2024-2025学年四川省眉山市东坡区高三（上）一诊模拟联考数学试卷（PDF版，含答案）

2024-2025 学年四川省眉山市东坡区高三（上）一诊模拟联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
1.一物体的运动方程是 ( ) = + ，则在 = 2时的瞬时速度是( )

5 3
A. B. C. 1 D. 2
2 4
2.函数 = ( )的导函数 ’( )的图象如图所示，则在函数 = ( )的图象上 ， 的对应点附近，有( )
A. 处下降， 处上升 B. 处上升， 处下降
C. 处下降， 处下降 D. 处上升， 处上升
3.已知函数 ( ) = cos + ( 1) 2是奇函数，则曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线方程是( )
A. 2 = 0 B. = 0 C. 2 + = 0 D. 2 = 0
4.已知三次函数 = ( )的图像如下图所示，若 ′( )是函数 ( )的导函数，则关于 的不等式 ′( ) > (7)
的解集为( )
A. { | < 0 或 1 < < 4} B. { | < 7}
C. { |1 < < 4} D. { | > 4 或 0 < < 1}
5.若函数 ( )， ( )满足 ( ) + ( ) = 2 1，且 (1) = 1，则 ′(1) + ′(1) =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.设直线 = 与函数 ( ) = 2, ( ) = ln 的图像分别交于点 , ，则当| |达到最小时 的值为( )
1 √ 5 √ 2
A. 1 B. C. D.
2 2 2
1 1
7.函数 ( ) = ln ， = (2)， = ( )， = ( )，则 ， ， 的大小关系是( )
4 3
A. < < B. < < C. < < D. < <
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8.已知 ( )是定义在(0, +∞)上的函数，其导函数是 ′( )，且当 > 0时总有 ′( ) > ( )，则下列正确的
是( )
A. 2 (1) ≥ (2) B. 2 (1) > (2) C. 2 (1) ≤ (2) D. 2 (1) < (2)
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
1
9.函数 ( ) = 的一个单调递减区间是( )
ln
1 1 1
A. ( , +∞) B. ( , +∞) C. (0, ) D. ( , 1)
e e e
10.设 ′( )是函数 ( )的导函数，将 = ( )和 = ′( )的图象画在同一个直角坐标系中，正确的是( )
A. B.
C. D.
11.若函数 ( ) = + sin2 ，则满足 (2 2 1) + ( ) > 0的 的取值范围可能为( )
1 1 1
A. ( 1, ) B. ( ∞, 1) C. ( , 1) D. ( , +∞)
2 2 2
ln + 12.函数 ( ) = 1在(0, +∞)上有唯一零点 0，则( )
1
A. 00 = 1 B. < 0 < 1 C. = 2 D. > 2 2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2 +1
13.函数 ( ) = 2 的极小值为 ． +2
14.已知定义在区间( , )上的函数 ( ) = sin + cos ，则 ( )的单调递增区间为 ．
15.若 ( ) = 3 2 + 4在(0,2)上单调递减，则实数 的取值范围是 ．
16.等比数列{ }中， 1 = 2， 8 = 4，函数 ( ) = ( 1) ( 2) ( 8)，则 ′(0)等于 ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
1
已知函数 ( ) = 2 + ．

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(1)求函数 ( )在区间[3,4]上的平均变化率；
1 1
(2)求函数 ( )的 图象在点( , ( ))处的切线方程．
2 2
18.(本小题12分)
设 = 1与 = 2是函数 ( ) = ln + 2 + 的两个极值点．
(1)试确定常数 和 的值；
(2)判断 = 1， = 2是函数 ( )的极大值点还是极小值点，并说明理由．
19.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 + ln( + 1)．
1
(1)当 = 时，求函数 ( )的单调区间；
4
(2)若函数 ( )在区间[1, +∞)上为减函数，求实数 的取值范围．
20.(本小题12分)
1
设 ( ) = + ln ， ( ) = 3 2 3，如果对于任意的 , ∈ [ , 2]，都有 ( ) ≥ ( )成立，求实数 的取
2
值范围．
21.(本小题12分)
已知函数 ( ) = + ．
(1)若 = 1，求函数 ( )的单调区间；
(2)当 > 0时， ( ) > 2 + 1恒成立，求实数 的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数 ( ) = ln + 2 2 4 ( ∈ )．
(1)若 = 2是 ( )的极值点，求 ( )的单调区间；
(2)求 ( ) = ( ) 在区间[1, ]上的最小值 ( )．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
1
13.【答案】 或 0.5
2

14.【答案】( , ) , (0, )
2 2
15.【答案】 ≥ 3
16.【答案】4096
17.【答案】解：(1)
1 1
(4) (3) (8+ ) (6+ ) 23
函数 ( )在区间[3,4]上的平均变化率为 = 4 3 = ．
4 3 4 3 12
(2)
1 1
设函数 ( )的图象在点( , ( ))处的切线斜率为 ，
2 2
1 1
∵ ( ) = 2 + ，∴ ′( ) = 2 ，
2
1
∴ = ′ ( ) = 2 4 = 2，
2
1
∵ ( ) = 3，
2
1
∴切线方程为 3 = 2 ( )，即2 + 4 = 0．
2
18.【答案】解：(1) ∵ ( ) = ln + 2 + ，
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∴ ′( ) = + 2 + 1．

