湖南省岳阳市汨罗一中2025届高三上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

湖南省岳阳市汨罗一中 2025 届高三上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
1.已知集合 = { | < 1}， = { | 4 < < 4}，则 ∩ =( )

A. (0,1) B. ( , 4) C. (0,1) ∪ ( , 4) D. (0,4)
2.若 ， ∈ ，且 > | |，则( )
1 1
A. < B. > C. 2 < 2 D. >


3.复数 满足： (1 2 ) = 3 (其中 是虚数单位)，则 的共轭复数 在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.已知 > 0， > 0，则“ + > 2”是“ 2 + 2 > 2”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2 2 2
5.已知离心率为2的双曲线 2 2 = 1与椭圆 2 + = 1有相同的焦点，则
2 + 2 =( )
12
A. 21 B. 19 C. 13 D. 11

6.设函数 ( ) = sin( + )在区间(0, )恰有三个极值点，两个零点，则 的取值范围是( )
3
5 13 13 8 5 19 13 19
A. [ , ) B. ( , ] C. [ , ) D. ( , ]
3 6 6 3 3 6 6 6
7.函数 = ( )是定义在 上的奇函数，满足 ( + 4) = ( )，当 ∈ [0,2)时， ( ) = ，则 (1) + (2) +
(3) + + (2025) =( )
A. 0 B. 1 C. 112 D. 113
8.已知函数 ( ) = + (1 + ) ( > 0, ≠ 1)，对任意( 1, 2) ∈ [0，1]，不等式| ( 1) ( 2)| ≤
+ 4恒成立，则 的取值范围为( )
1
A. [ , ] B. [ , 2] C. [ , +∞) D. [ + )
2
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列等式恒成立的是( )

A. cos( + ) = B. sin( + ) =
2
2 1+ 2 C. cos = D. sin( + ) + sin( ) =
2 6 6
10.已知函数 ( ) = 和 ( ) = log ( > 0且 ≠ 1)，若两函数图像相交，则其交点的个数可能是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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cos2( 1 0)+cos
2( 22 0)+ +cos ( 0)11.定义： = 为集合 = { 1, 2, … , }相对常数 0的“余弦方差”，

若 ∈ [0, ]，则集合 = [ , 0]相对 的“余弦方差”的取值可能为( )
2 3
1 1 3 4
A. B. C. D.
4 2 4 5
12.设 ( )是定义在 上的可导函数，其导数为 ( )，若 (3 + 1)是奇函数，且对于任意的 ∈ ， (4 ) =
( )，则对于任意的 ∈ ，下列说法正确的是( )
A. 4 都是 ( )的周期 B. 曲线 = ( )关于点(2 , 0)对称
C. 曲线 = ( )关于直线 = 2 + 1对称 D. ( + 4 )都是偶函数
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
1
13.函数 ( ) = 2 + 的图象在 = 1处的切线方程为______．

3 + 4, < 1
14.已知函数 ( ) = { ，若 < ，且 ( ) = ( )，则 ( )的取值范围是______． 3 2, ≥ 1
15.若函数 = ( )满足在定义域内的某个集合 上，对任意 ∈ ，都有 [ ( ) ]是一个常数 ，则称
( )在 上具有 性质.设 = ( )是在区间[ 2,2]上具有 性质的函数，且对于任意 1， 2 ∈ [ 2,2]，都有
[| ( 1)| | ( 2)|]( 1 2) > 0成立，则 的取值范围为______．
16.设函数 ( ) = ( + )ln( + )，若 ( ) ≥ 0恒成立，则 2 + 2的最小值为______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
记 是公差不为0的等差数列{ }的前 项和，若 3 = 5， 2 4 = 4．
(Ⅰ)求数列{ }的通项公式；
(Ⅱ)求使 > 成立的 的最小值．
18.(本小题12分)
3
已知向量 = (√ 3 , )， = ( , )，函数 ( ) = + ．
2
(1)求函数 = ( )的最小正周期；
(2)在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，∠ 的角平分线交 于点 ，若 ( )恰好为函数 ( )的
最大值，且此时 = ( )，求3 + 4 的最小值．
19.(本小题12分)
如图，在多面体 中，正方形 与梯形 所在平面互相垂直，已知 // ， ⊥ ， =
1
= = 1．
2
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(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值．
20.(本小题12分)
一个半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心 距离水面1米.已知水轮按逆时针做匀速转动，每6秒转一圈，如
果当水轮上点 从水中浮现时(图中点 0)开始计算时间．
(1)以过点 且平行于水轮所在平面与水面的交线 的直线为 轴，以过点 且与水面垂直的直线为 轴，建立
如图所示的直角坐标系，试将点 距离水面的高度 (单位：米)表示为时间 (单位：秒)的函数；
(2)在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点 距离水面的高度不低于2米？
21.(本小题12分)
对于函数 = ( )的导函数 ′ = ′( )，若在其定义域内存在实数 0， ，使得 ( 0 + ) = ( + 1) ′( 0)成立，
则称 = ( )是“跃点”函数，并称 0是函数 = ( )的“ 跃点”．

