2024-2024学年四川省某校高三上学期质检数学试卷（文科）（含答案）

2024-2024学年四川省某校高三上学期质检数学试卷（文科）
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数在复平面内对应点是，若虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.已知角的始边与轴非负半轴重合，若终边过点，则( )
A. B. C. D.
4.已知数列的前项和为若，，则( )
A. B. C. D.
5.下列说法正确的是( )
A. 已知，则“”是“”的充分不必要条件
B. 若不等式的解集为，则
C. 若，则
D. 函数的最小值是
6.函数的图像大致是( )
A. B. C. D.
7.在正方体中，点在线段上运动，则异面直线与所成的角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.有个相同的球，其中个白球，个黑球，从中一次性取出个球，则事件“个球颜色不同”发生的概率为( )
A. B. C. D.
9.用与球心距离为的平面截球，所得截面与球心构成的圆锥的体积为，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
10.函数在的值域为( )
A. B. C. D.
11.已知，为抛物线上一动点，是圆上一点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
12.设，，，下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数的图象经过点，那么这个幂函数的解析式为______．
14.已知动点满足则的最大值为______．
15.定义在上的奇函数满足为偶函数，且当时，，则 ______．
16.对于函数和，设，，若存在，，使得，则称函数和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围为______．
三、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
年月日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年纪念日，某市宣传部组织市民积极参加“学习党史”知识竞赛，并从所有参赛市民中随机抽取了人，统计了他们的竞赛成绩，制成了如图所示的频率分布直方图．
求出图中的值；
求这位市民竞赛成绩的平均数和上四分位数；
若成绩不低于分的评为“优秀市民”，从这名市民中的“优秀市民”中任选两名参加座谈会，求这两名市民至少有一人获得分及以上的概率．
18.本小题分
已知等差数列的首项，公差，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项，
求数列的通项公式：
设，是否存在最大的整数，使得对任意的均有总成立？若存在，求出：若不存在，请说明理由．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，是正三角形，已知，，．
证明：平面平面；
求点到平面的距离．
20.本小题分
已知椭圆：的长轴长为，，是其左、右顶点，是椭圆上异于，的动点，且．
求椭圆的方程；
若为直线上一点，，分别与椭圆交于，两点证明：直线过椭圆右焦点．
21.本小题分
已知函数且为常数．
当，求函数的最小值；
若函数有个极值点，求的取值范围．
22.本小题分
已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为为参数，曲线的参数方程是为参数．
写出曲线和直线的直角坐标方程；
若直线与曲线交于、两点，为曲线上的动点，求面积的最大值．
23.本小题分
设函数．
当时，解不等式；
若对任意，关于的不等式有解，求实数的取值范围．
参考答案
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17.解：由频率分布直方图可知：，
．
由得：，
设市民竞赛成绩的上四分位数为，
则，，
，
，
；
由频率分布直方图可知：名市民中有“优秀市民”人，
其中人成绩在不高于分，记为，，，，，，，，
有人成绩在分以上，记为，，，．
从“优秀市民”中任选两名参加座谈会，用集合表示这个试验的一个样本点，
因此该试验的样本空间为，，
其中，
事件“两名市民至少有一人获得分及以上”，
则，其中，
．
18.解：由题意得，
整理得，
，解得：舍，，
．
，
，
，
数列是单调递增的，
使得对任意的均有总成立，等价于，即，
又，满足条件的的最大值是．
19.解：证明：分别作，的中点，，连接，，，
因为，分别为，的中点，且四边形为等腰梯形，
可得，所以，
在等腰梯形中，因为，，
可得，所以，
因为是正三角形，是中点，所以，又由，可知
又因为，所以，所以，
因为，，且，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
由知，，且为的中点，可得，
过作于，因为，则为的中点，
且，所以，
又由，所以，
设点到平面的距离为，则，解得，
所以点到平面的距离为．
20.解：由已知得：，，，
设，因为在椭圆上，
所以，
因为，
将式代入，得，得，
所以椭圆；
证明：设，则，
同理可得，
联立方程，得，则，
同理联立方程，可得，则，
又椭圆的右焦点为，所以，
因为，
可证得，，三点共线，即直线恒过点．
21.解：当时，，所以，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，函数取得最小值；
函数的定义域为，，
设，，
由，得，
列表如下：
减 极小值 增
当时，，当时，，
做出函数与的图像，如下图，
当时，直线与的图象有个交点，
设这两个交点的横坐标分别为，，且，由图可知，
当或时，，
当时，，此时函数有个极值点，
所以的取值范围是．
22.解：由题意可知：，直线的直角坐标方程为．
将直线方程代入的方程并整理得，
设，对应的参数分别为，，
则，，
，
所以点到直线的距离，
所以当时，的最大值为，
即三角形面积最大值为．
23.解：当时，，即，解得：
解集为：；
，，
而，
当时取等号，故，
对恒成立，
设，当或时，，
，．
即实数的取值范围是
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