江苏省泰州市靖江市高级中学2025届高三（上）12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

江苏省泰州市靖江市高级中学 2025 届高三（上）12 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { | 2 4 ≤ 0}， = { |2 + ≤ 0}，且 ∩ = { | 2 ≤ ≤ 1}，则 =( )
A. 4 B. 2 C. 2 D. 4
1 1
2.设 ， ∈ ，则“ > > 0”是“ < ”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知锐角 ， 满足 + = ，则2 + =( )

A. B. C. D.
2 3 4
4.复数 = 1 + 2 + 3 2 + 4 3 + + 2024 2023的虚部为( )
A. 1011 B. 1012 C. 1011 D. 1012
2 2
5.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左焦点为 1， 为坐标原点，若在 的右支上存在关于 轴对称
的两点 ， ，使得△ 1 为正三角形，且 ⊥ 1 ，则 的离心率为( )
A. √ 2 B. 1 + √ 2 C. √ 3 D. 1 + √ 3
6.设 > 0， > 0，且 + = 1，则下列结论正确的个数为( )
①log2 + log2 ≥ 2
②2 + 2 ≥ 2√ 2
③ + < 0
1
④ <
4
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.已知 为坐标原点，抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点 到准线 的距离为1，过点 的直线 1与 交于 ，
两点，过点 作 的切线 2与 ， 轴分别交于 ， 两点，则 =( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
2 2 4 4
8.三棱锥 的底面△ 是等边三角形， ⊥ ，二面角 的大小为150°，若三棱锥
外接球的表面积为84 ，则该三棱锥 体积的最大值等于( )
9√ 3 27 27√ 3
A. B. 9√ 3 C. D.
2 2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
第 1 页，共 9 页
9.已知△ 是边长为4的正三角形，该三角形的内心为点 ，下列说法正确的是( )
A. 在 方向上的投影向量的模为2
B. = 8
2√ 3C. | + | =
3
D. 若 为△ 外接圆上任意一点，则| + + | = 4√ 3

10.已知函数 ( ) = 2 (2 )的图象与直线 = (0 < < 2)连续的三个公共点从左到右依次记为 ，

， ，若| | = 2| |，则( )
3
A. =
2
B. ( )的最小正周期为
2 4
C. 将函数 ( )的图象向右平移 个单位后，得到函数 ( )的图象，则 ( )在[ , ]上的值域为[ 2, √ 3]
12 3 3

D. 若函数 ( ) = ( ) + ( + )，则 = 2 ( ) + 在( ∞, )上有4个零点
4

11.已知函数 ( )的定义域为( ∞, 0) ∪ (0,+∞)， ( ) + ( ) = ( ) ( )，且当 < 0时， ( ) < 0；当 1

时， ( )单调递增，则( )
1
A. (1) = 2 B. ( ) + ( ) = 0

C. ( )是奇函数 D. ( 2) ≥ 2( ( ) 1)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1 1 1 1 ( +3)
12.已知数列{ }满足 + + + + = ，则{ }的通项公式为______． 1 2 2 3 3 4
13.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若20 + 15 + 12 = 0 ，则△ 的最小
角的正弦值等于______．
14.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点 ， 的距离之比为常数 ( >
0, ≠ 1)的点的轨迹是一个圆心在直线 上的圆.该圆被称为阿氏圆，如图，在长
方体 1 1 1 1中， = 2 = 2 1 = 12，点 在棱 上， = 2 ，
动点 满足 = √ 3 ，若点 在平面 内运动，则点 对应的轨迹的面积是
______； 为 1 1的中点，则三棱锥 1 体积的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
√ 2
在△ 中，角 ， ， 对应的的三边分别是 ， ， ，且 = √ 2 ．

