湖北省武汉市第二中学2024-2025学年高一上学期9月检测数学试题
1．（2024高一上·武汉月考）下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断
【解析】【解答】对于①：因为0是的元素，所以，故①正确；
对于②：因为空集是任何集合的子集，所以，故②正确；
对于③：因为集合的元素为0，1两元素，集合的元素为，一个元素.
两个集合的元素全不相同，所以之间不存在包含关系，故③错误；
对于④：因为集合的元素为，集合的元素为，各表示一个点，
两个集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④错误；
综上所述：正确的个数为2.
故答案为：B.
【分析】根据元素和集合之间的关系、集合与集合的关系结合集合表示法逐一判断即可.
2．（2024高一上·武汉月考）若集合，，则满足的实数a的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】子集与真子集；集合关系中的参数取值问题；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【解答】因为，所以，
即或，解得或或，
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不满足集合元素互异性，不符合题意。
所以实数a的个数为2个.
故答案为：B
【分析】先由，得，求出的值，再根据集合元素的互异性舍去不合题意的值，即可求解．
3．（2024高一上·武汉月考）已知正实数a，b，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】充要条件；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】因为，，
若，则，则，
所以，所以成立，所以甲是乙的充分条件；
若，则，所以，所以，
所以，所以，所以甲是乙的必要条件．
综上可知：甲是乙的充要条件．
故答案为：C．
【分析】根据不等式的性质以及作差比较法，结合充分、必要条件定义分析判断，即可求解.
4．（2024高一上·武汉月考）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】因为，，
所以，即，
又因为，
所以，即，
故答案为：D
【分析】利用不等式性质可加性，由和范围求出，然后利用不等式的性质加法法则，即可求解.
5．（2024高一上·武汉月考）已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】集合间关系的判断；充分条件；命题的否定；命题的真假判断与应用；其他不等式的解法
【解析】【解答】因为，解得或；
因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，
所以是或的真子集，
则的取值范围是，
故答案为：B．
【分析】先解不等式得或，根据是的充分不必要条件得是的充分不必要条件，从而利用充分必要条件条件定义，得到两不等式的包含关系，即可求解.
6．（2024高一上·武汉月考）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“”
【答案】C
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断；充要条件
【解析】【解答】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，每个整数除以后的余数只有，没有其他余数，
所以，又，
故，故C正确；
对于D，若，
则，
若，则，
不妨设，
则，
所以，，
所以除以后余数相同，
所以属于同一“类”
所以整数属于同一“类”的充要条件是“”，故D错误；
故答案为：C.
【分析】根据 定义，求被除的余数为0，判断A错误，求被除的余数是3，判断B错误，根据每个整数除以后的余数只有，判断C正确，根据新定义结合充分条件，必要条件的定义判断D错误.
7．（2024高一上·武汉月考）在中，角的对边分别为，已知周长为3，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为，，所以，
所以，
当且仅当时，即等号成立，
所以当时，取到最小值.
所以的最小值为.
故答案为：C.
【分析】由得，利用“”的代换，结合基本不等式即可求得最值.
8．（2024高一上·武汉月考）记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为均为正实数，
设，则，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
又因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，即，所以的最小值为2.
故答案为：C.
【分析】设，得，利用基本不等式yij等号成立的条件，即可求解.
9．（2024高一上·武汉月考）下列说法正确的是（ ）．
A．的一个必要条件是
B．若集合中只有一个元素，则
C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件
D．已知集合，则满足条件的集合N的个数为4
【答案】C,D
【知识点】子集与真子集；集合中元素的个数问题；子集与交集、并集运算的转换；必要条件；充要条件
【解析】【解答】对于A，当时满足，但不成立，
所以不是的充分条件，不是的必要条件，故A错误；
对于B，当时，方程的解为，
此时集合中只有一个元素，满足题意，
当时，为一元二次方程，
则由集合中只有一个元素得，故，
所以符合题意的有两个，或，故B错误；
对于C，一元二次方程有一正一负根，则，
所以“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件，故C正确；
对于D，因为，所以，
又，所以集合N的个数为个，故D正确.
故答案为：C、D.
【分析】对于A，举例时不成立，进而根据充分条件和必要条件的定义得不是的充分条件，也不是的必要条件，判断A错误；
对于B，按和两种情况去探究方程的解即可判断B错误；
对于C，先由一元二次方程有一正一负根得，该不等式组的解即为方程有一正一负根的充要条件，判断C正确；
对于D，先由得，再由结合子集个数公式即可得解，判断D正确.
