福建省漳州市平和广兆中学2025届高三上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

福建省漳州市平和广兆中学 2025 届高三上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 < < 2}， = { 1,0,1,2,3}，则 ∩ =( )
A. { 1,0,1} B. { 1,0,1,2} C. { 1,0} D. {0,1}
1
2.在复平面中，若复数 满足 = ，则| | =( )
1
A. 2 B. 1 C. √ 3 D. √ 2
3.若 ， ∈ ，则| | = | |是2 = 2 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2 3 + 2, < 0
4.已知函数 ( ) = { 3 ，若 ( 0) ≥ 2，则 0的取值范围为( ) 2 , ≥ 0
A. ( ∞, 3] ∪ [4, +∞) B. {0} ∪ [4, +∞)
C. [ 3,0] ∪ [4, +∞) D. [ 3,0) ∪ [4，+∞)

5.已知tan( + ) = √ 3，则 =( )
6
1 √ 3 1 √ 3
A. B. C. D.
4 4 2 2
6.已知函数 ( ) = 3 + 2 + + 的部分图像如图所示，则以下可能成立的是
( )
A. = 2， = 1
B. = 1， = 2
C. = 2， = 1
D. = 2， = 1
1 1 1
7.已知数列{ }满足 1 = 3， +1 = 8 + 4，则 + + + =( ) 1 2 2025
2023 2025
A. 2025 B. 2024 C. D.
4050 4051

8.已知 ( )是定义在 上的奇函数，当 ∈ [0,1]时， ( ) = cos ，若函数 = ( + 1)是偶函数，则下
2
列结论不正确的为( )
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A. = 1 B. ( )的最小正周期 = 4
C. = ( ) |log6 |有4个零点 D. (2023) > (2022)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = (3,4)， = (4, )，则( )
A. | | = 5 B. | | = 1
C. 若 // ，则 = 3 D. 若 ⊥ ，则 = 3
5
10.设函数 ( ) = ，则( )

A. ( )的图象有对称轴 B. ( )是周期函数

C. ( )在区间(0, )上单调递增 D. ( )的图象关于点( , 0)中心对称
2 2
11.若点 ( 1, 1)， ( 2, 2)( 1 ≠ 2)是函数 ( ) = 2 + ( ∈ )图像上的两点，则( )
A. 对任意点 ，存在无数点 ，使曲线 = ( )在点 ， 处的切线的倾斜角相等
B. 当函数 = ( )存在极值点时，实数 的取值范围为[ 2,2]
2 2
C. 当 ≠ 0且 = ( )在点 ， 处的切线都过原点时， 1 21 2 = 2 1 2
D. 当直线 的斜率恒小于1时，实数 的取值范围为( ∞, 1]
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知数列{ }为等差数列， 1 = 1， 2 + 3 = 8，则 6 = ______．
13.若曲线 = ln( 2) + 4在 = 3处的切线也是曲线 = 2 + 的切线，则 = ______．
2
14.设数列{ }满足 = ，且对任意的 ∈

1 ，满足 +2 ≤ 2
，
3 +4
≥ 5 × 2 ，则 2017 =______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
记△ 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知(2 √ 3 ) = √ 3 ．
(1)求 ；
(2)若△ 为等腰三角形且腰长为2，求△ 的底边长．
16.(本小题12分)
如图，在三棱锥 中， ， ， 两两互相垂直， ， 分别是 ， 的中点．
(1)证明： ⊥ ；

(2)设 = 2， = 2√ 5， 和平面 所成的角为 ，求点 到平面 的距离．
6
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17.(本小题12分)
1
已知函数 ( ) = 2 + (1 ) ，( > 0)．
2
(1)若 = 1，求 ( )的单调区间；
2
(2)若 ( ) ≥ ，求 的取值范围．
2
18.(本小题12分)
√ 3 2 2
已知 (2,0)和 (1, )为椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)上两点． 2
(1)求椭圆 的离心率；
(2)过点( 1,0)的直线 与椭圆 交于 ， 两点( , 不在 轴上)．
( )若△ 的面积为√ 5，求直线 的方程；
( )直线 和 分别与 轴交于 ， 两点，求证：以 为直径的圆被 轴截得的弦长为定值．
19.(本小题12分)
已知正 边形的每个顶点上有一个数.定义一个变换 ，其将正 边形每个顶点上的数变换成相邻两个顶点上
的数的平均数，比如：
1+ 记 个顶点上的 个数顺时针排列依次为 1， 2，…， ，则 (
+1
) = ， 为整数，2 ≤ ≤ 1， ( 1) =2
+ 2 1+ ， ( ) =
1.设 (
2 2
) = ( (… ( )))(共 个 ，表示 次变换)
(1)若 = 4， = ，1 ≤ ≤ 4，求
2( 1)，
2( 2)，
2( 3)，
2( 4)；
(2)对于正 边形，若 ( ) = ，1 ≤ ≤ ，证明： 1 = 2 = = 1 = ；
(3)设 = 4 + 2， ∈ ，{ 1, 2, … , } = {1,2, … , }，证明：存在 ∈
，使得 ( )( = 1,2, … , )不
全为整数．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】11
13.【答案】2
22017
14.【答案】
3
15.【答案】(1)解：△ 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
∵ (2 √ 3 ) = √ 3 ，
由正弦定理化简得：(2 √ 3 ) = √ 3 ，
∴ √ 3 = 2 ，∵ ≠ 0，
√ 3
∴ = ，
2

