广东省深圳市云顶学校2023-2024学年高三上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

广东省深圳市云顶学校 2023-2024 学年高三上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { |1 ≤ ≤ 3}， = { | 2 6 +8 < 0}，则 ∪ =( )
A. [1,4] B. [1,4) C. [2,3] D. [2,3)
2.若复数 满足 = 4 + 3 ，则| | =( )
A. 2 B. √ 5 C. 3 D. 5
3.“ = 4”是“直线(3 4) + 2 = 0与直线 + 2 2 = 0平行”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数 ( ) = 3
2 3 +1，则 ( )的增区间为( )
3 3 3 3
A. ( ,+∞) B. ( ,+∞) C. ( ∞, ) D. ( ∞, )
2 2 2 2
5.已知正实数 ， 满足 + = 3 ，则 + 4 的最小值为( )
8
A. 9 B. 8 C. 3 D.
3
6.已知 = (1,3)， = (2,5)，则向量 在向量 上的投影向量为( )
5 34 85 2 4 2
A. (1, ) B. ( , ) C. ( , ) D. ( , 1)
2 29 29 3 3 5

7.已知数列{ }和{ }均为等差数列，数列{ }的前 项和为 ，若

为定值， 5 = 45， 3 = 6， 7 = 14，
则 5 =( )
A. 15 B. 56 C. 72 D. 104
2 2 √ 7
8.已知 是双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左焦点， 为坐标原点，过点 且斜率为 的直线与 的右 3
支交于点 ， = 3 ， ⊥ ，则 的离心率为( )
A. 3 B. 2 C. √ 3 D. √ 2
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排.现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用电
量(单位： )，将数据进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出如图所示的频率分布直方图，则
( )
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A. 图中 的值为0.015
B. 样本的第25百分位数约为217
C. 样本平均数约为198.4
D. 在被调查的用户中，用电量落在[170,230)内的户数为108
10.已知函数 ( ) = 1 + 3，则下列说法正确的是( )
A. 函数 ( )有两个极值点 B. 函数 ( )有3个零点
C. 函数 ( )的所有极值的和为2 D. = 是函数 ( )图象的一条切线
11.已知 是圆 ： 2 + 2 = 1上一点， 是圆 ：( 3)2 + ( + 4)2 = 4上一点，则( )
A. | |的最小值为2
B. 圆 与圆 有4条公切线
4 3
C. 当| |取得最小值时， 点的坐标为( , )
5 5
D. 当| | = 1 +√ 21时，点 到直线 的距离小于2
12.如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， ⊥底面 ，
= = 2，点 是 中点，点 是棱 的上动点( 与端点不重合).下
列说法正确的是( )
9
A. 从 、 、 、 、 、 六个点中任取三点恰能确定一个平面的概率为
10
3
B. 从 、 、 、 、 、 六个点中任取四点恰能构成三棱锥的概率为
5
C. 存在点 ，使直线 与 所成的角为60°
D. 不存在点 ，使 //平面
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三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
, ≤ 2
13.已知函数 ( ) = { 2 ，其中 是自然对数的底数，则 [ (√ 5)] =______． 2( 1), > 2
1
14.在(√ )5的展开式中，含 项的系数为______．
2
15.杭州亚运会举办在即，主办方开始对志愿者进行分配，已知射箭场馆需要6名志愿者，其中3名会说韩语，
3名会说日语，目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语，5人只会日语，另外还有1人既会韩语又会日语，
则不同的选人方案有______种. (用数字作答)
16.已知圆锥的外接球半径为2，则该圆锥的最大体积为______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知数列{ }是以3为首项，公差不为0的等差数列，且 1， 3， 9成等比数列．
(1)求{ }的通项公式；
27
(2)若 = ，求数列{ }的前 项和 ． +1
18.(本小题12分)

