2024-2025学年广东省清远市清新区四校高三（上）期末联考模拟预测数学试卷（PDF版，含答案）

2024-2025 学年广东省清远市清新区四校高三（上）期末联考模拟预测
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {1,2,3}， = { ∈ |( + 1)( 2) < 0}，则 ∩ =( )
A. {1,2,3} B. {1,2} C. {2,3} D. {1}
2.复数 + ( , ∈ )等于它共轭复数的倒数的充要条件是( )
A. ( + )2 = 1 B. 2 + 2 = 1 C. 2 2 = 1 D. ( )2 = 1
3.在等比数列{ }中， 1 +2 2 = 5,2 4+ 4 5 = 80，则 3 =( )
5
A. 4 B. C. 8 D. 5
4
4.抛物线 : = 4 2的准线方程为( )
1 1 1
A. = B. = C. = 1 D. =
16 16 8
2 2
5.已知 1， 2分别是双曲线 ： 2 2 = 1 ( > 0 , > 0 )的左、右焦点，点 在双曲线上， 1 ⊥ 2，圆
9
： 2 + 2 = ( 2 + 2)，直线 1与圆 相交于 ， 两点，直线 2与圆 相交于 ， 两点．若四边形 4
的面积为9 2，则 的离心率为( )
5 8 √ 5 2√ 10
A. B. C. D.
4 5 2 5
6.过圆 2

+ 2 = 4上一点 作圆 : 2 + 2 = 2( > 0)的两条切线，切点分别为 ， ，若∠ = ，则
3
实数 =( )
1 1
A. B. C. 1 D. 2
3 2
7.甲、乙、丙等5名同学参加政史地三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，则甲和乙不参加同一科，
甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为( )
4 2 10 4
A. B. C. D.
81 27 81 27
( 8.已知函数 = sin + ) ( > 0)在区间(0, )上有且只有一个最大值和一个最小值，则 的取值范围是
6 2
( )
A. (
14
0, )
14
B. (0, ]
8 14 8 14
C. ( , ) D. ( , ]
3 3 3 3 3 3
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
第 1 页，共 10 页
9.在正方体 1 1 1 1中， ， ， 分别是面 1，面 1 1，面 1的中心，则下列结论正确的是
A. // 1 B. //平面
C. 1 ⊥平面 D. 与 1所成的角是60

10.下列结论正确的是( )
A. 若 < < 0，则 2 > > 2
B. 若 ∈ ，则 2
1
+2 + 2 的最小值为2 +2
C. 若 + = 2，则 2 + 2的最大值为2
1 1
D. 若 ∈ (0,2)，则 + ≥ 2
2
11.已知圆 1：
2 + 2 = 1，圆 2 :( 3)
2 + ( +4)2 = 2( > 0)， 、 分别是圆 1与圆 2上的点，则( )
A. 若圆 1与圆 2无公共点，则0 < < 4
B. 当 = 5时，两圆公共弦所在直线方程为6 8 1 = 0
7
C. 当 = 2时，则 斜率的最大值为
24

D. 当 = 3时，过 点作圆 2两条切线，切点分别为 ， ，则∠ 不可能等于 2
12.已知函数 ( ) = ln ， ( ) = ( 1)，其中 > 0且 ≠ 1.若函数 ( ) = ( ) ( )，则下列结
论正确的是( )
A. 当0 < < 1时， ( )有且只有一个零点
1
B. 当1 < < 时， ( )有两个零点
1
C. 当 > 时，曲线 = ( )与曲线 = ( )有且只有两条公切线
D. 若 ( )为单调函数，则 ≤ < 1
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
第 2 页，共 10 页
13.第二届广东自由贸易试验区—联动发展区合作交流活动于2023年12月13日—14日在湛江举行，某区共
1
有4名代表参加，每名代表是否被抽到发言相互独立，且概率均为 ，记 为该区代表中被抽到发言的人数，
4
则 ( ) = ．
14.函数 ( ) = ( +√ 23 + 9) ( ∈ )是奇函数，则 (4 ) = ．
15.已知向量 = (1,2)， = ( 2,1)，则使( + ) ( ) < 0成立的一个充分不必要条件是 ．
16.如图，在四棱柱 1 1 1 1中，底面 为正方形， = 4，
1 = 1， 1 ⊥ 1，且二面角 1 1 1的正切值为√ 2.若点 在底
√ 2
面 上运动，点 在四棱柱 1 1 1 1内运动， 1 = ，则 2 1
+
的最小值为 ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)

