贵州省贵阳市贵阳一中2025届高三上学期12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

贵州省贵阳一中 2025 届高三上学期 12 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1
1.已知集合 = { | 2 < < 2}, = { | > }，则 ∩ =( )
+1 4
A. { | < 3} B. { | 2 < < 2} C. { | 2 < < 3} D. { | 1 < < 2}
2.下列函数中是偶函数的是( )
| |
A. ( ) = 2 B. ( ) =

1
C. ( ) = D. ( ) = cos( + )
2 4
3.已知直线 1： + ( 1) + 1 = 0，直线 2： + 2 + 2 = 0，且 1 ⊥ 2，则 =( )
2 3
A. B. C. 1 D. 2
3 2
4.已知向量 = ( 1,2)， = (2, 1)，则向量 在向量 方向上的投影向量为( )
4 4 4 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
1
5.若sin( ) = ，则cos(2 + ) =( )
3 3 3
7 7 8 8
A. B. C. D.
9 9 9 9
6.设{ }是公比为 的等比数列，则“ > 1”是“{ }为单调递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
24
7.已知棱长为2 (单位： )的无盖正方体容器内盛有体积为 (单位： 3)的水，现将一半径为 (单位：
12 2
)的“实心”铁球放入该正方体容器内，恰好有半个球沉入水中，则静止时该球与水的接触面的面积为
( )
3
A. B. C. D.
4 2 12
2 2
8.已知双曲线 ： 2 = 1( > 0)，过点 (2,1)有且仅有一条直线与双曲线 的右支相切，则双曲线 的离3
心率的取值范围为( )
√ 5 √ 5 √ 5
A. (1, ] ∪ {√ 2} B. {√ 2} C. (1, ] D. [ , √ 2)
2 2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量 和 ，其中 = 3 + 2，且 ( ) = 7，若 的分布列如表：
第 1 页，共 9 页
1 2 3
1

2
则下列说法正确的是( )
1 1 5
A. = B. = C. ( 2) = 3 D. ( ) =
4 6 9

10.已知函数 ( ) = 2 ( + )( > 0, | | < )的部分图象如图1所示，则( )
2
A. = 2

B. =
6

C. 为了得到函数 = ( )的图象，可将函数 = 2 ( )的图象向左平移 个单位
6
长度

D. 为了得到函数 = ( )的图象，可将函数 = 2 ( )的图象向左平移 个单位长度
12
11.已知函数 = ( )是定义在区间[ , ]上的连续函数，若 ∈ (0, +∞)，使得 1， 2 ∈ [ , ]，都有| ( 1)
( 2)| ≤ | 1 2|，则称函数 = ( )是区间[ , ]上的“ 类函数”.下列说法正确的有( )
A. 函数 ( ) = 2 是区间[ 1,2]上的“3类函数”

B. 函数 ( ) = 是区间[1, ]上的“2类函数”
2
C. 若函数 = ( )是区间[ , ]上的“ 类函数”，则方程 ( ) = ( + 1) 在区间[ , ]上至多只有一个解
D. 若函数 ( )是区间[0,1]上的“2类函数”，且 (0) = (1)，则存在满足条件的函数 ( )， 1， 2 ∈ [0,1]，
使得| ( 1) ( 2)| = 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.记 为等差数列{ }的前 项和.若 4 = 8， 9 = 1，则 1 = ______．
13.若(2 + 3)5 = 2 3 40 + 1 + 2 + 3 + 4 +
5
5 ，则 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = ______．
14.如图，在棱长为√ 6的正方体 1 1 1 1中， 为面 1 上的动点，
| 1 | = √ 10，则动点 的轨迹长度为______．
第 2 页，共 9 页
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ 中，已知sin∠ ：sin∠ ：sin∠ = 1：√ 2：√ 5.点 在边 上，且 ⊥ ．
(1)求∠ ；
(2)若△ 的外接圆半径为2，求 ．
16.(本小题15分)
某校食堂为了解学生对牛奶豆浆的喜欢情况是否存在性别差异，从而更有针对性的为广大学子准备营养早
餐，于是随机抽取了200名学生进行问卷调查，得到了如表的统计结果：
喜欢牛奶 喜欢豆浆 合计
男生 45 55 100
女生 65 35 100
合计 110 90 200
(1)根据 = 0.005的独立性检验，能否认为该校学生对牛奶豆浆的喜欢情况与性别有关？
(2)小红每天都会在牛奶与豆浆中选择一种当早餐，若前一天选择牛奶，则她后一天继续选择牛奶的概率为
1 1
；若前一天选择豆浆，则她后一天继续选择豆浆的概率为 .已知小红第一天选择了牛奶，求她第三天选择
3 4
牛奶的概率．
2
2 ( )附： = ，其中 = + + + ．
( + )( + )( + )( + )
( 2 ≥ ) 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17.(本小题15分)

