河南省TOP二十名校2025届高三上学期调研考试四（12月）数学试题（含答案）

河南省TOP二十名校2025届高三上学期调研考试四
数学试题（12月）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若：，，则为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
2.已知集合，或，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则( )
A. 或 B.
C. D.
4.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数是定义在上的图象连续不间断的奇函数，且，若，则的值域是( )
A. B. C. D.
7.如图是函数的部分图象，记的导函数为，则下列选项中值最小的是( )
A. B. C. D.
8.过抛物线：的焦点作互相垂直的两条直线，使得其中的一条与相交于，，另外一条与相交于，，设，分别是线段，的中点，则的面积的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，其中为虚数单位，若，，为纯虚数，为实数，则( )
A. B. 的虚部为 C. D.
10.函数的部分图象如图所示，直线与图象的其中两个交点的横坐标分别为，，则( )
A. B.
C. 的图象关于轴对称 D. 在上的最小值为
11.已知，，，是坐标平面上的两个动点，为正常数，设满足的点的轨迹为曲线，满足的点的轨迹为曲线，则( )
A. 关于轴、轴均对称
B. 当点不在轴上时，
C. 当时，点的纵坐标的最大值大于
D. 当，有公共点时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为等差数列的前项和，若，，则 ．
13.在平面直角坐标系中，若点，，，且，则的取值范围是 ．
14.从球外一点作球表面的三条不同的切线，切点分别为，，，，若，则球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，，为边的中点，求的长．
16.本小题分
已知函数，其中，．
当时，求的图象在处的切线方程；
当时，若函数在区间上存在极值，求的取值范围．
17.本小题分
在平面图形如图中，已知，，，，将沿着折起到的位置，使得，连接，得到四棱锥，如图所示．
求证：；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知双曲线：的一条渐近线的斜率为，直线的方程为．
若与的左、右两支分别相交，求的取值范围；
当，时，对应的曲线分别为，，设直线与的左、右两支依次相交于点，，直线与的左、右两支依次相交于点，，为坐标原点，证明：的面积与的面积相等．
19.本小题分
在数列中，设是数列的前项和，并规定，定义集合，中元素的个数为．
在数列中，若，，，，，，，，求；
若，满足，
证明：集合非空；
证明：当，时，．
参考答案
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15.解：
，由正弦定理得，
由于，
故，
所以，
因为，所以，故，，
因为，所以；
为边的中点，故，
两边平方得，
又，，，所以，故．

16.解：
当时，，定义域为，
所以，
所以的图象在处的切线方程为，
即．
当时，，定义域为，
所以，
因为在区间上存在极值，
所以在上必存在变号零点，
令，则在上必存在变号零点，
因为，所以，解得，
当时，，且在上单调递增，
又，故存在，使得，
所以当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故为的极小值点，符合题意，故的取值范围为．

17.解：
四棱锥中，取的中点，连接，
由，，得，则，
，又，于是四边形为平行四边形，，，
由，得，则，，而，
平面，于是平面，又平面，
则，又，平面，
因此平面，而平面，所以．
在平面内过点作，由知平面，则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量，则，令，得，
设平面的法向量，则，令，得，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值是．

18.解：
因为双曲线的一条渐近线的斜率为，
所以，所以，
联立消去并整理，得，
因为与的左、右两支分别相交，所以
因为，所以，所以，
即的取值范围为．
设，
当时，由中及韦达定理，得，
当时，由中及韦达定理，得，
所以与中点的横坐标都为因为，，，在同一直线上，
所以与 的 中点重合，设该中点为，所以，
所以，所以，
所以的面积与的面积相等．

19.解：
因为，，，，，，，，，
因为，
所以
所以，
证明：由已知得，
若对中的任意正整数，满足，
则，
即，所以；
若在中存在，使得为中从左到右出现的第一个正数，
则，所以．
综上所述，集合非空．
由集合非空，设不妨设从小到大排列，
显然．
由集合的定义知，且是使得成立的最小的，
即是中最大的，所以，
因为，所以，所以，
因为，所以，
即．
由的定义得，
因为，所以，
因为，所以，即，
因为是中最大的，
所以，即，
所以
所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以．

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