10．（2024高一上·武汉月考）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．命题“，”的否定是“，或”
C．若，则函数的最小值为2
D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是
【答案】B,D
【知识点】命题的真假判断与应用
11．（2024高一上·武汉月考）定义全集的子集的特征函数，这里表示在全集中的补集，那么对于集合、，下列所有正确说法是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】对于A：，所以
①当，则，此时；
②当，且，即，此时；
③当，且，即时，，，此时.
综上得，故A正确；
对于B：，故B正确；
对于C：假设，任取，则，则，，则，故C不正确；
对于D：(1)若，则，有三种情况：
①当时，；
②当时，；
③当且时，，
以上均满足.
(2)若时，有以下4中情况，
①当且时，，；
②当且时，，；
③当时，；
④当时，，
以上均满足.
综上所述，，故D正确.
故答案为：A、B、D.
【分析】利用特征函数的定义知，由，对与、关系分类讨论，判断A正确；利用特征函数的定义可判断B正确；取特殊值情况，利用定义可判断C的错误；利用集合运算与函数运算进行分类讨论可判断D正确.
12．（2024高一上·武汉月考）已知集合，，，若，，则 ．
【答案】4
【知识点】交集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】因为，，
，，所以，，
由得，即，解得或，
当时，解得，所以，不满足题意；
当时，解得，满足题意.
所以.
故答案为：4.
【分析】解不等式求出集合，根据集合关系，得，求出的值，然后验证是否满足题意，即可求解.
13．（2024高一上·武汉月考）设集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，已知，，中所有元素之和是246，请写出所有满足条件的集合A： .
【答案】或
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】因为集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，，
所以 ，所以.
因为 中有 9 ，因此 A 中有 3 ，此时集合有共同元素1，
若 ，则 ，于是；
所以且 ，无正整数解；
若，集合有共同元素1和9，则，
所以 ，且，而，
所以，当 时， ；
当 时， ；
因此满足条件的共有2个，分别为.
故答案为：或
【分析】由集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，， 得 ，进而得 ，分类讨论当 和 时情况，即可求解.
14．（2024高一上·武汉月考）对于一个由整数组成的集合，中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”．已知集合，则的“小和数”为 ，的“大和数”为 ．
【答案】；
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】因为所有元素之和称为的“小和数”， 集合 ，所以的“小和数”为，
集合共有11个元素，则一共有个子集，
对于任意一个子集，总能找到一个子集，使得，，
且无重复，则与的“小和数”之和为的“小和数”，
这样的子集对共有个，
其中当时，，则子集对有，
则的“大和数”为.
故答案为：；
【分析】根据题意，求出集合中所有元素之和即为“小和数”；将集合的个子集，分为与，其中，，且无重复，则与的“小和数”之和为的“小和数”，得子集对有，根据“大和数”定义，即可求解.
15．（2024高一上·武汉月考）已知集合.
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）解：
∵，∴，∴，
∴的取值范围是．
（2）(i)若，则，即，此时满足；
(ii)若，则，
若，则或，解得或，
∴或；
综上可得，或．
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】(1)根据得，根据子集定义列出不等式组，解出即可求解．
(2)分和两种情况讨论，得满足条件不等式，解出即可．
（1）∵，∴，
∴，
∴的范围是．
（2）(i)若，则，即，此时满足；
(ii)若，则，
若，则或，解得或，
∴或；
综上，或．
16．（2024高一上·武汉月考）已知非空集合，，全集．
（1）当时，求；
（2）若是成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：方法一：当时，，
所以或．
因为，
所以或，
所以或．
方法二：当时，，因为
所以，
所以或．
（2）因为是成立的充分不必要条件，
所以是的真子集，
解：当时，或
解得或，
综上，实数a的取值范围是．
【知识点】交、并、补集的混合运算；充分条件
【解析】【分析】（1）方法一，根据，，利用补集定义、并集的运算法则，即可求解；方法二，利用，利用交集定义，求出，再根据补集定义
即可求解.
（2）根据是成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再根据集合间的包含关系
即可求解.
