黑龙江省大庆市2024年高考数学第三次质检试卷（PDF版，含答案）

黑龙江省大庆市 2024 年高考数学第三次质检试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {1,2,3,4,5}， = {1,3,4}， = {4,5}，则 ∩ ( ) =( )
A. {3} B. {1,3} C. {3,4} D. {1,3,4}
2.在复平面内，复数 对应的点的坐标是(2,3)，则 =( )
A. 2 + 3 B. 2 3 C. 3 + 2 D. 3 2
3.已知等差数列{ }的前 项和为 ，若 2 = 2， 5 = 5，则 12 =( )
A. 30 B. 32 C. 36 D. 40
4.小明希望自己的高考数学成绩能超过120分，为了激励自己，他记录了近8次数学考试成绩，并绘制成折
线统计图，如图，这8次成绩的第80百分位数是( )
A. 100 B. 105 C. 110 D. 120
2 , ≥ 0
5.已知函数 ( ) = { 23 ，若 ( ) < (6 )，则实数 的取值范围是( ) + 1, < 0
A. ( ∞, 2) ∪ (3,+∞) B. ( 2,3)
C. ( ∞, 3) ∪ (2,+∞) D. ( 3,2)
6.已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两球，每次取一
球，记第一次取出的球的数字是 ，第二次取出的球的数字是 .若事件 =“ + 为偶数”，事件 =“ ，
中有偶数且 ≠ ”，则 ( | ) =( )
2 1 3 2
A. B. C. D.
3 4 4 5
7.已知函数 ( ) = | | 2有2个零点，则实数 的取值范围是( )
1 1 1 1
A. ( , 3) B. [0, 3) C. ( 1,0] ∪ { 3} D. ( , 0] ∪ { 3}
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2 2
8.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2， (0, )，若经过 1的弦 满足| | = | 2|，
则椭圆 的离心率是( )
√ 3 √ 3 √ 6 √ 6
A. B. C. D.
3 4 3 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点 (1, √ 2)是双曲线 ：3 2 2 = 1上一点，过 向双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为 ， ，
则下列说法正确的是( )
A. 双曲线的渐近线方程为 = ±√ 3 B. 双曲线的焦点到渐近线的距离为1
1 √ 3
C. | | | | = D. △ 的面积为
3 16
10.设正方体 1 1 1 1的棱长为2， 为线段 1 上的一个动点，则下列说法正确的是( )
A. ⊥
B. //平面 1 1

C. 设 与 所成的角为 ，则 的最大值为
4
D. 当棱锥 1 1体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为12
1
11.如图，函数 ( ) = sin( + )( > 0)的图象与直线 = 相交， ， ， 是相邻的三个交点，若| |
2

| | = ，则下列说法正确的是( )
3
A. = 2
2 √ 21
B. 若 = , ( ) = 2 ( ) + 3 ( + )的最大值为 ( )，则 2 =
3 3 7
7
C. 若| | < ，函数 ( )在( , )上单调递减，则 ∈ [ , ]
2 3 12 6 6

D. 若 ( ) = 0, ( ) = ( + )是偶函数，则 的一个可能取值为
6 12
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
12.在：(2 3 + )4的展开式中，含 4项的系数是______．

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13.在△ 中， = 1， = 2，∠ = 60°，若 ， 边上的两条中线 ， 相交于点 ，则 =
______；cos∠ = ______．
14.已知二次函数 ( )有两个不相等的零点 ， ，其中 > .在函数 ( )图象上横坐标为 1的点处作 ( )的
切线，切线与 轴交点的横坐标为 2；用 2代替 1重复上面的过程得到 3：一直继续下去，得到 1， 2，…，

