河南省焦作市2025届高三上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

河南省焦作市 2025 届高三上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 < ≤ 2}， = { 1,0,1,2,3,4,5}，则 ∩ =( )
A. { 1,0} B. { 1,0,1,2} C. { 1,0,1} D. {2,3,4,5}
2.已知复数 ≠ 0，若| 3| = | 3 |，则 的实部与虚部的比值为( )
1
A. 3 B. 2 C. 1 D.
2
3.已知{ }是正项等比数列，若6 2， 4， 3成等差数列，则{ }的公比为( )
1 1
A. B. C. 2 D. 3
3 2
2 , 2 ≤ ,
4.函数 ( ) = { 在区间(0,+∞)上( )
, 2 > ,
A. 单调递增 B. 单调递减 C. 先减后增 D. 先增后减
1 1
5.放射性物质的衰变规律为： = 0 × ( ) ，其中 0指初始质量， 为衰变时间， 为半衰期， 为衰变后2
剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为 1， 2(单位：天)，若两种物质的初始质量相同，1024
1 1
天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则 =( )
2 1
3 1 1 3
A. B. C. D.
1024 512 1024 512

6.若函数 ( ) = 2 在 = 2时取得极小值，则 ( )的极大值为( ) + +1
1 3
A. B. 1 C. D.
8

7.若函数 ( ) = sin( )( > 0)在区间( , )上有唯一极值点，则 的取值范围是( )
6 3 3
7 7
A. (0,2] B. (1,2] C. [2, ) D. (1, ]
2 2
8.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 2 2 2 = 28，点 在△ 所在的平面内，
1
满足
1 1 1
+ + = 0 ，且cos∠ = ，则 ( )
3
A. 有最大值10 B. 有最小值10 C. 有最大值8 D. 有最小值8
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数 ( ) = 2 ( + )， ( ) = 2 ，则( )
2 3 2
A. ( )与 ( )有相同的最小正周期
B. ( )与 ( )有相同的最大值
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C. ( )与 ( )的图象有相同的对称轴
2
D. 将 ( )的图象绕点( , 0)旋转180°可得到 ( )的图象
3
1
10.如图，△ 是边长为1的等边三角形， = ，点 在以 为直径的半圆上
3
(含端点)，设 = + ，则( )
A. 的值不可能大于1
B.
1 2
= +
3 3
1
C. 的最小值为
3
D. 的最大值为1

11.已知数列{ }满足 1 = ，0 < < ，且(2 + 1)sin( +1 ) = sin( +1 + )，则( ) 4 2
2√ 5
A. 2 = B. = 2
1
5
√ 2+1
C. 当 ≥ 2时， > 1 D. < 2 2+1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若 ∈ [0,1]，使得3 + 2 ≤ 0，则实数 的取值范围为______．
13.如图是利用尺规作图得到的一个“九芒星”图形，若九芒星的顶点将圆九等分，
设相邻两个顶点之间的劣弧对应的圆心角为 ，则 2 4 = ______．
14.已知函数 ( ) = 3 + + 1，若关于 的不等式 ( 1)+ ( ) > 2的解集中有且仅有2个整数，
则实数 的最大值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知数列{ +1 2 }是以3为首项，2为公比的等比数列，且 1 = 1．

(Ⅰ)证明：{ }是等差数列； 2
(Ⅱ)求数列{ }的前 项和 ．
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16.(本小题12分)
1 1 √ 3
在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ∈ (0, )且 + = ．
2 2
(Ⅰ)求 ；
(Ⅱ)若△ 的外接圆半径为 ，周长为(√ 3 +√ 6) ，且 > ，求 ．
17.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 + ( 2 + ) ( ∈ )．
(Ⅰ)求 ( )的图象在点(0, (0))处的切线方程；

(Ⅱ)若 ( )在区间(0, )上单调递减，求 的取值范围．
2
18.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2( ∈ )．
(Ⅰ)当 = 2时，求 ( )的零点个数．
2
(Ⅱ)设 ≥ 2，函数 ( ) = ( ) + 1．
2
( )判断 ( )的单调性；
( )若 ′( ) = ′( )( < )，求 ( ) + ( )的最小值．
19.(本小题12分)
设有穷数列{ }的项数为 ，若 +1 = ( 为常数，且 ≠ 0， = 1，2，3，…， )，则称该数列为等
积数列， 叫做该数列的公共积．
(Ⅰ)若1， 2， 3，2，4是公共积为 的等积数列，求该数列的公共积 及 2， 3；