（1）方法一：当时，，
所以或．
因为，
所以或，
所以或．
方法二：当时，，
故，
所以或．
（2）因为是成立的充分不必要条件，
所以是的真子集，
当时，或
解得或，
综上，实数a的取值范围是．
17．（2024高一上·武汉月考）已知p：关于x的方程有实数根，．
（1）若命题是假命题，求实数a的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：因为命题是假命题，则命题是真命题，
所以关于的方程有实数根，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）解：由（1）知，命题是真命题，即，
因为命题是命题的必要不充分条件，所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
【知识点】必要条件；命题的否定；命题的真假判断与应用
【解析】【分析】（1）由命题是假命题，得命题是真命题，则由 关于x的方程有实数根， 得，即可求出的取值范围；
（2）由是的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解即可.
（1）因为命题是假命题，则命题是真命题，
即关于的方程有实数根，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知，命题是真命题，即，
因为命题是命题的必要不充分条件，则，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
18．（2024高一上·武汉月考）对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点.
（1）求二次函数的不动点；
（2）若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值.
（3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围.
【答案】（1）解：由题意知，即，则，
解得，，所以不动点为和3.
（2）解： 因为二次函数有两个不相等的不动点、，
所以有两个不相等的正实数根，
即方程有两个不相等的正实数根，
所以，解得，
所以
，
因为，所以，所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8.
（3）解：由题知：，
所以，由于函数恒有不动点，
所以，即，
又因为是任意实数，所以，
即，解得，所以的取值范围是.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系；一元二次方程的解集
【解析】【分析】（1）根据不动点定义列方程，解一元二次方程即可求解 ；
（2）根据不动点定义得方程有两个不相等的正实数根，根据根与系数的关系、判别式，列不等式求得，利用根与系数的关系结合基本不等式即可求得最值；
（3）根据不动点定义得，利用判别式即可求解.
（1）由题意知，即，则，
解得，，所以不动点为和3.
（2）依题意，有两个不相等的正实数根，
即方程有两个不相等的正实数根，
所以，解得，
所以
，
因为，所以，所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8.
（3）由题知：，
所以，由于函数恒有不动点，
所以，即，
又因为是任意实数，所以，
即，解得，所以的取值范围是.
19．（2024高一上·武汉月考）给定整数，由元实数集合定义其相伴数集，如果，则称集合S为一个元规范数集，并定义S的范数为其中所有元素绝对值之和.
（1）判断、哪个是规范数集，并说明理由；
（2）任取一个元规范数集S，记、分别为其中最小数与最大数，求证：；
（3）当遍历所有2023元规范数集时，求范数的最小值.
注：、分别表示数集中的最小数与最大数.
【答案】（1）解：对于集合A：因为，所以集合A不是规范数集；
对于集合B：因为，
又，，，，，，
所以B相伴数集，即，故集合B是规范数集.
（2）证明：设集合S中的元素为，即，
因为S为规范数集，则，则，且，使得，
当时，
则，
当且仅当且时，等号成立；
当时，
则，
当且仅当且时，等号成立；
当时，
则，
当且仅当时，等号成立；
综上所述：
（3）解法一：
设，
因为S为规范数集，则，则，且，使得，
当时，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则范数，
当且仅当时，等号成立，
又，
当且仅当时，等号成立，
故，即范数的最小值；
当时，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，则，
则范数，
当且仅当时，等号成立，
又，
当且仅当时，等号成立，
故，即范数的最小值；
当，使得，且，
当，即，即时，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则范数
；
对于，其开口向上，对称轴为，
所以，
所以范数的最小值为；
当，即，即时，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则范数
；
对于，其开口向上，对称轴为，
所以，
所以范数；
综上所述：范数的最小值.
法二：
不妨设，
因为S为规范数集，则，则，且，使得，
所以对于，同样有，则，
由（2）的证明过程与结论可得，，当且仅当时，等号成立，
即，，……，
所以范数
，
当且仅当时，等号成立，
所以范数的最小值.
【知识点】集合的含义；集合中元素的确定性、互异性、无序性；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据元规范数集的定义，判断集合中的元素两两相减的差的绝对值，是否都大于等于1，即可求解；
（2）利用元规范数集的定义，得到，从而分类讨论、与三种情况，结合绝对值定义，即可证明；
（3）法一：当时，证得，从而得到；当时，证得，从而得到；当时，分类讨论与两种情况，推得，即可求解；
法二：利用规范数集的性质与（2）中结论，结合等差数列求和公式，即可得解.
（1）对于集合A：因为，所以集合A不是规范数集；
对于集合B：因为，
又，，，，，，
所以B相伴数集，即，故集合B是规范数集.