第 2 页，共 9 页
(1)求角 的值；
(2)若 = 1，2 = 3 ，求△ 的面积．
16.(本小题15分)
已知数列{ }前 项和为 ，满足6 = (3 + 2) + 2．
(1)求数列{ }的通项公式；
+1
( 1) (6 +1)
(2)若 = ，求数列{ }的前100项和 100． +1
17.(本小题15分)
如图1，菱形 的边长为4，∠ = 60°， 是 的中点，将△ 沿着 翻折，使点 到点 处，连接
， ，得到如图2所示的四棱锥 ．
(1)证明： ⊥ ；
(2)当 = 2√ 10时，求平面 与平面 的夹角的正弦值．
18.(本小题17分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，两焦点 1， 2与短轴的一个顶点构成等边
√ 6
三角形，点 (√ 2, )在椭圆 上．
2
(Ⅰ)求椭圆 的标准方程；
(Ⅱ)过点 1且斜率不为0的直线 与椭圆 交于 ， 两点，与直线 = 3交于点 ．
①设△ 2内切圆的圆心为 ，求tan∠ 的最大值；
②设 = 1 1， = 2 1，证明： 1 + 2为定值．
19.(本小题17分)
设函数 ( )的定义域为 ，若 ∈ ， ( ( )) = ，则称 ( )为“循环函数”．
1, ≤ 0,
(1)试问函数 ( ) = { 是否为“循环函数”？说明你的理由．
ln( + 1), > 0
3
(2)已知函数 ( ) = ，证明：存在常数 ，使得 ( ) = ( ) + 为“循环函数”．
4 2
(3)已知对任意 ， ∈ ，函数 ( )， ( )都满足 ( ) + ( ) + ( ) = 3 ( ) + 2 3 2 4 ．
第 3 页，共 9 页
①证明： ( )为“循环函数”．
1
②若 ( 3) = 0，证明：当 > 1时， ( ) > + ln( 3 2)．
2
第 4 页，共 9 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
2
12.【答案】 = ( +1)
3
13.【答案】
5
14.【答案】48 108 24√ 6
√ 2
15.【答案】解：(1)根据题意，有 = √ 2 ，

√ 2
由正弦定理可得 = √ 2 ，

整理可得√ 2 = √ 2 ，
即√ 2sin( + ) = √ 2 ，
整理可得√ 2 = ，
√ 2
又 ∈ (0, )， ≠ 0，所以 = ，
2

又 ∈ (0, )，因此 = ；
4
(2)由 + + = ，
+
可得 = tan( ) = tan( + ) = = 1，
1
3
+
又2 = 3 ，则有 2 3 = 1，
1 tan2
2
1
解得 = 2或 = ，
3
第 5 页，共 9 页
1 1
当 = 时， = ，又 ∈ (0, )，
3 2
所以两角均为钝角，不合题意；
因此 = 2， = 3，
2√ 5
又 = = 2，可得 = ，
5
3√ 10
同理 = ，
10

由正弦定理可得 = ，

3√ 20
可得 = √ 2 = ，
10
2√ 10
同理 = √ 2 =
5
1 3
因此△ 的面积为 = = ．
2 5
16.【答案】解：(1)6 = (3 + 2) + 2，
当 ≥ 2时，6 1 = (3 1) 1 + 2，
两式相减得6 = (3 + 2) (3 1) 1，
即(3 4) = (3 1) 1，

所以

= 1 ，所以{ }是常数列，
3 1 3( 1) 1 3 1

当 = 1时，6 1 = 5 1 + 2，所以 1 = 2，所以
1 = 1，
2

所以 = 1，即 = 3 1．
3 1
+1 +1
( 1) (6 +1) ( 1) (6 +1)
(2) = = = ( 1) +1
1 1
( + )， +1 (3 1) (3 +2) 3 1 3 +2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 75
所以 100 = + + + = = ． 2 5 5 8 8 11 299 302 2 302 151
17.【答案】(1)证明：因为菱形 ，且∠ = 60°，所以△ 是等边三角形，
又 是 的中点，所以 ⊥ ，
翻折后，有 ⊥ ， ⊥ ，
因为 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
而 平面 ，
所以 ⊥ ．
(2)解：因为菱形 的边长为4，∠ = 60°， 是 的中点，
第 6 页，共 9 页
所以 = = 2， = 2√ 3，
由(1)知 ⊥平面 ，
以 为坐标原点，以 为 轴正方向， 为 轴负方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,0), (2√ 3, 0,0), (0, 2,0), (2√ 3, 4,0)，
设 (0, , )， > 0，
√ (2√ 3)2 + ( 4 )2 + 2 = 2√ 10 = 1由 = 2√ 10， = 2，得{ ，解得{ ，即 (0,1,√ 3)，
= √ 3
√ 2 + 2 = 2
所以 = (0,3, √ 3)， = (2√ 3, 2,0)， = (0,1, √ 3)， = (2√ 3, 0,0)，
= 3 + √ 3 = 0
设平面 的法向量为 = ( 1, 1, 1)，则{
1 1 ，
= 2√ 3 1 + 2 1 = 0
令 1 = 1，则 1 = √ 3， 1 = 3，所以 = (1, √ 3, 3)，
= + √ 3 = 0
设平面 的法向量为 = ( 2, 2, 2)，则{
2 2 ，
= 2√ 3 2 = 0
令 2 = 1，则 2 = √ 3， 2 = 0，所以 = (0, √ 3, 1)，
设平面 与平面 的夹角为 ，
| | 6 3√ 13
则 = |cos , | = = = ，
| || | 2√ 13 13
所以 2√ 13 = √ 1 cos2 = ，
13
故平面 与平面 的夹角的正弦值为2√ 13．
13
2 = 2 + 2
18.【答案】解：(Ⅰ)由题意得：{ = 2 ，
2 6
+ = 1
2 24
解得 = 2，
2 2
= √ 3，所以椭圆 的标准方程是 + = 1．
4 3
第 7 页，共 9 页
(Ⅱ)①因为 为△ 2的内切圆圆心，则∠ 1 2 = 2∠ ，显然∠ 是锐角，
当且仅当∠ 最大时，tan∠ 最大，且∠ 1 2最大，
又∠ 1 2 ∈ (0, )，即有cos∠ 1 2最小，
由椭圆的定义得| 1 | + | 2 | = 4，| 1 2| = 2，
2 2 2 2 2
△ | | +| | | | (| |+| |) | | 4
2 22
在 1 2中，由余弦定理得cos∠ =
1 2 1 2 = 1 2 1 21 2 1 = 2| 1 || 2 | 2| 1 || 2 | 2| 1 || 2 |
6 1
1 ≥ | 1 |+| 2 | 1 =2 ， ( ) 2
2
当且仅当| 1 | = | 2 | = 2时取等号，