已知复数 的共轭复数为 ，且|3 + | = 4，复数 在复平面内对应的点为 ( , )．
(1)求点 的轨迹方程；
(2)记点 的轨迹为曲线 ，点 为曲线 上任意一点.设直线 = 与曲线 交于 ， 两点，直线 ， 的
斜率分别为 1， 2，求| 1| + 2| 2|的取值范围．
18.(本小题17分)
2
如图，在四棱锥 中，底面 是菱形，∠ = , = = 2.平面 ⊥平面 ， ⊥
3
1
. ， 分别是棱 ， 的中点， ， 分别在线段 ， 上，且 = = < ).
2
第 3 页，共 9 页
(1)证明： ， ， ， 四点共面；
(2)证明： ⊥平面 ；
√ 2
(3)设直线 与直线 交于点 ，当直线 与平面 所成角的正弦值为 时，求 的值．
8
19.(本小题17分)
在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里的一个非常重要的定理，它是众多不动点定理的基础，得名于
荷兰数学家鲁伊兹 布劳威尔.具体来说就是：对于满足定义域为 的连续函数 ( )，若存在 0 ∈ ，使得
( 0) = 0成立，则称 0为函数 ( )的不动点.已知 > 0且 ≠ 1，函数 ( ) =
1．
(1)若 = ( 为自然常数)，证明：函数 ( )只有唯一不动点；
+1 1
(2)设函数 ( ) = ( > )，且 = 1.若函数 ( )有且仅有2个不动点，求实数 的取值范围．
( +1) 4
第 4 页，共 9 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
11
12.【答案】
5
13.【答案】2882
√ 2
14.【答案】
2
15.【答案】解：(1)在△ 中，因为sin∠ ： sin∠ ： sin∠ = 1 ： √ 2 ： √ 5，
由正弦定理可得： ： ： = 1 ： √ 2 ： √ 5，
设 = ，则 = √ 2 ， = √ 5 ，
2 2 2
2+ 2 2 (√ 2 ) + (√ 5 ) √ 2
由余弦定理可得：cos∠ = = = ，
2 2 √ 2 2
3
又∠ ∈ (0, )，所以∠ = ；
4
3
(2)因为sin∠ ： sin∠ ： sin∠ = 1 ： √ 2 ： √ 5，∠ = ，
4
√ 10 √ 5 1
所以sin∠ = ，sin∠ = ，所以tan∠ = ，
10 5 3

在△ 中，利用正弦定理可得： = 4，
sin∠
4√ 5
所以 = 4 ∠ = ，
5
4√ 5 1 4√ 5
在 △ 中， = tan∠ = × = ．
5 3 15
第 5 页，共 9 页
16.【答案】解：(1)设零假设 0：该校学生对牛奶豆浆的喜欢情况与性别无关，
2
2 200×(45×35 65×55) 800则 = = ≈ 8.081 > 7.879，
100×100×110×90 99
根据 = 0.005的独立性检验，零假设 0不成立，
即可以认为该校学生对牛奶豆浆的喜欢情况与性别有关；

(2)设“小红第二天选择牛奶”为事件 ，则事件 表示“小红第二天选择豆浆”，
设“小红第三天选择牛奶”为事件 ，
1 2 1 3
由题意可知， ( ) = ， ( ) = ， ( | ) = ， ( | ) = ，
3 3 3 4
1 1 2 3 1 1 11
所以 ( ) = ( ) + ( ) = ( ) ( | ) + ( ) ( | ) = × + × = + = ，
3 3 3 4 9 2 18
11
所以小红第三天选择牛奶的概率为 ．
18

