2024-2025学年江苏省常州市金坛区第一中学高三（上）12月阶段性检测数学试卷（PDF版，含答案）

2024-2025 学年江苏省常州市金坛区第一中学高三（上）12 月阶段性检
测数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 2 3 ≤ 0}，集合 = { | = 2( 1)}则 ∩ =( )
A. (1,3] B. [1,3] C. (2,3] D. [ 1, +∞)

2.已知 ， 是两个虚数，则“ ， 均为纯虚数”是“ 11 2 1 2 为实数”的( ) 2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知向量 , 满足| | = 3, | | = 2√ 3，且 ⊥ ( + )，则 与 的夹角为( )
2 5
A. B. C. D.
6 3 3 6

4.设 是等比数列{ }的前 项和，若 3 = 4， 4 + 5 +
9
6 = 6，则 =( ) 6
3 19 5 19
A. B. C. D.
2 10 3 6
5.下列说法不正确的是( )
A. 一组数据5、7、9、11、12、14、15、16、18、20的第80百分位数为17
B. 若随机变量 (2, 2)，且 ( > 5) = 0.2，则 ( 1 < < 5) = 0.6
2
C. 若随机变量 (9, )，则方差 ( ) = 2
3
D. 对于回归分析，相关系数 的绝对值越小，说明拟合效果越好

6.已知函数 ( ) = 是奇函数，若 (2023) > (2024)，则实数 的值为( ) +
A. 1 B. 1 C. ±1 D. 0

7.已知过点 与圆 2 + 2 4 + 1 = 0相切的两条直线的夹角为 ，设过点 与圆 2 + 2 4 = 0相切的两
3
条直线的夹角为 ，则cos =( )
1 1 2√ 2 4√ 5
A. B. C. D.
9 3 3 9
8.已知正三棱锥 的四个顶点均在一个半径为2的球面上，则该正三棱锥体积的最大值为( )
64√ 3 64√ 3
A. 2√ 3 B. 4 C. D.
27 9
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件 表示“第一次取出
的球的数字是偶数”，事件 表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件 表示“两次取出的球的数字之
和是偶数”，则( )
3 2
A. 与 为互斥事件 B. 与 相互独立 C. ( + ) = D. ( | ) =
5 5
10.函数 ( ) = 2sin cos √ 3cos2 ，下列结论正确的是( )

A. 函数 ( )在(0, )上单调递增
6
5
B. 函数 ( )的图象可由函数 ( ) = 2cos2 的图象向右平移 个单位长度得到
12

C. 若关于 的方程2 ( ) = 0在[ , ]上有两个不相等的实数根，则 ∈ [2√ 3, 4]
12 2
5
D. 函数 ( ) = sin2 ( ) + 4sin 的最大值为 √ 3
3
11.如图，曲线 是一条“双纽线”，其 上的点满足：到点 1( 2,0)与到点 2(2,0)的距离之积为4，则下列
结论正确的是( )
A. 点 (2√ 2, 0)在曲线 上
B. 点 ( , 1)( > 0)在 上，则| 1| = 2√ 2
2 2
C. 点 在椭圆 + = 1上，若
6 2 1
⊥ 2 ，则 ∈
D. 过 2作 轴的垂线交 于 , 两点，则| | < 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
12.在(2√ )5的展开式中， 项的系数为 . (用数字作答)

2 2
13.已知 1、 2分别为双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的左右焦点，过 1的直线与双曲线左支交于 ， 两点，
且| 1| = 3| 1|，以 为圆心， 2为半径的圆经过点 ，则双曲线的离心率为 ．

14.已知 ( ) = 4有两个极值点，则实数 的取值范围为 ．
4
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
√ 2
在△ 中，角 ， ， 对应的的三边分别是 ， ， ，且 = √ 2cosB.