（2）不妨设集合S中的元素为，即，
因为S为规范数集，则，则，且，使得，
当时，
则，
当且仅当且时，等号成立；
当时，
则，
当且仅当且时，等号成立；
当时，
则，
当且仅当时，等号成立；
综上所述：.
（3）法一：
不妨设，
因为S为规范数集，则，则，且，使得，
当时，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则范数，
当且仅当时，等号成立，
又，
当且仅当时，等号成立，
故，即范数的最小值；
当时，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，则，
则范数，
当且仅当时，等号成立，
又，
当且仅当时，等号成立，
故，即范数的最小值；
当，使得，且，
当，即，即时，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则范数
；
对于，其开口向上，对称轴为，
所以，
所以范数的最小值为；
当，即，即时，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则范数
；
对于，其开口向上，对称轴为，
所以，
所以范数；
综上所述：范数的最小值.
法二：
不妨设，
因为S为规范数集，则，则，且，使得，
所以对于，同样有，则，
由（2）的证明过程与结论可得，，当且仅当时，等号成立，
即，，……，
所以范数
，
当且仅当时，等号成立，
所以范数的最小值.
1 / 1湖北省武汉市第二中学2024-2025学年高一上学期9月检测数学试题
1．（2024高一上·武汉月考）下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024高一上·武汉月考）若集合，，则满足的实数a的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024高一上·武汉月考）已知正实数a，b，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024高一上·武汉月考）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一上·武汉月考）已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一上·武汉月考）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“”
7．（2024高一上·武汉月考）在中，角的对边分别为，已知周长为3，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
8．（2024高一上·武汉月考）记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
9．（2024高一上·武汉月考）下列说法正确的是（ ）．
A．的一个必要条件是
B．若集合中只有一个元素，则
C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件
D．已知集合，则满足条件的集合N的个数为4
10．（2024高一上·武汉月考）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．命题“，”的否定是“，或”
C．若，则函数的最小值为2
D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是
11．（2024高一上·武汉月考）定义全集的子集的特征函数，这里表示在全集中的补集，那么对于集合、，下列所有正确说法是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024高一上·武汉月考）已知集合，，，若，，则 ．
13．（2024高一上·武汉月考）设集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，已知，，中所有元素之和是246，请写出所有满足条件的集合A： .
14．（2024高一上·武汉月考）对于一个由整数组成的集合，中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”．已知集合，则的“小和数”为 ，的“大和数”为 ．
15．（2024高一上·武汉月考）已知集合.
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围.
16．（2024高一上·武汉月考）已知非空集合，，全集．
（1）当时，求；
（2）若是成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
17．（2024高一上·武汉月考）已知p：关于x的方程有实数根，．
（1）若命题是假命题，求实数a的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
18．（2024高一上·武汉月考）对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点.
（1）求二次函数的不动点；
（2）若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值.
（3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围.
19．（2024高一上·武汉月考）给定整数，由元实数集合定义其相伴数集，如果，则称集合S为一个元规范数集，并定义S的范数为其中所有元素绝对值之和.
（1）判断、哪个是规范数集，并说明理由；
（2）任取一个元规范数集S，记、分别为其中最小数与最大数，求证：；
（3）当遍历所有2023元规范数集时，求范数的最小值.
注：、分别表示数集中的最小数与最大数.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断
【解析】【解答】对于①：因为0是的元素，所以，故①正确；
对于②：因为空集是任何集合的子集，所以，故②正确；
对于③：因为集合的元素为0，1两元素，集合的元素为，一个元素.
两个集合的元素全不相同，所以之间不存在包含关系，故③错误；
对于④：因为集合的元素为，集合的元素为，各表示一个点，
两个集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④错误；
综上所述：正确的个数为2.
故答案为：B.
【分析】根据元素和集合之间的关系、集合与集合的关系结合集合表示法逐一判断即可.
2．【答案】B
【知识点】子集与真子集；集合关系中的参数取值问题；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【解答】因为，所以，
即或，解得或或，
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不满足集合元素互异性，不符合题意。
所以实数a的个数为2个.
故答案为：B
【分析】先由，得，求出的值，再根据集合元素的互异性舍去不合题意的值，即可求解．
3．【答案】C
【知识点】充要条件；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】因为，，
若，则，则，
所以，所以成立，所以甲是乙的充分条件；
若，则，所以，所以，
所以，所以，所以甲是乙的必要条件．
综上可知：甲是乙的充要条件．
故答案为：C．
【分析】根据不等式的性质以及作差比较法，结合充分、必要条件定义分析判断，即可求解.
