减函数．
由题意当时，，整理得．
令函数．
则
令，
则，
当时，恒成立，
所以在单调递增．
又，，
所以，使得，即．
故时，时，．
因此在单调递减，在单调递增，
所以
，
令函数，
则，
所以在单调递增，因此．
又，，
．
因此整数的最大值为．
19.解：因为，又，
所以是公差为，首项为的等差数列，
因此，即，
所以
．
因为为二阶等差数列，所以为常数，
因此，即，
所以
，
故是关于的二次多项式，
又为一阶等比数列，设公比为，则，
，
是关于的二次多项式，故是关于的三次多项式，
下面证明是三阶等差数列：
设，，则，
所以，
，
，此为常数，因此是三阶等差数列，
故是常数列，故是三阶等比数列．
由上可知，可设，其中，，，
则，
所以
故，
所以，
因此，
设数列的前项和为，则，
所以，
两式相减，得
，
，
所以即，得证．
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