由极值点的必要条件可知：
′(1) = ′(2) = 0，

∴ + 2 + 1 = 0且 + 4 + 1 = 0，
2
2 1
解方程组得， = ， = ．
3 6
2 1
(2)由(1)可知 ( ) = ln 2 + ，
3 6
2 1
且函数 ( ) = ln 2 + 的定义域是(0, +∞)，
3 6
2 1 ( 1)( 2)
′( ) = 1 + 1 = ．
3 6 3
当 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0；当 ∈ (1,2)时， ′( ) > 0；
当 ∈ (2, +∞)时， ′( ) < 0；
所以， = 1是函数 ( )的极小值点，
= 2是函数 ( )的极大值点．
1
19.【答案】解：(1)当 = 时，
4
1
( ) = 2 + ln( + 1)( > 1)，
4
1 1 ( +2)( 1)
′( ) = + = ( > 1)．
2 +1 2( +1)
当 ′( ) > 0时，解得 1 < < 1；
当 ′( ) < 0时，解得 > 1．
故函数 ( )的单调递增区间是( 1,1)，单调递减区间是(1, +∞)．
(2)因为函数 ( )在区间[1, +∞)上为减函数，
1
所以 ′( ) = 2 + ≤ 0对任意 ∈ [1, +∞)恒成立，
+1
1
即 ≤ 对任意 ∈ [1, +∞)恒成立．
2 ( +1)
1
令 ( ) = ， ∈ [1, +∞)，
2 ( +1)
4 + 2
′( ) =
[2 ( + 1)]2
当 ∈ [1, +∞)时， ′( ) > 0，
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故 ( )在区间[1, +∞)上单调递增，
1
故 ( ) = (1) = ， 4
1
故 ≤ ．
4
1
即实数 的取值范围为 ( ∞, ]．
4
1
20.【答案】解：因为对任意的 ， ∈ [ , 2]，有 ( ) ≥ ( )，
2
则 ( )min ≥ ( )max，
′( ) = 3 2 2 = (3 2)，
1 2
当 ∈ [ , )时， ′( ) < 0，此时 ( )单调递减；
2 3
2
当 ∈ ( , 2]时， ′( ) > 0，此时 ( )单调递增．
3
1 25
又 ( ) = ， (2) = 1，
2 8
1
故当 ∈ [ , 2]时， ( )
2 max
= (2) = 1
1
所以当 ∈ [ , 2]时， ( ) = + ln ≥ 1恒成立，
2
即 ≥ 2ln 恒成立．
1
令 ( ) = 2ln ， ∈ [ , 2]，
2
所以 ′( ) = 1 2 ln ，
1
令 ( ) = 1 2 ln ， ∈ [ , 2]，
2
所以 ′( ) = 3 2ln < 0，
1
′( )在[ , 2]上单调递减，
2
又 ′(1) = 0，
1
所以当 ∈ [ , 1]时， ′( ) ≥ 0，当 ∈ [1,2]时， ′( ) ≤ 0，
2
1
所以 ( )在[ , 1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，
2
所以 ( )max = (1) = 1，
故 ≥ 1.所以实数 的取值范围是[1, +∞)．
21.【答案】解：(1)
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若 = 1，则 ( ) = ，
所以 ′( ) = 1，
令 ′( ) > 0，得 > 0，令 ′( ) < 0，得 < 0，
所以函数 ( )的单调增区间为(0, +∞)，单调减区间为( ∞, 0)；
(2)
当 > 0时， ( ) > 2 + 1恒成立，即 + > 2 + 1恒成立，
1 1
即 > + 恒成立，即 > ( + )
max
1 1 ( 1) 2 1+(1 ) ( 1)( +1 )
设 ( ) = + ，则 ′( ) = 1 2 2 = = ， 2 2
令 ( ) = 1，则 ′( ) = 1，
当 < 0时， ′( ) < 0，当 > 0时， ′( ) > 0，
故 ( ) min = (0) = 0，所以 1 ≥ 0，当且仅当 = 0时等号成立，
所以 + 1 < 0在(0, +∞)上恒成立，
令 ′( ) > 0，得0 < < 1；令 ′( ) < 0，得 > 1；
所以 ( )在(0,1)上单调递增，在(1, +∞)上单调递减，
故 ( )max = (1) = 2 ，所以 > 2 ．
22.【答案】解：(1) ( )的定义域为(0, +∞)，
2
′ 4 4 + ( ) = + 4 4 = ．

因为 = 2是 ( )的极值点，
16 8+
所以 ′(2) = = 0，解得 = 8，
2
4 2 4 8 4( 2)( +1)
所以 ′( ) = = ，

当 > 2时， ′( ) > 0；当0 < < 2时， ′( ) < 0，
所以 ( )的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2, +∞)．
(2) ( ) = ln + 2 2 4 ，
(4 )( 1)
则 ′( ) = + 4 4 = ，


令 ′( ) = 0，得 = 或 = 1．
4

①当 ≤ 1，即 ≤ 4时， ( )在[1, ]上为增函数， ( ) = (1) = 2；
4
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②当1 < < ，即4 < < 4 时， ( )在[1, )上单调递减，在( , ]上单调递增，
4 4 4
1
所以 ( ) = ( ) = ln 2 ；
4 4 8

③当 ≥ ，即 4 时， ( )在[1, ]上为减函数，
4
所以 ( ) = ( ) = (1 ) + 2 2 4 ．
2, 4
1
综上所述， ( ) = { ln 2 , 4 < < 4 ．
4 8
(1 ) + 2 2 4 , 4
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