2023-2024学年湖北省孝感市孝感高级中学高三（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年湖北省孝感高级中学高三（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
2.在等比数列中，，，且前项和，则此数列的项数等于( )
A. B. C. D.
3.已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.有辆车停放个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有种停放方法．
A. B. C. D.
5.已知的边的中点为，点在所在平面内，且，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数的图象恰为椭圆轴上方的部分，若，，成等比数列，则平面上点的轨迹是( )
A. 线段不包含端点 B. 椭圆一部分
C. 双曲线一部分 D. 线段不包含端点和双曲线一部分
7.已知，，则( )
A. B. C. D.
8.已知为坐标原点，双曲线：的左、右焦点分别是，，离心率为，点是的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是，，若双曲线上一点满足，则点到双曲线的两条渐近线距离之和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，是关于的方程的两根，则( )
A. B.
C. D. 若，则
10.若函数，则( )
A. 的最小正周期为
B. 的图像关于直线对称
C. 的最小值为
D. 的单调递减区间为
11.设为常数，，，则( )
A. B. 恒成立
C. D. 满足条件的不止一个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，若中元素至多有个，则的取值范围是______．
13.已知圆锥的母线长为，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为______时，圆锥的体积最大，最大值为______．
14.函数的最小值______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设，曲线在点处取得极值．
求的值；
求函数的单调区间和极值．
16.本小题分
袋中装有个乒乓球，其中个旧球，现在无放回地每次取一球检验．
若直到取到新球为止，求抽取次数的概率分布及其均值；
若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验次取到新球个数的均值．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，，，且平面平面．
求证：平面平面；
设点为直线的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知抛物线：的焦点为，若的三个顶点都在抛物线上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”．
设“核心三角形”的一边所在直线的斜率为，求直线的方程；
已知是“核心三角形”，证明：三个顶点的横坐标都小于．
19.本小题分
对于给定的正整数，记集合，其中元素称为一个维向量特别地，称为零向量．
设，，，定义加法和数乘：，．
对一组向量，，，，若存在一组不全为零的实数，，，，使得，则称这组向量线性相关否则，称为线性无关．
对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
，；
，，；
，，，．
已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由．
已知个向量，，，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明：
如果存在等式，则这些系数，，，或者全为零，或者全不为零；
如果两个等式，同时成立，其中，则．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：，
，
曲线在点处取得极值，
；
由得，定义域为，
，
令得，或，
当时，，函数在上单调递增，
当或时，，函数在，上单调递减，
故函数的单调递增区间为，
单调递减区间为和，
极大值为，
极小值为．
16.解：的可能取值为，，，
，
，
故抽取次数的概率分布为：


；
每次检验取到新球的概率均为，
故，
所以．
17.解：证明：因为，所以，
因为，所以．
在中，，即，
所以，即．
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
又平面，所以，
在中，，，，
所以，即，
所以．
而，平面，平面，，
所以平面．
又平面，所以平面平面．
在平面中过点作的垂线，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
所以，
平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：
，．
18.解：设、、，
由，两式相减，得，
所以，所以，
由题意可知，，所以，则，
由，所以，所以，线段的中点，
因此，直线的方程为，整理得，
因此，直线的方程；
证明：由可知，则，
由．，，
平方可得，当且仅当时取等号，显然，
所以，即，
将代入可得，解得，
所以点的横坐标小于．
19.解：对于，设，
则可得，所以，线性相关；
对于设，
则可得，，，
所以，，
所以线性相关；
对于，设，
则可得，，，
解得，
所以，，线性相关；
设，
则，
因为向量，，线性无关，
所以，，，
解得，
所以向量，，线性无关；
，
如果某个，，，，，
则，
因为任意个都线性无关，
所以，，，，，，都等于，
所以这些系数，，，或者全为零，或者全不为零，
因为所以，，，全不为零，
所以由，
可得，
代入，可得，
所以，
所以，，，
所以
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