2024-2025学年江苏省“高中教育高质量发展联盟”高三（上学）12月联合调研考试数学试题（PDF版，含答案）

2024-2025 学年江苏省“高中教育高质量发展联盟”高三（上学）12
月联合调研考试数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { ∣ 2 2 3 > 0}, = { 3, 2,1,2,3}，则 ∩ =( )
A. { 3, 2} B. {2,3} C. {1,2,3} D. { 3, 2,3}
2
2.若 = ，则 =( )

A. 1 2 B. 1 + 2 C. 1 D. 1 +
3.已知向量 , 是单位向量，若( + 2 ) ⊥ ，则| | =( )
A. 0 B. 1 C. √ 3 D. 2
4.等差数列{ }的前 项和为 ，若 3 = 2， 1 + 2 = 9，则 10 =( )
10 8 8 10
A. B. C. D.
3 3 3 3
5.设正三棱锥的一个侧面三角形面积是底面面积的两倍，则其侧面与底面所成的二面角的余弦值为( )
√ 3 1 1 1
A. B. C. D.
2 2 3 6
1
6.已知 ( 2,0)、 (2,0)是 轴上两定点， (0, )、 (0, )是 轴上两动点，则直线 与 的交点 的轨迹

方程为( )
2 2
A. 2 = 1( ≠ 0) B. + 2 = 1( ≠ 0)
4 4
2 2
C. 2 = 1( ≠ 0) D. 2 + = 1( ≠ 0)
4 4

7.若函数 ( ) = sin ( )在(0, )内存在两个零点且和为 ，则正数 的最小值为( )
6 2 2
2 8 14
A. B. 1 C. D.
3 3 3
8.在平面直角坐标系 中，若 ( 1 21, ), ( 2, )( 1 < 2)两点连线的斜率为1，则下列各式一定为正数
的是( )
A. 1 2 B. 1 + 2 C.
2
2
2
1 D.
2
1 2 +
2
1 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.如图，在四棱柱 1 1 1 1中， 是线段 1上的动点(不包括两个端点)，则下列三棱锥的体积为
定值的是( )
A. 三棱锥 1 1 B. 三棱锥 1
C. 三棱锥 1 1 D. 三棱锥 1
10.有一组样本数据1，2，3，5，7，8，9， ，下列说法正确的是( )
A. 若该组数据的平均数为 ，则 = 5 B. 若该组数据的中位数为 ，则 = 5
C. 当 ≤ 9时，该组数据的极差为8 D. 当 = 5时，该组数据的方差最小
11.已知三次函数 ( ) = ( )2，则( )
A. 函数 ( )一定有两个极值点
B. 当 < 0 < 时， ( ) > ( + )
C. 当 > 0时， ( )的极小值为0
D. , ∈ , ( )在区间[ , ]上的值域为[ , ]
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1 7
12.(1 + ) ( 2 ) 展开式中的常数项为 . (用数字作答)