在 中，角 , , 的对边分别为 , , ，已知 cos + cos + = 0．
2cos
(1)求角 的大小；
(2)若 = √ 3，求 的最小值．
18.(本小题12分)
设{ }是等比数列且公比 大于0，其前 项和为 ,{ }是等差数列，已知 1 = 1, 3 = 2 + 2， 4 = 3+
5, 5 = 4 +2 6．
(1)求{ },{ }的通项公式；
499
(2)设 = ，数列{ }的前 项和为 ，求满足 ( +1)( +1) < 的最大整数 的值． +1 1000
19.(本小题12分)
在四棱锥 中，底面 是正方形，若 = 2， = = √ 5， = 3，
(1)求四棱锥 的体积；
第 3 页，共 10 页
(2)求直线 与平面 夹角的正弦值．
20.(本小题12分)
甲 乙两队进行篮球比赛，采取五场三胜制(当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束).根据前期比赛成
绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各
场比赛结果相互独立．
(1)在比赛进行4场结束的条件下，求甲队获胜的概率；
(2)赛事主办方需要预支球队费用 万元．假设主办方在前3场比赛每场收入100万元，之后的比赛每场收入
200万元．主办方该如何确定 的值，才能使其获利(获利=总收入 预支球队费用)的期望高于 万元？
21.(本小题12分)
2 2 3
抛物线 1 :
2 = 4 ，双曲线 2 : 2 2 = 1且离心率 = √ 5，过曲线 2下支上的一点 ( , )作 的切线， 4 1
1
其斜率为 ．
2
(1)求 2的标准方程；
1
(2)直线 与 2交于不同的两点 ， ，以 为直径的圆过点 (0, )，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，则平2
面内是否存在定点 ，使得 为定值，若存在，求出定值和定点 的坐标；若不存在，请说明理由．
22.(本小题12分)
2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的焦点到渐近线的距离为2，其中一条渐近线的斜率为2．
(1)求双曲线 的方程；
(2)设过点(0,2)的直线 与双曲线 交于 ， 两点，问在 轴上是否存在定点 ，使得 · 为常数？若存
在，求出点 的坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．
第 4 页，共 10 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
3
13.【答案】
4
14.【答案】1
15.【答案】 1 < < 0(真包含于 1 < < 1的任意范围或取值)
√ 2
16.【答案】8
2