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(1)求角 的值;
(2)若 = 1，2tan = 3tan ，求△ 的面积．
16.(本小题15分)
已知等比数列{ }的前 项和为 ，且2
+1， ， 成等差数列．
(Ⅰ)求 的值及数列{ }的通项公式；
(Ⅱ)若 = (2 1) 求数列{ }的前 项和
17.(本小题15分)
2 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左焦点为 ，上顶点为 ，直线 与直线 + 3√ 2 = 0垂直，垂足
为 ，且点 是线段 的中点．
( )求椭圆 的方程；
( )若 ， 分别为椭圆 的左，右顶点， 是椭圆 上位于第一象限的一点，直线 与直线 = 4交于点 ，

且 = 9，求点 的坐标．
18.(本小题17分)
如图，三棱柱 1 1 1中，侧面 1 1 ⊥底面 ，△ 1 是边长为2√ 3的正三角形， = √ 6， 1
与平面 所成角为45°．
(1)证明： ⊥平面 1 1；

(2)若点 为 中点，点 为棱 1上一点，且满足 = ，是否存在 使得平面 与平面 1夹角余弦为 1
√ 6
，若存在求出 值，存不存在请说明理由．
10
19.(本小题17分)
2 2 +
已知函数 ( ) =

，其中 ∈ .
(1)当 = 1时，求曲线 = ( )在(0, (0))处的切线方程;
(2)判断函数 ( )是否存在极小值，若存在，请求出极小值;若不存在，请说明理由;
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(3)当 ≤ ln4时， (2 ) ≥ ( )恒成立，求实数 的值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 80
√ 10
13.【答案】
2
3
14.【答案】( , +∞)
27
√ 2
15.【答案】解：(1)因为 = √ 2cos ，所以√ 2sin sin = √ 2sin cos ，

则√ 2sin( + ) sin = √ 2sin cos ，
所以√ 2sin cos = sin ，0 < < ，sin ≠ 0，
√ 2
故cos = ，又0 < < ，所以 = ．
2 4
tan 1
(2)若 = 1，2tan = 3tan = 3tan( + ) = 3 × ，
4 1 tan
1
2tan2 5tan 3 = 0解得tan = 3，tan = (舍去)，
2
3√ 10 2√ 5 3√ 5
则tan = 2，所以sin = ，sin = ，由 = ，得 = ，
10 5 sin sin 5
1 1 3√ 5 2√ 5 3 3
= sin = × × 1 × = ， 的面积为 ．
2 2 5 5 5 5
16.【答案】解：(Ⅰ) ∵ 2 +1， ， 成等差数列，

∴ 2 +1 = 2 + ，即 = 2 + ， 2

当 = 1时，2 1 = 2 1 = 4 + ，即 1 = 2 + ， 2
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当 ≥ 2时， =

1 = 2 + 2
1 = 2 1，
2 2
∵ { }是等比数列，

∴ 1 = 1，则2 + = 1，得 = 2， 2
∴数列{ }的通项公式为 = 2 1 ， ∈ ；
(Ⅱ)由(1)得 = (2 1) = (2 1) 2
1
，
则前 项和 0 1 2 = 1 2 + 3 2 + 5 2 + + (2 1) 2
1，
2 1 2 3 = 1 2 + 3 2 + 5 2 + + (2 1) 2 ，
两式相减可得 2 1 = 1 + 2(2 + 2 + + 2 ) (2 1) 2

2(1 2 1)
= 1 + 2 (2 1) 2 ，
1 2
化简可得 = 3 + (2 3) 2
．
17.【答案】解：( ) ∵椭圆的左焦点 ( , 0)，上顶点 (0, )，直线 与直线 + 3√ 2 = 0垂直

∴直线 的 斜率 = = 1，即 = ①

又点 是线段 的中点
∴点 的坐标为 ( , 2 )
又点 在直线 + 3√ 2 = 0上
∴ + 2 3√ 2 = 0 ②
∴由①②得： = = √ 2
∴ 2 = 4
2 2
∴椭圆 的方程为 + = 1.
4 2
( )设 ( 0, 0), ( 0 > 0, 0 > 0)
由( )易得顶点 、 的坐标为 ( 2,0), (2,0)

∴直线 的方程是： = 0 ( + 2)
0+2

= 0 ( + 2) 6
由{ 0+2 得： (4, 0 )

