2025年福建省漳州市华安一中高三（上）模拟数学试卷（含答案）

2025年福建省漳州市华安一中高三（上）模拟数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则实数( )
A. B. C. D.
3.已知圆锥的底面半径与球的半径相等，且圆锥的侧面积与球的表面积相等，则该圆锥的体积与该球的体积之比为( )
A. B. C. D.
4.在等比数列中，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知等差数列的公差小于，前项和为，若，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存已知金针菇失去的新鲜度与其来摘后时间天满足的函数解析式为若采摘后天，金针菇失去的新鲜度为；若采摘后天，金针菇失去的新鲜度为现在金针菇失去的新鲜度为，则采摘后的天数为结果保留一位小数，
A. B. C. D.
8.已知对于，都有，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 若为纯虚数，，则
B. 若，，，则，
C. 若在复平面内对应的点的坐标为，则
D. 若是关于的方程的根，则
10.已知偶函数的周期为，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，下列结论正确的是( )
A.
B. 函数的图象关于直线对称
C. 不等式的解集为
D. 在上有两个相异实根
11.定义在上的偶函数，满足，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则数列的公比 ______．
13.已知是奇函数，且当时，若，则 ______．
14.已知圆台的高为，，分别为上、下底面的一条直径，且，，则圆台的体积为______；若，，，四点不共面，且它们都在同一个球面上，则该球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求角；
若的面积为，为中点，，求的周长．
16.本小题分
如图，四棱锥的底面是梯形，，平面．
求证：平面平面；
在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求出：的值；若不存在，请说明理由．
17.本小题分
已知函数及点．
若点在的图象上，求曲线在点处的切线的方程；
若过点与的图象相切的直线恰有条，求的值．
18.本小题分
已知数列的前项和为，，．
证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
求数列的前项和为；
若对任意恒成立求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数；
求函数的极值；
若不等式当且仅当在区间上成立其中为自然对数的底数，求的最大值；
实数，满足，求证：．
参考答案
1
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4
5
6
7
8
9
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13
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15解：在中，，所以，
因为，
由正弦定理得，
整理得，
因为，所以，
因为，
所以；
在中，，可得，
在中，，，，
由余弦定理得，
所以，
整理可得：，
由得，，，
在中，由余弦定理得，
所以，所以，的周长为．
16证明：因为平面，、平面，
所以，，可得，
又因为，所以，可得，
因为、是平面内的相交直线，所以平面，
又因为平面，平面平面；
解：因为，平面，所以平面，
以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，，则，，
设平面的法向量为，可得，
取，得，，所以，
设为平面的法向量，可得，
取，得，，平面的一个法向量为，
因为二面角的余弦值为，
所以，解得，即，可得：的值为．
17解：点在的图象上，，
由，得，则，
曲线在点处的切线方程为，即；
设过点的直线与的图象切于点，
则切线的斜率，
的方程为，
把点的坐标代入，得，
由题意可得关于的方程有两个不等的实根．
设，则，
令，得，或，则在，上单调递增，
令，得，则在上单调递减．
的极大值为，的极小值为，
方程有两个不等实根，则，或，
即的值为或．
18解：证明：数列的前项和为，，，
由，两边同时除以，
可得，又，
所以数列是首项、公差均为的等差数列，
由等差数列的通项公式可得，
所以．
由，
可得，
所以，
所以．
若对任意恒成立，
即有，整理得恒成立，
令，则，
当时，，当时，，当时，，
所以，即的最小值为，
综上，，即实数的取值范围是．
19解：由函数，得，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数取得极小值，无极大值．
解：由题意得，
令，则，
若，则恒成立，所以在单调递增，
所以，即．
所以，当时，取最大值，
若，因为，所以当时，
不等式在成立，不合题意，当时，，
综上，的最大值．
证明：依题意得
，
令，由，得，令，求导得，
函数在上单调递增，，因此，
即，于是；
，
令，求导得，
函数在上单调递减，，
因此，即，则，
所以．
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