17.【答案】解：(1) ∵ cos + cos + = 0，
2cos
sin
由正弦定理得：sin cos + sin cos + = 0，
2cos
sin sin
∴ sin( + ) + = sin + = 0，
2cos 2cos
1
又∵ sin > 0，∴ cos = ，
2
∵ ∈ (0, )，
2
∴ = ；
3
1 1 √ 3
(2) = sin = = √ 3， = 4， 2 2 2
由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 + ≥ 3 = 12，
当且仅当 = = 2时等号成立，
∴ ≥ 2√ 3，即 的最小值为2√ 3．
第 5 页，共 10 页
18.【答案】解：(1)
设{ }的公比为 > 0，
因为 3 = 2 +2，所以 1
2 = 1 + 2，即
2 2 = 0，解得 = 2或 = 1(舍)，
所以 = 1 = 2 1 1 ，
设{ }的公差为 ，
因为 4 = 3 + 5, 5 = 4+ 2 6，所以 3 + 5 = 8, 4+ 2 6 = 16，
2 + 6 = 8
所以{ 1 ，解得 = = 1，所以 = + ( 1) = ．
3 1+ 13 = 16
1 1
故 = 2
1， = ．
(2)
1 (2 +1) (2 1 2 +1
) 1 1
= =( +1)( +1) (2 1+1)(2
= 1 = ，
+1 +1) (2 +1)(2 +1) 2 1+1 2 +1
1 1
即 = 1 2 ． 2 +1 +1
1 1 1 1 1 1 1 1
所以 = 1 + 2 + 3 + + =
20
+
+1 21+1 21
2 + 2 3 + + 1 +1 2 +1 2 +1 2 +1 2 +1 2 +1
1 1
= ． 2 2 +1
1 1 499
= < ，化简得2 < 999，又 ∈ ，解得 ≤ 9． 2 2 +1 1000
499
所以满足 < 的最大整数 = 9． 1000
19.【答案】解：(1)
取 的中点 ，连接 ， ，
因为 = ，所以 ⊥ ，
2

又 = 2， = √ 5，所以 = √ 2 ( ) = √ 5 1 = 2，
2
在正方形 中， = = 2，所以 = 1，
所以 = √ 2 + 2 = √ 1+ 4 = √ 5，又 = 3，
所以 2 = 2 + 2，即 ⊥ ，
又 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
1 1 8
所以四棱锥 的体积为 × 22 × = × 22 × 2 = ；
3 3 3
第 6 页，共 10 页
(2)
过 作 // 交 于 ，则 ⊥ ，
结合(1)中 ⊥平面 ，故可建如图空间直角坐标系：
则 (2, 1,0)， (0,0,2)， (2,1,0)， (0,1,0)，
故 = ( 2,1,2)， = (2,1, 2)， = (0,1, 2)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 0 2 + 2 = 0
则{ ，故{ ，取 = 1，则 = 0， = 2，所以 = (0,2,1)，
= 0 2 = 0
设直线 与平面 夹角为 ，
| |
则sin = |cos |
2×1+1×2 4√ 5
, =
|
= = ，
| | | √ 9 √ 5 15
4√ 5
所以直线 与平面 夹角的正弦值为 ．
15
20.【答案】解：(1)
记事件 为“比赛进行4场结束”；事件 为“甲最终获胜”，
事件 表示“第 场甲获胜”( = 1,2,3,4,5)，
事件 为“比赛进行4场结束甲获胜”；事件 为“比赛进行4场结束乙获胜”．
则 = ∪ , ( 1) = ( 2) = ( 5) = 0.6, ( 3)= ( 4) = 0.5，
因为各场比赛结果相互独立，
所以 ( ) = ( 1 2 3 4)+ ( 1 2 3 4)+ ( 1 2 3 4)
= 0.6 × 0.6× 0.5× 0.5 + 0.6 × 0.4× 0.5 × 0.5+ 0.4 × 0.6× 0.5 × 0.5 = 0.21，
( ) = ( 1 2 3 4) + ( 1 2 3 4) + ( 1 2 3 4)
= 0.4 × 0.4× 0.5× 0.5 + 0.4 × 0.6× 0.5 × 0.5+ 0.6 × 0.4× 0.5 × 0.5 = 0.16，
因为 , 互斥，所以 ( ) = ( ) + ( ) = 0.21+ 0.16 = 0.37．
又因为 = ，
第 7 页，共 10 页
( )
( ) ( ) 0.21 21
所以由条件概率计算公式得 ∣ = = = = ．
( ) ( ) 0.37 37
(2)
设主办方本次比赛总收入为 万元，
由题意： 的可能取值为：300,500,700．
( = 300) = ( 1 2 3)+ ( 1 2 3) = 0.6× 0.6 × 0.5+ 0.4× 0.4× 0.5 = 0.26，
( = 500) = ( ) = 0.37，
( = 700) = 1 ( ) ( = 300) = 1 0.26 0.37 = 0.37，
则随机变量 的分布列为：
300 500 700
0.260 .37 0.37
所以 ( ) = 300× 0.26+ 500× 0.37 + 700× 0.37 = 522．
设主办方本次比赛获利为 万元，则 = ，
所以 ( ) = ( ) = ( ) ，
( )
由题意： ( ) > ( ) > < = 261，
2
所以预支球队的费用应小于261万元．
2 1
21.【答案】解：(1)抛物线 1 : = ，所以 ′ = = ， = 1， 4 2 2
1
所以切点为( 1, )，
4
1 1 3
所以切线方程为 = ，因为 ( , )在切线上，
2 4 4
1 3 1 5 3 5
则 = × = ，即 ( , )，
2 4 4 8 4 8
3 5
又 ( , )在双曲线 2上，又离心率 = √ 5， 4 8
25 9
64 2 2 = 116
所以
= √ 5

