山西省大同市2025届高三上学期统考数学试卷（PDF版，含答案）

山西省大同市 2025 届高三上学期统考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { | 1 < ≤ 4}， = { | 2 > 4}，则 ∩ ( ) =( )
A. { | 1 ≤ < 2} B. { | 1 < ≤ 2} C. { | 2 ≤ ≤ 2} D. { | 2 < < 2}

2.若 = 3，则 =( )
+
1 1 1 1 1 1
A. B. + C. D. +
2 2 2 2 2 2
3.设 = 0.30.2， = 1.10.2， = 1.10.3，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
4.记无穷等差数列{ }的公差为 ，前 项和为 .设甲： 1 < 0且 > 0；乙： 有最小值，则( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
sin( )
5.已知 = 且 ≠ 1，则 =( )
tan sin( + )
1 1 1
A. B. C. D.
+1 +1 +1 +1

6.已知向量 ， ， 满足 + + = 0 ，| | = 2，| | = √ 3，且 与 的夹角为 ，则cos < ， >=( )
6
2√ 13 2√ 13 2√ 39 2√ 39
A. B. C. D.
13 13 13 13
7.已知函数 ( ) = 2 2 + 2有且仅有一个零点，则实数 的值为( )
7 4 7 4
A. B. C. D.
4 7 4 7
8.已知四面体 的顶点均在半径为3的球面上，若 = = 4，则四面体 体积的最大值为( )
16√ 5 16√ 3 16√ 2 16
A. B. C. D.
3 3 3 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 为空间内的一条直线， ， 为空间内两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若 // ， ，则 // B. 若 // ， ，则 //
C. 若 ⊥ ， ，则 ⊥ D. 若 ⊥ ， ，则 ⊥
10.已知 > 0， > 0， 2 + 2 = 4，则( )
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A. log2 + log2 ≤ 1 B. + ≤ 4
C. 3 + 3 ≤ 16 D. √ + √ ≤ 2√ 2
11.已知函数 ( )的定义域为 ，若2[ ( + ) + ( )] = ( ) ( )， (1) = 2，则( )
A. (2) = 2 B. ( )是偶函数 C. ( )以4为周期 D. ∑2025 =1 ( ) = 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 2
12.已知 ( ) = 是奇函数，则 的值为______． 1
2 2
13.已知函数 ( ) = ( > 0)，若 ( ) = ( )，且 ( )在区间( , )上恰有两个极值点，则
6 3 6 3

( ) = ______．
8
14.对于数列{ }，称{ }为数列{ }的一阶差分数列，其中 =

+1 ，称{ }为数列{ }的 阶
差分数列，其中 = 1 1 +1 ( ≥ 2, ∈ ).已知数列{

}满足 1 = 1，且{ +1 2 }为
{ }的二阶差分数列，则数列{ }的前 项和 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
1
已知函数 ( ) = 2 3 + ( + 2)的图象在点(0, (0))处的切线与直线 + = 0平行．
2
(Ⅰ)求 ；
(Ⅱ)求 ( )在区间[ 1,4]上的最大值. (参考数据： 6 ≈ 1.79)
16.(本小题15分)
+
在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 = ．

(Ⅰ)求 ；
2
(Ⅱ)如图， 为△ 内一点，且∠ = ， = ，证明： = ．
3
17.(本小题15分)
如图，在以 ， ， ， ， ， 为顶点的五面体中，平面 ⊥平面 ， // // ， ⊥ ，
= = = = 2， = 4， = 2√ 3．
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(Ⅰ)证明： ⊥ ；
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
已知{ }是首项为1的等差数列，其前 项和为 ， 7 = 70，{ }为等比数列， 2 = 6， 2 + 3 = 80．
(Ⅰ)求{ }和{ }的通项公式；
(Ⅱ)求数列{( 1) 2 }的前 项和 ；
1 4(Ⅲ)记 = 2 + ，若 ≥