(1)若 为实数，函数 = ， ∈ 是“ 跃点”函数，求 的取值范围；
2
(2)若 为非零实数，函数 = 3 2 2 + 12， ∈ 是“2跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的
“2跃点”，求 的值；
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(3)若 为实数，函数 = + ， ∈ 是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求 的取
值范围．
22.(本小题12分)
已知 ( ) = 1， ( ) = 2( ∈ )．
(Ⅰ)求 ( )的最小值．
(Ⅱ)设 ( ) = ( ) ( ) + 2，若当 ∈ ( , +∞)时， ( )有三个不同的零点，求 的最小值．
(Ⅲ)当 ∈ (0, +∞)时，[ ( ) + ]ln( + 1) ≥ ( )恒成立，求 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】 = + 1
4
14.【答案】[ , 7)
3
15.【答案】[ 4, 4]
1
16.【答案】
2
17.【答案】解：(Ⅰ) 是公差 不为0的等差数列{ }的前 项和，若 3 = 5， 2 4 = 4．
根据等差数列的性质， 3 = 5 = 5 3，故 3 = 0，
根据 2 4 = 4可得( 3 )( 3 + ) = ( 3 2 ) + ( 3 ) + 3 + ( 3 + )，
整理得 2 = 2 ，可得 = 2( = 0不合题意)，
故 = 3 + ( 3) = 2 6．
(Ⅱ) = 2 6， 1 = 4，
( 1)
= 4 + × 2 =
2 5 ，
2
> ，即
2 5 > 2 6，
整理可得 2 7 + 6 > 0，
当 > 6或 < 1时， > 成立，
因为 为正整数，
故 的最小正值为7．
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18.【答案】解：(1)向量 = (√ 3 , )， = ( , )，
3 3 √ 3 1+ 2 3 √ 3 1
所以 ( ) = + = √ 3 cos2 + = 2 + = ( 2 2 ) + 1 =
2 2 2 2 2 2 2

sin(2 ) + 1，
6
2
所以函数 = ( )的最小正周期 = = ．
2

(2)由(1)可知 ( ) = sin(2 ) + 1，
6

当2 = ，即 = 时， ( )取得最大值为2，
6 2 3

则∠ = ， = 2，
3

因为 平分∠ ，所以∠ = ∠ = ，
6

则点 分别到 ， 的距离 = sin = 1，
6
1 1 1
由 △ = △ + △ ，则 sin∠ = + ， 2 2 2
√ 3 1 1 √ 3 1 1 2√ 3 3 4 2√ 3 2√ 3
即 = + ，整理可得 + = ，3 + 4 = (3 + 4 )( + ) = (7 + + ) ≥ (7 +
2 2 3 3 3
14√ 3+24 3 4
4√ 3) = ，当且仅当 = ，即√ 3 = 2 时，等号成立，
3
14√ 3+24
故3 + 4 最小值为 ．
3
19.【答案】(1)证明：因为 // ， ⊥ ，
所以 ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 ， 平面 ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，
由正方形 知， ⊥ ，
故以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， (0,1,0)， (0,0,2)， (1,0,1)， (1,1,0)，
所以 = (1,0, 1)， = (0,1,0)， = (1,0,1)，
= = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ ，
= + = 0
取 = 1，则 = 0， = 1，所以 = (1,0, 1)，
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所以 = ，
所以 ⊥平面 ．
(2)解：由(1)得 = (1,0,0)， = (0, 1,2)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ = = 0
= + 2 = 0
取 = 1，则 = 0， = 2，所以 = (0,2,1)，
由(1)知平面 的法向量为 = (1,0, 1)，
设平面 与平面 的夹角为 ，
| | 1 √ 10
则 = |cos < ， > | = = = ，
| | | | √ 5×√ 2 10
故平面 与平面 的夹角的余弦值为√ 10．
10

20.【答案】解：(1)设 = ( + ) + ( > 0, > 0, | | < )，
2
根据函数 = ( + ) + 的物理意义可知： = 0 = 2， = 1，
由题意可知当 = 0时， = 0，
1
则2 + 1 = 0，所以 = ，
2