(Ⅱ)若{ }是公共积为 的等积数列，且 2 1 2 = ( ∈ 且 ≤ ， 为常数)，证明：当 = 4 + 2( ∈ )2
时，对任意给定的 ， ，数列{ }中一定存在相等的两项；
(Ⅲ)若{ }是公共积为1的等积数列，且0 < < +1( = 1,2,3,…, 1)， 是奇数，对任意的 , ( , ∈
+1
[ , ])，都存在正整数 ∈ [1, ]，使得 = ，求证：{ }是等比数列． 2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】{ | ≥ 1}
1
13.【答案】
8
1
14.【答案】 3 +
3
15.【答案】证明：(Ⅰ)因为{ +1 2 }是以3为首项，2为公比的等比数列，所以 2 = 3 × 2
1
+1 ，
+1 2 3 +1 3所以 +1 2 2 +1
= ，即
4 2 +1
= ， 2 4
1 1
又 = ，所以{
1 3
1 }是首项为 ，公差为 的等差数列． 2 2 2 2 4
1 3 3 1
解：(Ⅱ)由(Ⅰ)知 = + ( 1) × = ， 2 2 4 4
3 1
所以 = × 2 = (3 1) 2 2 ， 4
所以， = 2 2
1 +5 20 + 8 21 + + (3 1) 2 2．
则2 = 2 2
0 + 5 21 + + (3 4) 2 2 + (3 1) 2 1，
上述两个等式作差可得 = 1 3 (2
0 + 21 + +2 2)+ (3 1) 2 1，
3(2 1 1)
= 1 + (3 1) 2 1，
2 1
= (3 4) 2 1 +2．
故 1 = (3 4)× 2 + 2．
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1 1 + sin( + ) √ 3
16.【答案】解：(Ⅰ)因为 + = = = = ，
2
√ 3 √ 3
所以 = = ．
2 2
√ 3
因为 ≠ 0，所以 = ，
2

又 ∈ (0, )，所以 = ．
2 3
(Ⅱ) △ 的外接圆半径为 ，由正弦定理可知 = 2 ， = 2 ， = 2 ，
周长为(√ 3 + √ 6) ，
√ 3+√ 6
则 + + = (√ 3+ √ 6) ，所以 + + = ，
2
√ 3
又因为 = sin = ，
3 2
√ 6
所以 + = ．
2
2
= = ，
3
2 3 √ 3 √ 6
+ = + sin( ) = + = √ 3sin( + ) = ，
3 2 2 6 2
√ 2
所以sin( + ) = ．
6 2
2
又 > ，所以 ∈ ( , )，
3 3
3 7
所以 + = ，故 = ．
6 4 12
17.【答案】解：(Ⅰ) ( ) = 2 + ( 2 + ) ( ∈ )，
则 (0) = 0，
对函数 ( )求导可得， ′( ) = (2 ) + 4 2 ，
则 ′(0) = 0，
故 ( )的图象在点(0, (0))处的切线方程为 = 0．
(Ⅱ) ( ) = 2 + ( 2 + ) ( ∈ )，
令 ( ) = ′( ) = (2 ) + 4 2 ，
则 ′( ) = (6 ) 6 2 ， ′(0) = 6 ，

当 ≥ 6时，在(0, )上有(6 ) ≤ 0， 6 < 0， 2 < 0，
2

故 ′( ) < 0， ( )在(0, )上单调递减，
2

即 ′( )在(0, )上单调递减， ′( ) < ′(0) = 0．
2
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故 ( )在(0, )上单调递减，符合题意，
2