已知① + = 2 ，② = ，③ +√ 3 = 0，从上述三个条件
+
中任选一个补充到下面问题中，并解答问题.在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，并且满足_____．
(1)求角 ；
(2)若 = 3， 为角 的平分线，点 在 上，且 = 2，求△ 的面积．
19.(本小题12分)
如图，在长方体 1 1 1 1中，点 ， 分别在棱 1， 1上， = 2， = 1， 1 = 3， 1 = = 1．
(1)证明： ⊥ 1E.
(2)求平面 1 与平面 的夹角的余弦值．
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20.(本小题12分)
某土特产超市为预估2022年元旦期间游客购买土特产的情况，对2021年元旦期间的90位游客购买情况进行
统计，得到如下人数分布表：
购买金额(元) [0,150) [150,300) [300,450) [450,600) [600,750) [750,900]
人数 10 15 20 15 20 10
(1)根据以上数据完成2 × 2列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于600元与性别有关．
不少于600元 少于600元 合计
男 40
女 18
合计
(2)为吸引游客，该超市推出一种优惠方案：购买金额不少于600元可抽奖3次，每次中奖概率为 (每次抽奖
互不影响，且 的值等于人数分布表中购买金额不少于600元的频率)，中奖1次减50元，中奖2次减100元，
中奖3次减150元．若游客甲计划购买800元的土特产，请列出实际付款数 (元)的分布列并求其数学期望．
2
( )
附：参考公式和数据： 2 = , = + + + ．
( + )( + )( + )( + )
附表：
0 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879
( 2 ≥ 0) 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005
21.(本小题12分)
2 2
已知椭圆 ： + = 1， 为坐标原点，若椭圆 ′与椭圆 的离心率相同，焦点都在同一坐标轴上，椭圆 ′的
8 2
长轴长与椭圆 的长轴长之比为1：√ 2．
(1)求椭圆 ′的方程；
(2)已知点 在椭圆 上，点 ， 在椭圆 ′上，若 = + ，则四边形 的面积是否为定值？若是，
求出定值；若不是，请说明理由．
22.(本小题12分)
1
已知函数 ( ) = 2 + ( + 1) ，其中 ∈ ．
2
(Ⅰ)讨论 ( )的单调性；
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2
(Ⅱ)若函数 ( ) = ( ) + ( 1) 有两个极值点 1， 2，且 ( 1)+ ( 2) > 2恒成立( 为自然对数的
底数)，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】 2
5
14.【答案】
2
15.【答案】140
256
16.【答案】
81
17.【答案】解：(1)设{ }的公差为 ，因为 1， 3， 9成等比数列，
所以 2 23 = 1 9，即( 1 + 2 ) = 1( 1+ 8 )，又 ≠ 0，所以 = 1 = 3，
故 = 1 + ( 1) = 3 ．
3 1 1
(2)由(1)可得， = = 3( )， ( +1) +1
1 1 1 1 1 3
则 = 3(1 + + + ) = ． 2 2 3 +1 +1
18.【答案】解：选①：因为 + = 2 ，
所以由正弦定理得： + = 2 ，
因为 ∈ (0, )，则 > 0，
1
所以sin( + ) = 2 = 2 = ，
2

所以 = ；
3
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选②：由正弦定理得 = ，即 2 = 2 2 2 + 2 2 = ，
+
2
+ 2 2 1
由余弦定理得 = = ，
2 2

因为 ∈ (0, )，所以 = ；
3
选③：由 +√ 3 = 0及正弦定理得： +√ 3 = 0，
则 +√ 3 sin( + ) = 0，
即√ 3 = 0，
因为 ∈ (0, )，所以 > 0，则√ 3 1 = 0，
1
解得2 ( ) = 1，即sin( ) = ，
6 6 2
5
因为 ∈ (0, )，所以 ∈ ( , )，
6 6 6

所以 = ，所以 = ；
6 6 3
(2)因为 为角 的平分线，点 在 上，
1 1 1
所以 △ = △ + △ ，即 60° = 30° + 30°， 2 2 2
化简得：√ 3 = 2( + )，
由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 ，所以 2 + 2 = 9，
解得 = 2(舍去)或 = 6，
1 3√ 3
所以 △ = = ． 2 2
19.【答案】证明：(1)以 1为坐标原点， 1 1， 1 1， 1 所在直线分别为 ， ， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 1(2,1,0)， (2,0,1)， (0,1,2)，
所以 1 = (0, 1,1)， = ( 2,1,1)，
因为 1 = 0 × ( 2) 1 × 1 +1 × 1 = 0，所以 1 ⊥ ，
所以 ⊥ 1 ；
解：(2)由(1)知， 1 = (0, 1,1)， = ( 2,1,1)，
设平面 1 的法向量为 = ( , , )，
1 = + = 0则{ ，不妨取 = 1，则 = (1,1,1)，
= 2 + + = 0
由题可得， 1 ⊥平面 ，所以 1 是平面 的一个法向量，且 1 = (0,0,3)，
设平面设 1 与平面 的夹角为 ，
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| | 3 √ 3
所以 = |cos < , > | = 11 = = ， | || 1 | √ 3×3 3
故平面 与平面 的夹角的余弦值为√ 31 ． 3
20.【答案】解：(1)2× 2列联表如下：
不少于600元 少于600元 合计
男 12 40 52
女 18 20 38
合计 30 60 90
2
2 90×(12×20 40×18) 1440 = = ≈ 5.830 > 3.841，
30×60×52×38 247
因此有95%的把握认为购买金额是否少于600元与性别有关．
10+20 1
(2) 的所有取值可能为650，700，750，800，且 = = ，
90 3
3
( = 650) = 3
1 1
3 ( ) = ， 3 27
2
1 2 2
( = 700) = 23 ( ) × = ， 3 3 9
2
1 2 4
( = 750) = 13 × × ( ) = ， 3 3 9
3
2 8
( = 800) = 03 ( ) = 3 27
所以 的分布列为
650 700 750 800
1 2 4 8