∵ ∈ (0, )，∴ = ．
6

(2)解：当 为顶角，则底边 2 = 4 + 4 2 × 2 × 2 × cos = 8 4√ 3，
6
∴ = √ 6 √ 2，
2
当 为底角，则该三角形内角分别为 ， ， ，则底边为2√ 3．
6 6 3
故△ 的底边长为√ 6 √ 2或2√ 3．
16.【答案】解：(1)证明：取 的中点 ，连接 ， ．
因为 ， 分别是 ， 的中点，
所以 // ， // ．
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又因为 ⊥ ， ⊥ ，
所以 ⊥ ， ⊥ ．
又 ∩ = ，且 ， 平面 ，
从而 ⊥平面 ．
又 平面 ，所以 ⊥ ．
(2)因为 ⊥ ， ⊥ ，所以 ⊥平面 .过点 在平面 内作 // ，因为 ⊥ ，所以 ⊥
．
故可以 为原点，分别以直线 ， ， 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系(如图)．

设 = ， = ， = ，则 (0,0, )， (0, , 0)， ( , , 0), ( , , ), (0, , 0).从而 =
2 2 2 2

( , 0, ), = (0, , 0)．
2 2
因为 ⊥ ， ⊥ ，所以 ⊥平面 ，
即 的长为点 到平面 的距离．
又因为 ⊥ ， ⊥ ，所以 ⊥平面 ，故 = (0,0,1)是平面 的一个法向量．

1
因为 和平面 所成的角为 ，所以sin = | | = = 2 2
6 6 | | | | 2
，即 = 3 ．
√ 2 2+
在 △ 中， 2 = 2 + 2 = 4 + 2，
4 4
在 △ 中， 2 = 2 + 2 = 2 + 4 + 2 = 4 + 2，即4 + 2 = 20，解得 = 2√ 3． 3 3
故点 到平面 的距离为2√ 3．
1 2 1 ( 1)( +1)
17.【答案】解：(1)当 = 1时，导函数 ′( ) = = = ，

所以 ∈ (0,1)时，导函数 ′( ) < 0，
∈ (1, +∞)时，导函数 ′( ) > 0．
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所以 ( )的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1, +∞)．
( )( +1)
(2)导函数 ′( ) = ，