√ 2 √ 2
13.若 和 都为锐角，cos( + ) = , sin cos = ，则sin( ) = ．
2 5
1 3
14.从集合 = { | = , ∈ }中选取 个数，从集合 = { | = , ∈ }中选取 个数．若这 + 个数2 4
125
的和不小于 ，则 + 的最小值为 ．
64
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， ⊥ , = 1, = 1 = 2．
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(1)证明： 1 ⊥平面 1；
(2)求直线 1与平面 1 1所成角的正弦值．
16.(本小题15分)
已知 的三个内角 , , 所对边分别为 , , ， 是边 上一点， cos + cos∠ = ．
(1)证明： = ；
(2)若 = = 2 ，且 = 2√ 10，求 的面积．
17.(本小题15分)
甲、乙两人参加学校组织的航空航天知识竞赛，规则如下：每轮比赛从题库中随机抽取两个问题，先由甲
回答第一题，然后乙回答第二题．答题者若答对则得1分，答错则对方得1分．当某轮比赛结束后出现一人
总分比另一人多2分，则比赛结束，得分多者获胜．已知无论之前答题情况如何，甲每题回答正确的概率为
2 1
，乙每题回答正确的概率为 ．
3 2
(1)记 为第一轮答题后甲的总分，求 的分布列和数学期望；
(2)求甲在这次竞赛中获胜的概率．
18.(本小题17分)
2 2 3
已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的离心率为 ，左顶点为 ，右焦点为 ，且| | = 5． 2
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线与 交于 ， 两点，直线 , 与直线 = 8分别交于点 ， ．
①若 的面积是 的面积的6倍，求直线 的方程；
②证明：直线 被以 为直径的圆截得的弦长小于20．
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系 中，沿着平行于 轴的方向，按照一定的比例对图形的每个点到 轴的有向距离进行
放缩得到的平面图形，即将点( , )映射到点( + , )的操作( 为固定的参数)，这种变换在数学上称为水
平错切．设 ( )是定义在 上的函数，记 ( ) = ( + ( ))( > 0)，则称 ( )是 ( )的“ 错切函数”．
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(1)设函数 ( ) = + 的“ 错切函数”为 ( )，
①求 ( )的最小值；
②若 ( )与 ( )的值域相同，求正数 的取值范围．
(2)已知 ( )是 上的增函数， ( )是 ( )的“ 错切函数”，证明： 0是 ( )的零点当且仅当 0是 ( )的
零点．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 21
√ 2
13.【答案】
10
14.【答案】8
15.【答案】解：(1)由题知 1 ⊥面 ，又 面 ，所以 1 ⊥ ，
又 ⊥ ， 1 ∩ = ， 1, 面 1 1，所以 ⊥面 1 1，
又 1 面 1 1，所以 ⊥ 1 ，
又 = 1 = 2，所以四边形 1 1是正方形，得到 1 ⊥ 1，
又 ∩ 1 = ， , 1 面 1，所以 1 ⊥平面 1．
(2)如图，
建立空间直角坐标系，因为 = 1, = 1 = 2，
则 (0,0,2)， 1(0,0,0), (1,0,2), 1(0,2,0)，
得到 1 = (1,0,2)， 1 1 = (0,2,0)， 1 = (0,2, 2)，
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直线 1与平面 1 1所成角为 ，
设平面 1 1的法向量为 = ( , , )，
= + 2 = 0
则{ 1 ，令 = 2，则 = 1, = 0，
1 1 = 2 = 0
所以平面 1 1的法向量为 = (2,0, 1)，
| |
则sin = |cos
1 2 √ 10
1 , | = = = ，
| 1| | | 2√ 2×√ 5 10
√ 10
直线 1与平面 1 1所成角的正弦值为 ． 10
16.【答案】解：(1)由 cos + cos∠ = ，得到sin cos + sin cos∠ = sin = sin( + ) =
sin cos + cos sin ，
整理得到sin cos∠ = cos sin ，又sin ≠ 0，所以cos∠ = cos ，
又∠ , ∈ (0, )，所以∠ = ，得到 = ，即 = ．
(2)因为 = = 2 ，所以 = = 2 = ，
2 2
+40
在△ 中，由余弦定理得cos = ，
2×2√ 10
9 2 2 9 2 2
+40 2 2 +40 +40
在 中，由余弦定理得到cos = 4 3 ，所以 =
4 ，
2×2√ 10× 2×2√ 10
3
2×2√ 10×
2 2
5 2 √ 10 √ 6整理得到60 = + 40，解得 = 4，所以 = 6，cos = ，sin = √ 1 2 = ，
4 4 4
1 1 √ 6
故 的面积为 = | | | |sin = × 6 × 2√ 10 × = 3√ 15．
2 2 4
17.【答案】解：(1)第一轮答题后甲的总分 可取2,1,0，
2 1 1
( = 2) = × = ，
3 2 3
2 1 1 1 1
( = 1) = × + × = ，
3 2 3 2 2
1 1 1
( = 0) = × = ，
3 2 6
的分布列为
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2 1 0
111

326
1 1 1 2 1 7
( ) = 2 × + 1 × + 0 × = + = ．
3 2 6 3 2 6
(2)记 甲在这次竞赛中获胜 为事件 ，因为甲获胜发生至少经过一轮答题，由(1)知，
一轮回答后有 = 0, = 1, = 2三种情形，由全概率公式得：
( ) = ( = 0) ( | = 0) + ( = 1) ( | = 1) + ( = 2) ( | = 2)，
( | = 0)是指一轮答题后甲得0分的条件下甲获胜的概率，为0(乙获胜，比赛结束)；
( | = 1)是指一轮答题后甲得1分的条件下甲获胜的概率为 ( )；
( | = 2)是指一轮答题后甲得2分的条件下甲获胜的概率为1；
1 1
所以 ( ) = ( = 0) × 0 + ( = 1) ( ) + ( = 2) = ( ) +
2 3
2
解得 ( ) = ，
3
2
求甲在这次竞赛中获胜的概率 ( ) = ．
3
3 3
18.【答案】解：(1)由双曲线的离心率为 ，则 = ①，
2 2
又| |
= 2
= + = 5②，联立①②解得，{ ,
= 3
则 2 = 2 2 = 5，
2 2
故所求 的方程为 = 1．
4 5
(2)由题意， 不与 轴垂直，右焦点 (3,0)，
设直线 方程为 = + 3，
= + 3
联立{ 2 2 消 得，(5 2 4) 2 + 30 + 25 = 0，
= 1
4 5
由直线与双曲线有两个交点，
5 2 4 ≠ 0 4
则{ ，即 2 ≠ ．
= (30 )2 4 × 25(5 2 4) = 400( 2 + 1) > 0 5
设 ( 1, 1), ( 2, 2)，
30
1 + 2 = 5 2 4 6则{ ，所以有 + = ；
25 1 2 5 1 2
1 2 = 5 2 4
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30 2 25 20√ 2+1
且| 1 2| = √ (
2
1 + 2) 4 1 2 = √ (5 2 ) 4 = ； 4 5 2 4 |5 2 4|
设 ( 3, 3), ( 4, 4)，