当 < 6时， ′(0) > 0, ′( )= 3 < 0，故 ′( )在(0, )上存在零点，
2 2
记其中最小的零点为 0，则 ′( )在(0, 0)上恒为正， ( )在(0, 0)上单调递增，
故 ′( )在(0, 0)上单调递增， ′( ) > ′(0) = 0，
故 ( )在(0, 0)上单调递增，不符合题意，
综上所述， ≥ 6，
故 的取值范围为[6,+∞)．
18.【答案】解：(Ⅰ)当 = 2时， ( ) = 2 2，函数定义域为 ，
可得 ′( ) = 2，
当 < 2时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 > 2时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 ( ) = ( 2) = 2 2 < 0，
1
又 ( 1) = > 0, (2) = 2 6 > 0，

所以 ( )在( ∞, 2)和( 2,+∞)内各有一个零点，
则 ( )有2个不同的零点；
2
(Ⅱ)( )因为 ( ) = + ( + 1) 3，函数定义域为 ，
2
可得 ′( ) = 2 + ( + 1) = ( )( 1)，
令 ′( ) = 0，
解得 = 0或 = ，
易知 ≥ 2 > 0，
当 < 0时， ′( ) < 0；当0 < < 时， ′( ) > 0；当 > 时， ′( ) < 0，
所以 ( )在(0, )上单调递增，在( ∞,0)和( ,+∞)上单调递减．
( )若 ′( ) = ′( )，
所以 ， 是关于 的方程 2 + ( + 1) = 0的两个不同的实根，
所以 = ， + = + 1，
即 + = ，
1
此时 ( ) + ( ) = ( 2 + 2 )+ ( + 1)( + ) ( + ) 6
2
1 1
= [( + 1)2 2 ] + ( + 1)2 6 = ( + 1)2 + 6，
2 2
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1
设 ( ) = ( + 1)2 + 6，函数定义域为[2,+∞)，
2
可得 ′( ) = + 1 > 0，
所以 ( )在[2,+∞)上单调递增，
1
所以 ( )的最小值为 (2) = 2 2．
2
1
故 ( ) + ( )的最小值为 2 2．
2
19.【答案】解：(Ⅰ)有穷数列{ }的项数为 ，若 +1 = ( 为常数，且 ≠ 0， = 1，2，3，…， )，
则称该数列为等积数列， 叫做该数列的公共积．
∵ 1， 2， 3，2，4为等积数列，∴ = 1 × 4 = 4， 2 × 2 = = 4， 3 × 3 = = 4，
∴ 2 = 2， 3 = ±2；

(Ⅱ)证明：∵ { }是公共积为 的等积数列，且

2 1 2 = ( ∈ 且 ≤ ， 为常数)， 2
∴当 = 4 + 2( ∈ )时，
∵ { }是公共积为 的等积数列，∴ 2 +1 2 +2 = ，
又∵ 2 +1 2 +2 = ，∴ = ．
又∵ 1 4 +2 = ， 1 2 = = ，
∴ 2 = 4 +2，即原命题得证；
(Ⅲ)证明：∵ { }是公共积为1的等积数列，且0 < < +1( = 1,2,3,… , 1)， 是奇数，
设 = 2 + 1( ∈ ).
∵ 1， 2， 3， ， 2 +1是公共积为1的等积数列，且0 < < +1( = 1,2,3, ,2 )，
∴ 2 +1 = 1, +1 = 1．
∵ 1 < 2 < 3 < < 2 +1，
∴ 1 < 2 < 3 < < < +1 = 1 < +2 < < 2 +1．

∵对任意的 ， ( , ∈ [ + 1,2 + 1])，都存在正整数 ，使得 = ( ∈ [1,2 + 1])，

∴ +3

, +4

, +5 , , 2 +1，这( 1)项均为{ }中的项，
+2 +2 +2

+2

由题可知，1 < +3 < +4 < +5 < < 2 +1 < 2 +1， +2 +2 +2 +2
+3 +4 +5 2 +1∴必有 =
+2
, =
+3
, = , , = ，
+2 +2
+4 2
+2 +2
+3 +4 +5 2 +1∴ = , =
+2 +2
, =
+2
, , = +2．
+2 +3 +4 2
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又∵ +2 =
+2
，
+1
∴ +1， +2， ， 2 +1是公比为 +2的等比数列．
∵ 2 +2 = 1( = 1,2,3, ,2 + 1)，
1

∴ +1

= 2 +1

= 2 +2 1 = +2( = 1,2,3, , )， 2 +1
2 +2
∴ { }是公比为 +2的等比数列．
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