27 9 9 27
1 2 4 8
( ) = 650× +700 × + 750× +800× = 750．
27 9 9 27
2 2
21.【答案】解：(1)易知两椭圆焦点都在 轴上，不妨设 ′： 2 + 2 = 1( > > 0)，
因为椭圆 的长轴长2√ 8 = 4√ 2，
1
所以椭圆 ′的长轴长 × 4√ 2 = 4 = 2 ，
√ 2
8 2 22
2
可得椭圆 的离心率 = √ = √ ，
8 22
解得 2 = 1，
2
则椭圆 ′的方程 + 2 = 1；
4
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(2)是定值，理由如下：
不妨设 ( 0 , 0)， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
因为 ， ， 三点在椭圆上，
2 2
0

+ 0 = 1
8 2
2
所以 1+ 2 = 1，
4 1
22+ 2{ 4 2 = 1
因为 = + ，
所以四边形 是平行四边形，
+
因为{ 1 2
= 0，
1 + 2 = 0
2 2
( + ) ( + )
即 1 2 + 1 2 = 1，①
8 2
2+ 2 2+ 2 ( 2+ 2)
又 1 2 + ( 2 + 2)= 2 1 2 1 21 2 + = 1，② 4 8 2
1 2
① ②得 + 1 2 = 0， 4
2 21 因为 1 2( + 2)( 2+ 2)= ( 1 21 2 + )
2
1 2 + (
2 1 )2 = 1，
4 4 4 2
1 2
所以( 2 1 )2 = 1，
2
即| 1 2 1 2| = 2，
易知直线 的方程为 1 1 = 0，
| 1 2 2 1 |
所以点 到直线 的距离为 = ，
√ 2 21+ 1
1 | 1 2 |
则平行四边形 的面积为 = | | × 2 = √
2 + 2 × 2 11 1 = | 2 1 2 2 1| = 2√ 2+ 2 ， 1 1
显然面积是定值，定值为2．
1
22.【答案】解：(Ⅰ) ( ) = 2 + ( + 1) ，函数 ( )的定义域是(0,+∞)，
2
( )( 1)
′( ) = + ( + 1) = ，

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① ≤ 0时， > 0，
令 ′( ) > 0，解得 > 1，令 ′( ) < 0，解得0 < < 1，
故 ( )在(0,1)递减，在(1,+∞)递增，
②0< < 1时，
令 ′( ) > 0，解得 > 1或 < ，令 ′( ) < 0，解得 < < 1，
故 ( )在(0, )递增，在( , 1)递减，在(1,+∞)递增，
③ = 1时， ′( ) ≥ 0， ( )在(0,+∞)单调递增，
④ > 1时，
令 ′( ) > 0，解得 > 或 < 1，令 ′( ) < 0，解得1 < < ，
故 ( )在(0,1)递增，在(1, )递减，在( ,+∞)递增，
综上， ≤ 0时， ( )在(0,1)递减，在(1,+∞)递增，
0 < < 1时， ( )在(0, )递增，在( , 1)递减，在(1,+∞)递增，
= 1时， ( )在(0,+∞)单调递增，
> 1时， ( )在(0,1)递增，在(1, )递减，在( , +∞)递增；
(Ⅱ)函数 ( )的定义域是(0,+∞)，
1
( ) = ( ) + ( 1) = 2 + 2 ，
2
2 2 +
′( ) = + 2 = ，

令 ′( ) = 0，即 2 2 + = 0( > 0)，
当 = 4 4 ≤ 0即 ≥ 1时， ( )无极值，
当 = 4 4 > 0时，得 < 1，
当 < 1时，设 2 2 + = 0的两根为 1， 2，
则 1+ 2 = 2且 1 2 = ，
①当 ≤ 0时， 2 2 + = 0不存在两个正根， ( )不存在两个极值点，
②当0 < < 1时，解得 = 1 ± √ 1 ，
当0 < < 1 √ 1 时， ′( ) > 0， ( )递增，
当1 √ 1 < < 1 +√ 1 时， ′( ) < 0， ( )递减，
当 > 1 √ 1 时， ′( ) > 0， ( )递增，
故当0 < < 1时， ( )有两个极值点 1， 2，且 1+ 2 = 2， 1 2 = ，
1 1
( 1)+ (
2 2
2) = 1 + 1 2 1+ 2 + 2 2 2 2 2
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1
= ( + )21 2 1 2 + ( 1 2) 2( 2 1
+ 2) = 2，
令 ( ) = 2， ′( ) = ，
当0 < < 1时， ′( ) = < 0， ( )在(0,1)递减，
1 2
又 ( ) = 2，

1
故实数 的取值范围是(0, ).

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