由点 ( 2,0), ( 1, 1)，得直线 方程为 =
1 ( + 2)，
1+2
10 10
令 = 8，得 3 =
1，又由 1 = 1 + 3，得 (8,
1 )，
1+2 1+5
10
同理 (8, 2 )．
2+5
10 1 10 2 20 +50( + )则 3 + 4 = + =
1 2 1 2
21+5 2+5 1 2+5 ( 1+ 2)+25
6
20 1 2 + 50 × ( ) 1 5 2 40
= = 1 2
2
2
6
1 2 + 5 ( )
5 1 2 + 25
5 1 2
+ 25
25
8
5 2 4 8×5 = 25 = = 10 ；
2 +5 4
5 2 4
10 1 10 2 100 1
2
3 4 = = 1 + 5 2 + 5
2 1 2 + 5 ( 1 + 2) + 25
25
100 1 2 20
20× 2
= 2 =
1 2 = 5 4 = 25；
5 1 2+25
2 1 2+5
25
2 2 +55 4
故| | = √ ( + )23 4 3 4 4 1 2 = √ 100 2 + 100 = 10√ 2 + 1；
1 5 1
① = | || 1 2| = | 1 2|；且 = (2 + 8)| | = 5| 3 2 2 2 4
|．
5 20√ 2+1
若 的面积是 的面积的6倍，则5 × 10√ 2 + 1 = 6 × 2 ， 2 |5 4|
4
则|5 2 4| = 6，解得 2 = 2，即 = ±√ 2，满足条件 2 ≠ ．
5
故所求直线 的方程为 √ 2 3 = 0或 + √ 2 3 = 0；
+
②设 中点 ，则 (8, 3 4)，即 (8,5 )，即以 为直径的圆的圆心，
2
| 3 |半径 = 4 = 5√ 2 + 1；
2
|8 5 2 3| 5|1 2|
点 到直线 = + 3即 3 = 0的距离 = = ；
√ 1+ 2 √ 1+ 2
2
2 2 2 25(1
2) 100 2
由 = 25( + 1) 2 = ． 1+ 1+ 2
当 = 0时，以 为直径的圆与直线 相切，可看作所截弦长为0；
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当 ≠ 0时，以 为直径的圆与直线 相交，
100 2 2
故直线 被截得的弦长 = 2√ 2 2 = 2√ 2 = 20√ 1+ 1+ 2，
1 1
由 ≠ 0，则 = 20√ 1 ，因为 2 + 1 > 1，
2+1


1 4 40
则 = 20 2√ 1 < 20(其中 ≠ ，弦长 ≠ ). +1 5 3
2
综上所述，直线 被以 为直径的圆截得的弦长小于20．
19.【答案】解：(1)①因为函数 ( ) = + 的定义域为 ， ′( ) = 1 ，
由 ’( ) < 0可得 < 0，由 ’( ) > 0可得 > 0，
所以，函数 ( )的减区间为( ∞, 0)，增区间为(0, +∞)，
所以，函数 ( )的最小值为 (0) = 1；
②由①可知，函数 ( )的值域为[1, +∞)，由题意可知，函数 ( )的值域为[1, +∞),
因为 > 0，且 ( ) = ( + ( ))( > 0)，
令 = + ( ) = + ( + ) = ( + 1) + ，

′ = ( + 1)
( +1)
= ，令 ′ = 0，可得
= ，解得 = ln ，
+1 +1

当 < ln 时， ′ < 0，此时函数 = ( + 1) + 单调递减，
+1

当 > ln 时， ′ > 0，此时函数 = ( + 1) + 单调递增，
+1

所以， min = ( + 1)ln +
ln
+1 = ( + 1)ln + ( + 1) = ( + 1) (1 + ln )，
+1 +1 +1
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所以，函数 = ( + 1) + 的值域为[( + 1) (1 + ln ) , +∞),
+1
要使得函数 ( ) = ( + ( ))( > 0)的值域为[1, +∞),

则[0, +∞) [( + 1) (1 + ln ) , +∞),
+1
> 0 1
所以，( + 1) (1 + ln ) ≤ 0，即1 + ln ≤ 0，可得{ 1，解得0 < ≤ ，
+1 +1 ≤ 1
+1
1
因此，实数 的取值范围是(0, ]．
1
(2)“ ”：若 0为函数 ( )的零点，则 ( 0) = 0，
所以， ( 0) = ( 0 + ( 0)) = ( 0) = 0，故 0为函数 ( )的零点；
“ ”：若 0为函数 ( )的零点，则 ( 0) = ( 0 + ( 0)) = 0，
所以，函数 ( )存在零点，设函数 ( )的零点为 ，则 ( ) = 0，
因为函数 ( )在 上为增函数，且 > 0，函数 = ( )在 上为增函数，
又因为函数 = 在 上为增函数，则内层函数 = + ( )在 上为增函数，
由复合函数法可知，函数 ( ) = ( + ( ))在 上为增函数，
且 ( ) = ( + ( )) = ( ) = 0，又因为 ( 0) = 0，所以， = 0，即 ( 0) = 0，
所以， 0为函数 ( )的零点．
因此， 0是 ( )的零点当且仅当 0是 ( )的零点．
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