2
对任意 ∈ 恒成立，求实数 的取值范围．
2
19.(本小题17分)
帕德逼近是法国数学家亨利 帕德发现的一种用有理函数逼近任意函数的方法.帕德逼近有“阶”的概念，如
果分子是 次多项式，分母是 次多项式，那么得到的就是[ , ]阶的帕德逼近，记作 , .一般地，函数 ( )
+ + 2+ +
在 = 0处的[ , ]阶帕德逼近定义为： , ( ) =
0 1 2 ，且满足 (0) = (0)， ′(0) =
1+ 1 + 2
2+ + ,
( + )
′ , (0)， ″(0) = ″
( + )
, (0)，…， (0) = , (0)．
注： ″( ) = [ ′( )]′， (3)( ) = [ ″( )]′，…， ( )( ) = [ ( 1)( )]′．
+
已知函数 ( ) = 在 = 0处的[1,1]阶帕德逼近为 0 11,1( ) = ． 1+ 1
(Ⅰ)求 1,1( )的解析式；
(Ⅱ)当 < 2时，比较 ( )与 1,1( )的大小；
1 3
(Ⅲ)证明：当 > 0时， < ．
2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】4
13.【答案】 1
14.【答案】( 1) 2 + 1

15.【答案】解：(Ⅰ)由题意得 ′( ) = 3 + , > 2．
+2
由函数 ( )的图象在点(0, (0))处的切线与直线 + = 0平行，

可得 ′(0) = 1，即 3+ = 1，所以 = 4．
2
1 ( +1)( 2)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ( ) = 2 3 + 4 ( + 2), ′( ) = , > 2．
2 +2
当 ∈ ( 1,2)时， ′( ) < 0，当 ∈ (2,4)时， ′( ) > 0，
所以 ( )在( 1,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增．
所以 ( )在区间[ 1,4]上的最大值为 ( 1)和 (4)中的较大者．
7
因为 ( 1) = , (4) = 4 6 4，
2
15
所以 ( 1) (4) = 4 6 > 0，即 ( 1) > (4)，
2
7
故 ( )在区间[ 1,4]上的最大值为 ．
2
+
16.【答案】(Ⅰ)解：∵ = ，

+
∴根据正弦定理，可得 = ，整理得 = 2 + 2 2．

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2
2
+ 2 1
∴由余弦定理得 = = ，结合 ∈ (0, )，可知 = ；
2 2 3
2 2 2 (Ⅱ)证明：在△ 中，由余弦定理得 = + 2 2 ，
3
设 = ，结合 = ， = ，整理得 2 = 2 + 2 + ，

∵△ 中， 2 = 2 + 2 2 = 2 + 2 ，
3
∴ 2 + 2 + = 2 + 2 ，整理得 2 + ( 2 ) = 0．
2
在△ 中，∠ = ，可得 < ，即 < ，
3
∴ ( ) = 2 = 2 2 > 0，可知 > 0，
∵方程 2 + ( 2 ) = 0的两根之积 1 2 = (
2 ) < 0，
±√ 2
2
+4( ) ±(2 )
∴方程 2 + ( 2 ) = 0有一正、一负的实数根，由 = = ，
2 2
+2
结合 > 0，可得该方程的正根为 = = ，即 = ．
2
17.【答案】解(Ⅰ) ∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， ⊥ ，
∴ ⊥平面 ，
又 平面 ，
∴ ⊥ ，
(Ⅱ)如图，过 作 // 交 于点 ，作 ⊥ 于点 ，
由(Ⅰ)得 ⊥平面 ，
∵ // ，∴ ⊥平面 ，
∴ ， ， 两两垂直，
故以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
由条件可得 (√ 3, 1,0)， (√ 3, 1,0)， (0, 2,0)， (0,0,2√ 2)，
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∴ = ( √ 3, 1,2√ 2)， = (√ 3, 3,0)， = (0,2,2√ 2)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= √ 3 + 3 = 0
则{ ，
= 2 + 2√ 2 = 0
可取 = (√ 6, √ 2, 1)，
设直线 与平面 所成的角为 ，
√ 2 √ 6
则 = |cos , | = = ，
3√ 3 9
即直线 与平面 所成角的正弦值为√ 6．
9
18.【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{ }的公差为 ，
7×6
由 1 = 1， 7 = 70，得7 × 1 + = 70，解得 = 3， 2
∴ = 1 + ( 1) = 1 + 3( 1) = 3 2；
设等比数列{ }的公比为 ，
由 2 = 6 = 3 × 6 2 = 16， 2 + 3 = 2(1 + ) = 16(1 + ) = 80，
解得 = 4，∴ = 2 2 = 16 × 4
2 = 4 ；
(Ⅱ) ∵数列{ }的公差 = 3，
∴ 2 2 +1 = ( +1 )( +1 + ) = 3( + +1)，
则当 为偶数时， = (
2 2 2 2
1 + 2) + ( 3 + 4) + (
2
5 +
2
6) + + (
2 2
1 + )
+ 3 1 9 2 3
= 3( 1 + 2 + 3 + + ) = 3
1 = 3 = ；
2 2 2
2
9( 1) 3( 1) 9 2+3 +4
当 为奇数时， =
2
1 = (3 2)
2 = ．
2 2
9 2+3 +4
, 为奇数
∴ 2 = { ； 9 2 3
, 为偶数
2
(Ⅲ) ∵ = 4
， 2 2 = 4 ，
1 1 1
∴ = + = 42 + ， = 44 2 2 + 4 42
，