，其中 > .若 = ln

, 1
= 1，则{ }前6项的和是______．

四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知 ， ∈ ，函数 ( ) = 2 2 4 + ，且 ′(1) = 4．
(1)求 ( )的单调区间；
(2)若 ( ) ≥ 0恒成立，求 的取值范围．
16.(本小题15分)
面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工，首先要进行
笔试，笔试达标者才能进入面试.面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得1分，
答错不得分；第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得2分，答错不得分．
(1)根据近几年的数据统计，应聘者的笔试得分 服从正态分布 (60,100)，要求满足 ≥ 70为达标.现有1000
人参加应聘，求进入面试环节的人数. (结果四舍五入保留整数)
2 4
(2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为 ，后两题答对的概率均为 ，每道题是否答对互不影响，求该
3 5
应聘者的面试成绩 的分布列与数学期望．
附：若 ( , 2)( > 0)，则 ( < < + ) ≈ 0.683， ( 2 < < + 2 ) ≈ 0.955， (
3 < < + 3 ) ≈ 0.997
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥 中， // ，∠ = 90°， = 2 = 4， = 2， = 2√ 2, ∠ = 45°，
且 是 的中点．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)若二面角 的大小为120°，求直线 与平面 所成角的余弦值．
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18.(本小题17分)
已知平面内一动圆过点 (1,0)，且在 轴上截得弦长为2，动圆圆心的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)设点 是圆 ：( + 2)2 + 2 = 3上的动点，曲线 上有四个点 ， ， ， ，其中 是 的中点， 是
的中点，记 的中点为 ．
①求直线 的斜率；
②求△ 面积的最大值．
19.(本小题17分)
法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离
之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：
①当△ 的三个内角均小于120°时，满足∠ = ∠ = ∠ = 120°的点 为费马点；
②当△ 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．
请用以上知识解决下面的问题：
已知△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，点 为△ 的费马点，且 2 + 2 2 = 1．
(1)求 ；
(2)若 = 4，求| | | | + | | | | + | | | |的最大值；
(3)若| | + | | = | |，求实数 的最小值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】24
√ 7
13.【答案】 1
14
14.【答案】63
15.【答案】解：(1)函数 ( ) = 2 2 4 + ，定义域为(0,+∞)，
4
则 ′( ) = 2 2 ，

又因为 ′(1) = 4，所以2 2 4 = 4，
解得 = 1，
4 2 2 2 4
令 ′( ) = 2 2 = = 0，

解得 1 = 1(舍)， 2 = 2，
当 ∈ (0,2)时， ′( ) < 0， ( )单调递减；当 ∈ (2,+∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 ( )的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,+∞)；
(2)因为 ( )在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，
所以当 = 2时， ( )有极小值 (2) = 4 4 4 2 + = 4 2，
因为 ( )在(0,+∞)上只有一个极值，
所以 ( ) = 4 2，
因为 ( ) ≥ 0恒成立，
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所以 ( ) ≥ 0，即 4 2 ≥ 0，得 ≥ 4 2，
所以 的取值范围是[4 2,+∞)．
16.【答案】解：(1) ∵ 服从正态分布 (60,100)，∴ = 60， = 10．
1 0.683
∵ 70 = + ，∴ ( 70) ≈ = 0.1585，
2
∴ 1000 × 0.1585 = 158.5 ≈ 159．
因此，进入面试的人数约为159．
(2)由题意可知， 的可能取值为0，1，2，3，4，5．
2 4 2 32 2 4 2 1 ( = 5) = × ( ) = ， ( = 0) = (1 ) × (1 ) = ；
3 5 75 3 5 75
2 4 2 2 ( = 1) = × (1 ) = ；
3 5 75
2
( = 2) = (1 ) × 1
4 4 8
2 × × (1 ) = ； 3 5 5 75
2 4 4 16
( = 3) = × 12 × × (1 ) = ； 3 5 5 75
2 4 16
( = 4) = (1 ) × ( )2 = ．
3 5 75
∴ 的分布列为：
0 1 2 3 4 5
1 2 8 16 16 32