{ 2 = 2 + 2
2 1解得 = , 2 = 1
4
2
故 2的标准方程为 1
2 = 1；
4
(2)根据条件可设直线 的方程为 = + ，与双曲线方程联列方程组
第 8 页，共 10 页
= +
{ 2 2 ，消 得(4
2) 2 2 2 1 = 0，
4 = 1
设点 ， 的坐标分别为( 1 + , 1),( 2 + , 2)，
2 2+1
所以 1 + 2 = 2， 1 2 = 2． 4 4
1
因为以 为直径的圆过点 (0, )，故 · = 0，
2
1 1
所以( 1 + )( 2 + ) + ( 1 )( 2 ) = 0， 2 2
1 1
化简得( 2 + 1) 1 2 + ( )( + ) +
2 + = 0，
2 1 2 4
2 2+1
将 1 + 2 = 2， 1 2 = 代入上式并整理得： 4 4 2
12 2 4 5 2 = 0，即(2 + )(6 5 ) = 0，
6
所以 = 2 或 = ，均满足 > 0，
5
1 5 1
所以直线 恒过(0, )或(0, )，将(0, )舍掉，
2 6 2
5
设(0, )为点 ，所以点 在以 为直径的圆上，
6
1
所以点 为 的中点(0, )，
6
1 2
此时 = = ．
2 3
22.【答案】解：(1)因为双曲线焦点到渐近线的距离为 ，所以 = 2．
因为双曲线的一条渐近线的斜率为2，

所以 = 2，解得 = 1．

2
所以双曲线 的方程为 2 = 1．
4
(2)设直线 的方程为 = + 2，设定点 (0, )，
2
2
联立{ = 14 ，消去 得(4 2) 2 4 8 = 0．
= +2
所以4 2 ≠ 0，且 = ( 4 )2 4(4 2)( 8)> 0，
解得 2 < 8且 2 ≠ 4．
设点 (
4 8
1, 1)， ( 2, 2)，则 1+ 2 = 2， 1 2 = 2，
4 4
4 16
所以 1 + 2 = ( 1 + 2)+ 4 = 2+ 4 = 2，
4 4
第 9 页，共 10 页
1 2 = ( 1 +2)( 2 +2)
8
= 2 1 2+ 2 ( 1+ 2)+ 4 =
2 ( 2)+ 2 (
4
2)+ 4 = 4，
4 4
所以 · = ( 1 , 1 ) · ( 2, 2 )
= 1 2 + ( 1 )( 2 ) = 1 2+ 1 2 (
2
1 + 2) +
8 16 8 16
= 2 +4 2 +
2 = 2 +4 +
2，与 无关，
4 4 4
1 17
所以令 8 16 = 0，解得 = ，此时 · = ．
2 4
1 17
所以在 轴上存在定点 (0, )，使得 · 为常数 ．
2 4
第 10 页，共 10 页