1 1
则 2 2 = (4
2 + 2 ) (44 + 2 ) = 2 × 4
．
4 4
4 3 6令 = = ， 2

2 2×4
3 6 3 9 3 6 4(3 9) 30 9
则 1 = 1 = = ， 2×4 2×4 2×4
2×4
当2 ≤ ≤ 3时，有 > 1，即 1 < 2 < 3，
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当 > 3时，有 < 1，即 3 > 4 > 5 >. ..，
3
∴数列{ }的最大项为 3 = ， 128
4 3
由 ≥ 2 恒成立，得 ≥ = ． 32 128
3
即实数 的取值范围为[ , +∞)．
128
2
2 +2
19.【答案】解：(Ⅰ)由题意知 ′( ) = ， ″( ) = ， ′ ( ) = 1 0 1 1 1 0 11,1 2， ″1,1( ) = 3 ，
(1+ 1 ) (1+ 1 )
(0) = 1,1(0)， ′(0) = ′1,1(0)， ″(0) = ″1,1(0)，
= 1,
1 = 00, 1
即{1 = 1 0 1, 解得 1 = ,2
1 = 2 + 2 2, 11 1 0 1 { 1 = ,2

1+
2 2+ 所以 1,1( ) = = ． 1 2
2
2
2+ 4 (2 ) 4
(Ⅱ)设 ( ) = ， < 2，则 ′( ) = = ，
2 2 2(2 ) (2 )
记 ( ) = (2 )2 4， < 2，则 ′( ) = ( 2) ．
当 ∈ ( ∞,0)时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 ∈ [0,2)时， ′( ) ≤ 0， ( )单调递减，
所以当 < 2时， ( ) ≤ (0) = 0，
所以 ′( ) ≤ 0，仅当 = 0时， ′( ) = 0，故 F( )在( ∞,2)上单调递减．
2+0
又因为 (0) = 0 = 0，
2 0
所以当 < 0时， ( ) > 0，
当 = 0时， ( ) = 0，
当0 < < 2时， ( ) < 0．
即当 < 0时， ( ) > 1,1( )，
当 = 0时， ( ) = 1,1( )，
当0 < < 2时， ( ) < 1,1( )．
1 3 3
(Ⅲ)证明：要证当 > 0时， < ，需证 < ln ，
2 2
1
设 ( ) = ，则 ′( ) = ，
2
令 ′( ) > 0，得0 < < ，令 ′( ) < 0得 > ，
所以 ( )在(0, )上单调递增，在( , +∞)上单调递减，
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1 1
所以 ( ) ≤ ( ) = ，即 ≤ ，

3 1 3 1 3
要证 < ln ，只需证 < ln ，需证 < ，
2 2 2
2+ 4
记 ( ) = = 1，易知 ( )在(0,2)上单调递增．
2 2
2+ 由(2)知，当0 < < 2时， ( ) < 1,1( )，即 < ， 2
1 2
1 1 2+ 2+ 3
取 = ∈ (0,2)，则有 < 1 <
5
2
= ，
2 2 2
5
所以结论成立．
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