75 75 75 75 75 75
1 2 8 16 16 32 290 58
∴ ( ) = 0 × + 1 × + 2 × + 3 × + 4 × + 5 × = = ．
75 75 75 75 75 75 75 15
17.【答案】解：(1)证明：∵ = 2√ 2, = 2,∠ = 45°，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 ∠ ，
∴ 2 = 22 + (2√ 2)2 2 × 2√ 2 × 2 × 45° = 4，
∴ = 2，
∵ 2 = 2 + 2，
∴ ∠ = 90°，
∴ ⊥ ，
∵ // ， = ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ = = 2，
∵ ∠ = 90°，所以∠ = 90°，即 ⊥ ，
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∵ ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
平面 ，
∴平面 ⊥平面 ．
(2)在平面 内，过点 作 ⊥ ，交 于 ，
∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
∴ ⊥平面 ，
以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 (2,0,0)， ( 2,0,0)， (2,2,0)，
由(1)可知∠ 为二面角 的平面角，即∠ = 120°，
∴ ∠ = 30°，由 = 2，可得 (0, 1, √ 3)，
∴ = (2,3, √ 3), = (4,0,0), = (2,1, √ 3)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= 0则{ = 0，即{ ，
= 0 = √ 3
令 = √ 3，则 = 3，
∴平面 的一个法向量为 = (0,3, √ 3)，
设直线 与平面 所成角为 ，
|
| |2×0+3×3+( √ 3)×√ 3| √ 3
则 = |cos , | = = = ，
| | | | √ 9+3 √ 4+9+3 4
3 √ 13
∴ = √ 1 sin2 = √ 1 = ．
16 4
即直线 与平面 所成角的余弦值为√ 13．
4
18.【答案】解：(1)不妨设动圆圆心为( , )，
当 ≠ 0时，
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此时√ | |2 + 1 = √ ( 1)2 + 2，
整理得 2 = 2 ；
当 = 0时，点 的轨迹为点(0,0)，满足 2 = 2 ，
综上得，点 的轨迹方程为 2 = 2 ；
(2)①不妨设 ( 0, 0)， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
+ +
易知 的中点 ( 0 1 , 0 1)，
2 2
因为点 在抛物线 上，
0+ 所以( 1
+
)2 = 2 0 1，
2 2
又 21 = 2 1，
所以 2 2 + 4 21 0 1 0 0 = 0，
同理得 22 2
2
0 2 + 4 0 0 = 0，
则 1， 2为方程
2 2 0 + 4 0
2
0 = 0的两根，
1+ 所以 2 = = 0， 2
则直线 的斜率为0；
2
1+ 2
2
1+
2 ( + 2
②因为 = 2 = 1 2
) 2 1 2 3 0 4 0= ，
2 4 4 2
3 2 4
所以 ( 0 0 , 0)， 2
3 20 4 3此时| | = | 0 | = | 20 2 |， 2 2 0 0
又| 1 22| = √ ( 1 + 2) 4 1 2 = √ 8(
2
0 2 0)，
1 3√ 2
所以△ 的面积 = | | | 1 2| = √ (
2
0 2 )
3
0 ， 2 2
因为点 在圆上，
所以( 0 + 2)
2 + 20 = 3( 2 √ 3 ≤ 0 ≤ 2 + √ 3)，
3√ 2 3√ 2
则 = √ ( 20 6 0 1)
3 = √ [ ( 0 + 3)2 + 8]3， 2 2
所以当 0 = 3时，△ 的面积取得最大值，最大值为48．
19.【答案】解：(1) ∵ 2 + 2 2 = 1，
∴ 1 2 2 + 1 2 2 1 + 2 2 = 1，
即sin2 + sin2 = sin2 ，
由正弦定理得： 2 + 2 = 2，
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∴ = 90°．
(2)由(1)知 = 90°，
∴△ 的三个角都小于120°，
∵点 为△ 的费马点，
∴ ∠ = ∠ = ∠ = 120°，
由 △ = △ + △ + △ 得：
1 1 1 1
= | | | | 120° + | | | | 120° + | | | | 120°，
2 2 2 2
即 √ 3 = (| | | | + | | | | + | | | |)，
2
整理得 2√ 3| | | | + | | | | + | | | | = ，
3
又∵ 2 = 2 + 2 = 16 ≥ 2 ，
∴ ≤ 8，当且仅当 = 时等号成立，
2√ 3 16√ 3
∴ | | | | + | | | | + | | | | = ≤ ，
3 3
∴ | | | | + | | | | + | | | |的最大值为16√ 3．
3
(3)由(2)知∠ = ∠ = ∠ = 120°，
设| | = ，| | = ，| | = ，( > 0, > 0, > 0)，
由| | + | | = | |得 + = ，
∵ | |2 = 2 + 2 2 2 2 120° = ( 2 + + 1) 2；
| |2 = 2 + 2 2 2 2 120° = ( 2 + + 1) 2；
| |2 = 2 2 + 2 2 2 2 120° = ( 2 + 2 + ) 2；
∵ | |2 + | |2 = | |2，
∴ ( 2 + + 1) 2 + ( 2 + + 1) 2 = ( 2 + 2 + ) 2，
即( 2 + + 1) + ( 2 + + 1) = ( 2 + 2 + )，
即 + + 2 = ，
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+
∵ + + 2 = ≤ ( )2，当且仅当 = 时等号成立，
2

∴ + 2 ≤ ( )2，整理得 2 4 8 ≥ 0，
2
解得 ≥ 2 + 2√ 3或者 ≤ 2 2√ 3(舍去)，
∴实数 的最小值为2 + 2√ 3．
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