4．【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】因为，，
所以，即，
又因为，
所以，即，
故答案为：D
【分析】利用不等式性质可加性，由和范围求出，然后利用不等式的性质加法法则，即可求解.
5．【答案】B
【知识点】集合间关系的判断；充分条件；命题的否定；命题的真假判断与应用；其他不等式的解法
【解析】【解答】因为，解得或；
因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，
所以是或的真子集，
则的取值范围是，
故答案为：B．
【分析】先解不等式得或，根据是的充分不必要条件得是的充分不必要条件，从而利用充分必要条件条件定义，得到两不等式的包含关系，即可求解.
6．【答案】C
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断；充要条件
【解析】【解答】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，每个整数除以后的余数只有，没有其他余数，
所以，又，
故，故C正确；
对于D，若，
则，
若，则，
不妨设，
则，
所以，，
所以除以后余数相同，
所以属于同一“类”
所以整数属于同一“类”的充要条件是“”，故D错误；
故答案为：C.
【分析】根据 定义，求被除的余数为0，判断A错误，求被除的余数是3，判断B错误，根据每个整数除以后的余数只有，判断C正确，根据新定义结合充分条件，必要条件的定义判断D错误.
7．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为，，所以，
所以，
当且仅当时，即等号成立，
所以当时，取到最小值.
所以的最小值为.
故答案为：C.
【分析】由得，利用“”的代换，结合基本不等式即可求得最值.
8．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为均为正实数，
设，则，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
又因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，即，所以的最小值为2.
故答案为：C.
【分析】设，得，利用基本不等式yij等号成立的条件，即可求解.
9．【答案】C,D
【知识点】子集与真子集；集合中元素的个数问题；子集与交集、并集运算的转换；必要条件；充要条件
【解析】【解答】对于A，当时满足，但不成立，
所以不是的充分条件，不是的必要条件，故A错误；
对于B，当时，方程的解为，
此时集合中只有一个元素，满足题意，
当时，为一元二次方程，
则由集合中只有一个元素得，故，
所以符合题意的有两个，或，故B错误；
对于C，一元二次方程有一正一负根，则，
所以“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件，故C正确；
对于D，因为，所以，
又，所以集合N的个数为个，故D正确.
故答案为：C、D.
【分析】对于A，举例时不成立，进而根据充分条件和必要条件的定义得不是的充分条件，也不是的必要条件，判断A错误；
对于B，按和两种情况去探究方程的解即可判断B错误；
对于C，先由一元二次方程有一正一负根得，该不等式组的解即为方程有一正一负根的充要条件，判断C正确；
对于D，先由得，再由结合子集个数公式即可得解，判断D正确.
10．【答案】B,D
【知识点】命题的真假判断与应用
11．【答案】A,B,D
【知识点】集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】对于A：，所以
①当，则，此时；
②当，且，即，此时；
③当，且，即时，，，此时.
综上得，故A正确；
对于B：，故B正确；
对于C：假设，任取，则，则，，则，故C不正确；
对于D：(1)若，则，有三种情况：
①当时，；
②当时，；
③当且时，，
以上均满足.
(2)若时，有以下4中情况，
①当且时，，；
②当且时，，；
③当时，；
④当时，，
以上均满足.
综上所述，，故D正确.
故答案为：A、B、D.
【分析】利用特征函数的定义知，由，对与、关系分类讨论，判断A正确；利用特征函数的定义可判断B正确；取特殊值情况，利用定义可判断C的错误；利用集合运算与函数运算进行分类讨论可判断D正确.
12．【答案】4
【知识点】交集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】因为，，
，，所以，，
由得，即，解得或，
当时，解得，所以，不满足题意；
当时，解得，满足题意.
所以.
故答案为：4.
【分析】解不等式求出集合，根据集合关系，得，求出的值，然后验证是否满足题意，即可求解.
13．【答案】或
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】因为集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，，
所以 ，所以.
因为 中有 9 ，因此 A 中有 3 ，此时集合有共同元素1，
若 ，则 ，于是；
所以且 ，无正整数解；
若，集合有共同元素1和9，则，
所以 ，且，而，
所以，当 时， ；
当 时， ；
因此满足条件的共有2个，分别为.
故答案为：或
【分析】由集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，， 得 ，进而得 ，分类讨论当 和 时情况，即可求解.