则 = ，
6

又因为函数 = 2 ( ) + 1的最小正周期为 = 6，
6
2
所以 = = ，
3

所以 = 2 ( ) + 1( ≥ 0)；
3 6

(2)根据题意可知， = 2 ( ) + 1 ≥ 2，
3 6
1
即sin( ) ≥ ，
3 6 2
当水轮转动一圈时， ∈ [0,6]，
11
可得： ∈ [ , ]，
3 6 6 6
5
所以此时 < < ，
6 3 6 6
解得1 < < 3，
又因为3 1 = 2(秒)，
即水轮转动任意一圈内，有2秒的时间点 距水面的高度不低于2米．
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21.【答案】解：(1)函数 = 的导函数 ′ = ，

若函数 = 是“ 跃点“函数，则方程sin(
2 0
+ ) = ( + 1) 有解，
2 2 0

即 = 0有解， 2
又 0 ∈ [ 1,1]，

所以 ∈ [ , ]，
2 2

所以 ∈ [ , ].
2 2
(2)函数 = 3 2 2 + 12的导函数 ′ = 3 2 4 + ．
若该函数是“2跃点“函数，
则方程( + 2)3 2( + 2)2 + ( + 2) 12 = 3(3 2 4 + )①有解，
即 3 5 2 + ( + 16) 12 = 0有解，
所以( 1)( 2 4 + + 12) = 0有解，
当 = 1时，方程( 1)( 2 4 + + 12) = 0成立，
所以 = 1是方程的一个实数根，
当 ≠ 1时， 2 4 + + 12 = 0②，
当 = 8时，方程②有两个相等的实数根2，
此时方程①的根为1，2，2，
所以函数有两个不同的“2跃点“，
当 > 8时，方程②无解，
此时方程①的根为1，则函数有一个“2跃点”，
当 < 8时，方程②有两个不相等的实数根，
若函数有两个不同的“2跃点”，则其中一个实数根为1，
则1 4 + + 12 = 0，解得 = 9，
综上所述， 的值为 8或 9．
(3)函数 = + 的导函数为 ′ = + ，
若该函数是“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，
+1 2
则方程 +1 + ( + 1) = 2( + )，即 = 有一个不同的实数根，
1
+1 2 ( 2)
设 ( ) = = ，
1 1
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( 2) ( 2)
′( ) = 2 ，
( 1)
令 ′( ) = 0得 = 2，
所以在(2, +∞)上 ′( ) > 0， ( )单调递增，
在( ∞, 1)，(1,2)上 ′( ) < 0， ( )单调递减，
又 < 1时， ( ) < 0； > 1时， ( ) > 0，
所以当 = 2时， ( )取得极小值 (2) = ( 2) 2，
所以 ≤ 0，
所以 ≥ 0，
所以 的取值范围为[0, +∞)．
22.【答案】解：(Ⅰ)令 ′( ) = 1 = 0得， = 0，
易知，当 ∈ ( ∞, 0)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，当 ∈ (0, +∞)时，
′( ) > 0， ( )单调递增，
∴ ( )的最小值为 (0) = 0；
(Ⅱ)依题意， ( ) = 1 2 + 2 = 2 + 1，
+1
令 ( ) = 0，则 = 2 ，
+1 ( 1) 2令 ，则 (
+1) 2 ( 2)( +1)
( ) = 2 ′( ) = ， 4 = 3
∴当 < 0或 ≥ 2时， ′( ) ≥ 0，则 ( )在( ∞, 0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2, +∞)上单调递增，
2
又 1 → ∞ ( ) = 0, → 0 ( ) = +∞, → 0+ ( ) = +∞, → +∞ ( ) = +∞， (2) = ，从而作出函4
数 ( )的草图如下，
2
由图象可知，要使 ( ) = 有三个不同的实数根，则 1 > ，
4
2
∴ 1的最小值为 ；
4
( 1)ln( +1)
(Ⅲ)[ ( ) + ]ln( + 1) ≥ ( )等价于( 1)ln( + 1) ≥ 2，即 ≤
2
( > 0)，
1 1
∴ ≤ =

ln( +1) 1，
ln( +1)
ln( +1)
1 ( 1) +1
构造函数 ( ) = ，则 ′( ) = 2 > 0( > 0)，
∴ ( )在(0, +∞)上单调递增，
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1

又考虑到ln( + 1) ≤ ，则 ( ) ≥ (ln( + 1))，从而 ln( +1) ≥ 1 1 ，
ln( +1)
∴实数 的取值范围为( ∞, 1]．
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