所以 ∈ (0, )时，导函数 ′( ) < 0；
∈ ( , +∞)时，导函数 ′( ) > 0．
2
所以 ( ) = ( ) = + ． 2
2 2 2
又因为 ( ) ≥ ，所以 + ≥ ．
2 2 2
2
令 ( ) = + ．
2
1
所以导函数 ′( ) = ，显然 ′( )单调递减，且 ′( ) > 0， ′(1) < 0．
2
1
因此必然存在唯一 0 ∈ ( , 1)使得 ( ) = 0． 2 0
当 ∈ ( 0, +∞)， ′( ) < 0， ( )单调递减，
当 ∈ (0, 0)， ′( ) > 0， ( )单调递增．
2
由于 ∈ (0,1]时， ( ) = ( + 1) > 0 > ，成立．
2 2
2
当 ∈ (1, +∞)时， ( )单调递减，且 ( ) = ，因此 ∈ (1, ]成立．
2
综上， 的取值范围为(0, ]．
= 2
3 = 2
18.【答案】解：(1)由题可得：{ 1 + 4 = 1 ，解得：{ = 1 ，
2 2
2 2 2 = √ 3 =
所以椭圆 的离心率为 √ 3 = = ；
2
2
(2)( )由(1)可知椭圆 的方程为 + 2 = 1，
4
显然，直线 的斜率不等于0，
设过点( 1,0)的直线 为 = 1， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2
联立{ +
2 = 1
4 ，化简得：( 2 + 4) 2 2 3 = 0，则 = 4 2 + 12( 2 + 4) > 0恒成立，
= 1
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2 3
所以 1 + 2 = 2
， 1 +4 2
= 2 ， +4
1 1
所以 △ = × 3 × | 1 2| = × 3 × √ ( 1 + 2)
2 4 1 2 2 2
6√ 2+3
= = √ 5，
2+4
解得： 2 = 2，即 = ±√ 2，
所以直线的方程 为： ± √ 2 + 1 = 0；
8
( )证明：由( )可知， 1 + 2 = ( 1 + 2) 2 = 2 ， +4
4 2+4
1 2 =
2 1 2 ( 1 + 2) + 1 = ， 2+4
2
直线 的方程为 = 1 ( 2) = 1 2 ，令 = 0，得 ， 1 1 2
2 2
直线 的方程为 = ( 2) = 2 2 ，令 = 0，得 ， 2 2 2
记以 为直径的圆与 轴交于 ， 两点，
由圆的弦长公式可知，
| |
( )2
|
= (
| 2 | + ) (
|
)2 = 2 2 2
2
= 1
2
2
1 2 2 2
4
= 1 2
1 2 2( 1+ 2)+4
12
2
= +4
4 2+4 16
2
+ 2 +4+4 +4
12
2
= +436
2+4
1
= ，
3
解得： 2√ 3| | = ，为定值．
3
19.【答案】解：(1)当 = 4时， 2( )的变换如下：
因此 2( 1) = 2，
2( 2) = 3，
2( 3) = 2，
2( 4) = 3．
+
(2)证明：因为 ( ) = ，所以
1 +1 =
2
(2 ≤ ≤ 1)，
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所以数列{ }成等差数列，设公差为 ，
+
又因为 ( 1) = =
2
1 ， 2
那么2 1 = 1 + ( 1) + 1 + ，因此 = 0，
那么 1 = 2 = = 1 = ．
(3)证明：利用反证法，假设对任意 ∈ ， ( )( = 1,2, , )均为整数，
+
因为 ( ) = 1 +1 ， ( )为整数，所以 1与 +1的奇偶性相同， 2
所以 2， 4， ， 4 +2同奇偶， 1， 3， ， 4 +1同奇偶，
而{ 1, 2, , 4 +2} = {1,2, ,4 + 2}，
1， 2， ， 4 +2中有2 + 1个偶数，2 + 1个奇数，
所以可不妨设 1， 3， ， 4 +1为奇数，设 2， 4， ， 4 +2为偶数．
1+ 3 3+ 5
由于 2 ( ( ) = 2
)+ ( 4) += 2 2

= 1
+2 3+ 5，
3 2 4 4
又由于 2( 3)为整数，且 3 = 4 + 1或4 + 3( ∈ )，
因此 1和 5除4的余数相同
5+ 7 7+ 9
同理，因为 2 ( 6)+ ( 8) +2 2 5+2 7+ ( ) = = = 9， 7 2 2 4
所以 5和 9除4的余数相同，
4 3+ 4 1 4 1+ 4 +1
因为 2 ( )+ ( + ( ) = 4 2 4
) 2 2 = = 4 3
+2 4 1+ 4 +1，
4 1 2 2 4
所以 4 3和 4 +1除4的余数相同．
所以 1， 5， 9， ， 4 +1除4的余数相同．
4 +1+ 1 1+ 3
因为 2 ( 4 +2)+ ( 2) +2 2 4 +1+2 + ( ) = = = 1 3， 1 2 2 4
所以 4 +1和 3除4的余数相同．
3+ 5 5+ 7
因为 2 ( 4)+ ( ) + ( ) = 6 = 2 2
3+2 5+ = 7， 5 2 2 4
所以 3和 7除4的余数相同．
+2
因为 2( ) = 4 5 4 3
+ 4 1
4 3 ， 4
所以 4 5和 4 1除4的余数相同
所以 4 +1， 3， 7， 11， ， 4 1除4的余数相同．
综上， 1， 3， ， 4 +1除以4的余数都相同，而{ 1, 2, , 4 +2} = {1,2, ,4 + 2}，矛盾！
假设不成立，所以存在 ∈ ，使 ( )( = 1,2, , )不全为整数．
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