17.【答案】解：(1)设 = + ， = ，

此时3 + = 4 + 2 ，

因为|3 + | = 4，
所以√ (4 )2 + (2 )2 = 4，
2
整理得 2 + = 1，
4
2
则点 的轨迹方程为 2 + = 1；
4
(2)设 ( 0, 0)， ( 1, 1)，
可得 ( 1, 1)，
0 1 0+ 此时 = ， = 11 ， 0 11 0+ 1
+ 2 2
所以 0 1 0 1 0 11 2 = = + 2 2， 0 1 0 1 0 1
因为 ， 两点均在曲线 上，
2 2
所以 20 +
0 = 1， 2 1
4 1
+ = 1，
4
22 2 0
2
两式相减得 0 1 +
1 = 0，
4
2 2
即 0
1
2 2
= 4，
0 1
所以 1 2 = 4，
即| 1| | 2| = 4，
第 6 页，共 9 页
则| 1| + 2| 2| ≥ 2√ 2| 1| | 2| = 4√ 2，
当且仅当| 1| = 2| 2| = 2√ 2时，等号成立．
故| 1| + 2| 2|的取值范围为[4√ 2, +∞)．
18.【答案】解：(1)证明：∵ ， 分别是棱 ， 的中点，
∴ // ，

∵ = ，

∴ // ，
∴ // ，
∴ ， ， ， 四点共面．
2
(2)证明：∵底面 是菱形，∠ = ，
3

∴ ∠ = ，△ 是等边三角形，
3
取 中点为 ，连接 ，则 ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ，
∴ ⊥平面 ，又 平面 ，∴ ⊥ ，
又 ⊥ ，且 ∩ = ，
∴ ⊥平面 ．
(3) ∵ ∈平面 ， ∈平面 ，又平面 ∩平面 = ，
∴ ∈ ，即直线 就是直线 ，
取 中点为 ，以 点为坐标原点，再分别以 ， 和 所在直线为 轴， 轴和 轴建立如图所示的空间
直角坐标系：
则 (0,0,2)， ， (0,0,1)， √ 3 1 (√ 3, 1,0) ( , , 1)，
2 2
= (√ 3, 1, 2)，
√ 3 1
= ( , , 0)，
2 2
设 ( , , 0)，则 = ( , , 0)， = (√ 3, 1,0)，
由 {
= √ 3 ,
= ，可得：
= ,
∴ (√ 3 , , 0)，∴ = (√ 3 , , 1)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
√ 3 1

则{
⊥ = 0 = 0，则{ { 2 2 ，
⊥ = 0 √ 3 + = 0
第 7 页，共 9 页
取 = 1，则 = √ 3， = 2√ 3 ，
∴ = (1, √ 3, 2√ 3 )，
设直线 与平面 所成角为 ，
| | |√ 3+√ 3 4√ 3 | √ 2
则 = |cos
, | = = =
| | | | 2 8 ，
2√ 2 √ 12 +4
化简得：45 2 48 + 11 = 0，
1 11
解得： = 或 = ，
3 15
1 1
又 < ，∴ = ．
2 3
19.【答案】解：(1)证明：当 = 时， ( ) = 1，函数定义域为 ，
令 ( ) = 1 ，函数定义域为 ，
可得 ′( ) = 1 1，
当 ∈ ( ∞, 1)时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 ∈ (1, +∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 ( ) ≥ (1) = 0，
即当 = 1时， ( ) = ；
当 ≠ 1时， ( ) > 恒成立，
所以函数 ( )只有唯一不动点；
+1 1(2)易知 ( ) = ，函数定义域为( , +∞)，
4
因为 ( ) = ，
所以 = ，
设 ( ) = ，
1
可得 ′( ) = + 1，函数定义域为( , +∞)，
4
1 1
当 ∈ ( , )时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
4
1
当 ∈ ( , +∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，

1 1 1 1 1 1
又 ( ) = ln = ln = ( )，
4 4 4 2 2 2
因为函数 ( )有且仅有2个不动点，
1
所以方程 ( ) = 有且仅有2个大于 的不同根，
4
即函数 ( )的图象与 = ( )的图象有两个不同的交点，
第 8 页，共 9 页
1 1 1 1
所以 < < 或 < < ，
4 2

若 = 1，

即 = ，
整理得 + = + ，
设 ( ) = + ，
易知函数 ( )单调递增，
此时 ( ) = ( )，
即 = ，

整理得 = ，

1 1 1
设 ( ) = ( < < ，且 ≠ )，
4 2
( 1)
可得 ′( ) = 2 ，
1 1 1 1
当 ∈ ( , ) ∪ ( , )时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
4 2
1 1 1
因为 1 1 1 ( ) = 4 4， ( ) = 2 ， ( ) = +12 ．
4 2
1 1 1 1
所以实数 的取值范围为(2 2, +1 ) ∪ ( +1 , 4 4)．
第 9 页，共 9 页