故当| 1 | = | 2 | = 2，即△ 1 2为正三角形时，∠ 1 2取得最大值 ， 3

此时∠ 取最大值 ，所以tan∠ 的最大值为 √ 3
6 tan = ． 6 3
证明：②由(Ⅰ)知 1( 1,0)，由条件可知 的斜率存在且不为0，
设 的方程为 = 1， ≠ 0，
2
令 = 3，可得 ( 3, )，

= 1
联立方程{ ，
3 2 + 4 2 12 = 0
得(3 2 + 4) 2 6 9 = 0，
6 9
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 1 + 2 = 2 ， = ， 3 +4 1 2 3 2+4
2
由 = 1 1可得 1 = ， 1 1
2 2
所以 1 = 1 + ，同理 2 = 1 +1
，
2
2 1 1 2 + 2 6 2
所以 1 21 + 2 = 2 + ( + ) = 2 + ( ) = 2 + × ( ) = ， 1 2 1 2 9 3
2
故 1 + 2为定值 ． 3
第 8 页，共 9 页
1, ≤ 0,
19.【答案】(1)解：函数 ( ) = { 是“循环函数”，理由如下：
ln( + 1), > 0
当 = 0时， (0) = 0， ( (0)) = (0) = 0；
当 < 0时， ( ) = 1 > 0，则 ( ( )) = = ；
当 > 0时， ( ) = ln( + 1) < 0，则 ( ( )) = ln( +1) 1 = + 1 1 = ．
1, ≤ 0,
故 ( ) = { 是“循环函数”．
ln( + 1), > 0
1 3 1 +1
(2)证明：当 = 时， ( ) = + = ，
2 4 2 2 2 1
+1
+1 +1+2 1
则 ( ( )) = 2 12( +1) = = ，
1 2 +2 (2 1)
2 1
1
所以存在常数 = ，使得 ( ) = ( ) + 为“循环函数”．
2
(3)证明：由题意得 ( ) + ( ) 2 = 3 ( ) ( ) 3 2 4 对 ， ∈ 恒成立，
所以存在常数 ，使得 ( ) + ( ) 2 = 3 ( ) ( ) 3 2 4 = ．
( ) + ( ) 2 = ,
令 = ，得{ 2 ， 3 ( ) ( ) 3 4 =

解得 ( ) = ， ( ) = 2

+ + ．
2 2

①由 ( ( )) = ( ) = ，得 ( )为“循环函数”．
2 2

②若 ( 3) = 0，则 = 3， ( ) = 2 + 3．
2
1
设函数 ( ) = ( ) ln( 3 2
7
) = 2 + ln( 2 2)( > 1)，
2 2
3 2 2 3 2 (2 1)( 2 2)
则 ′( ) = 2 + 1 = 2 + 1 = ( > 1)，
3 2 2 2
当1 < < √ 2时， ′( ) < 0， ( )单调递减；当 > √ 2时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
3
所以 ( ) = (√ 2) = √ 2 ln(2√ 2 2)， 2
3 3
易证 < 1( > 1)，则 (√ 2) > √ 2 + 1 (2√ 2 2) = √ 2 > 0，
2 2
所以 ( ) > 0，
1
故当 > 1时， ( ) > + ln( 3 2)．
2
第 9 页，共 9 页