= 4 0
+2
2 2
又点 在椭圆上，故 0 + 0 = 1
4 2
2
2
∴ 0 = 2
0
2
6 6 2 20 0 + 8 0 + 20
∴ = ( 0 + 2, 0) (2,
0 ) = 2( 0 + 2) + = = 9 0 + 2 0 + 2 0 + 2
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∴ 0 = 1或 2(舍)
√ 6
∴ 0 = , ( 0 > 0) 2
√ 6
∴点 的 坐标为 (1, )
2
18.【答案】解：(1)
取 中点 ，连结 1 , ，
∵△ 1为正三角形，∴ 1 ⊥ ，
∵侧面 1 1 ⊥底面 ， 1 平面 1 1，平面 1 1 ∩平面 = ，
∴ 1 ⊥面 ，
∵ 1 与平面 所成角为45°，
∴ ∠ 1 即为 1 与平面 所成角，即∠ 1 = 45°，
∵ 2 21 = 3 ∴ = 3，∴ = +
2即 ⊥ ，
∵侧面 1 1 ⊥底面 ， 平面 ，平面 1 1 ∩平面 = ，
∴ ⊥平面 1 1．
(2)
由(1)可得 1 ⊥ 、 ⊥ 且 ⊥ 1 ，
连接 ，则由题 // ，所以 ⊥ ， 1 ⊥ ，
所以 , , 1两两垂直，故可建立如图所示空间直角坐标系，
√ 6
则 (0, √ 3, 0)， (0, √ 3, 0)， 1(0,0,3)， (√ 6, √ 3, 0)， ( , 0,0)， 2
设 = ，则 1 = = 1 1 = (0, √ 3 , 3 )(0 ≤ ≤ 1)， = (√ 6, √ 3, 0)，
∴ = (√ 6, √ 3( + 1),3 )， = (0, √ 3, 0)，
√ 6
= ( , √ 3, 0)， 1 = (0, √ 3, 3)， 2
设平面 法向量 1 = ( 1, 1, 1)，平面 1法向量 2 = ( 2, 2, 2)，
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1 = 0 1 = 0则{ ，即{ ，令 1 = 2，解得 1 = √ 6 ，即 6 + 3 = 0 1
= ( √ 6 , 0,2)，
1 = 0 √ 1 1

√ 6
2 = 0 √ 3 = 0 = 6{ ，即{ 2 2 2 ，令 2 =
√
√ 3，解得{ 2 ，即 2 = (√ 6, √ 3, 1)，
2 1 = 0 √ 3 2 + 3
2 = 1
2 = 0
|6 2| √ 6
∴ |cos 1 , 2 | = = ， 10
√ 10 √
2
6 +4
2 2
即81 2 60 + 4 = 0，解得 = 或 = ，
27 3
2 2 √ 6
∴存在 = 或 使得平面 与平面 1夹角余弦为 ． 27 3 10
(4 ) (2 2 + ) 2 2+( +4) 2
19.【答案】解：(1) ∵ ′( ) = 2 =
( )
，
2 2+5 2
当 = 1时， ′( ) = ， ′(0) = 2，
又∵ (0) = 1，
故曲线 = ( )在(0, (0))处的切线方程为 = 2 + 1;
2 2+( +4) 2
(2)由 ′( ) =
( 2 + )( 2)
= = 0，


解得 1 = 2， 2 = ． 2

①若 > 4，则 ( )在( ∞, 2)，( , +∞)上递减，在(2, )上递增．
2 2
8
极小值 (2) = ;
2
②若 = 4，则 ′( ) 0恒成立，函数单调递减，无极小值;

③若 < 4，则 ( )在( ∞, )，(2, +∞)上递减，在( , 2)递增，
2 2

极小值 ( ) = ； 2 2
(3)由题意 (2ln4) ≥ (ln4)得(2ln4 3) ≥ 0，
因为2ln4 3 < 0，所以 ≤ 0，

当 < 0时，由(2)得 ( )在( ∞, )上递减，在( , ln4)上递增，
2 2

∴ ( )在( ∞, ln4]上最小值为 ( )，
2

此时存在 0 = 使得 (2 4 0) < ( 0)，
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∴ < 0不成立，∴ = 0，
下面证明 = 0时成立，
2 2
当 = 0时， ( ) = ，∵ ≤ ln4，∴
≤ 4，

8 2 2 2 2 2(4 )
∴ (2 ) ( ) = 2 = 2 ≥ 0，
∴当 ≤ ln4时， (2 ) ≥ ( )恒成立，所以 的值为0．
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