14．【答案】；
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】因为所有元素之和称为的“小和数”， 集合 ，所以的“小和数”为，
集合共有11个元素，则一共有个子集，
对于任意一个子集，总能找到一个子集，使得，，
且无重复，则与的“小和数”之和为的“小和数”，
这样的子集对共有个，
其中当时，，则子集对有，
则的“大和数”为.
故答案为：；
【分析】根据题意，求出集合中所有元素之和即为“小和数”；将集合的个子集，分为与，其中，，且无重复，则与的“小和数”之和为的“小和数”，得子集对有，根据“大和数”定义，即可求解.
15．【答案】（1）解：
∵，∴，∴，
∴的取值范围是．
（2）(i)若，则，即，此时满足；
(ii)若，则，
若，则或，解得或，
∴或；
综上可得，或．
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】(1)根据得，根据子集定义列出不等式组，解出即可求解．
(2)分和两种情况讨论，得满足条件不等式，解出即可．
（1）∵，∴，
∴，
∴的范围是．
（2）(i)若，则，即，此时满足；
(ii)若，则，
若，则或，解得或，
∴或；
综上，或．
16．【答案】（1）解：方法一：当时，，
所以或．
因为，
所以或，
所以或．
方法二：当时，，因为
所以，
所以或．
（2）因为是成立的充分不必要条件，
所以是的真子集，
解：当时，或
解得或，
综上，实数a的取值范围是．
【知识点】交、并、补集的混合运算；充分条件
【解析】【分析】（1）方法一，根据，，利用补集定义、并集的运算法则，即可求解；方法二，利用，利用交集定义，求出，再根据补集定义
即可求解.
（2）根据是成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再根据集合间的包含关系
即可求解.
（1）方法一：当时，，
所以或．
因为，
所以或，
所以或．
方法二：当时，，
故，
所以或．
（2）因为是成立的充分不必要条件，
所以是的真子集，
当时，或
解得或，
综上，实数a的取值范围是．
17．【答案】（1）解：因为命题是假命题，则命题是真命题，
所以关于的方程有实数根，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）解：由（1）知，命题是真命题，即，
因为命题是命题的必要不充分条件，所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
【知识点】必要条件；命题的否定；命题的真假判断与应用
【解析】【分析】（1）由命题是假命题，得命题是真命题，则由 关于x的方程有实数根， 得，即可求出的取值范围；
（2）由是的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解即可.
（1）因为命题是假命题，则命题是真命题，
即关于的方程有实数根，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知，命题是真命题，即，
因为命题是命题的必要不充分条件，则，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
18．【答案】（1）解：由题意知，即，则，
解得，，所以不动点为和3.
（2）解： 因为二次函数有两个不相等的不动点、，
所以有两个不相等的正实数根，
即方程有两个不相等的正实数根，
所以，解得，
所以
，
因为，所以，所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8.
（3）解：由题知：，
所以，由于函数恒有不动点，
所以，即，
又因为是任意实数，所以，
即，解得，所以的取值范围是.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系；一元二次方程的解集
【解析】【分析】（1）根据不动点定义列方程，解一元二次方程即可求解 ；
（2）根据不动点定义得方程有两个不相等的正实数根，根据根与系数的关系、判别式，列不等式求得，利用根与系数的关系结合基本不等式即可求得最值；
（3）根据不动点定义得，利用判别式即可求解.
（1）由题意知，即，则，
解得，，所以不动点为和3.
（2）依题意，有两个不相等的正实数根，
即方程有两个不相等的正实数根，
所以，解得，
所以
，
因为，所以，所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8.
（3）由题知：，
所以，由于函数恒有不动点，
所以，即，
又因为是任意实数，所以，
即，解得，所以的取值范围是.
19．【答案】（1）解：对于集合A：因为，所以集合A不是规范数集；
对于集合B：因为，
又，，，，，，
所以B相伴数集，即，故集合B是规范数集.
（2）证明：设集合S中的元素为，即，
因为S为规范数集，则，则，且，使得，
当时，
则，
当且仅当且时，等号成立；
当时，
则，
当且仅当且时，等号成立；
当时，
则，
当且仅当时，等号成立；
综上所述：
（3）解法一：
设，
因为S为规范数集，则，则，且，使得，
当时，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则范数，
当且仅当时，等号成立，
又，
当且仅当时，等号成立，
故，即范数的最小值；
当时，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，则，
则范数，
当且仅当时，等号成立，
又，
当且仅当时，等号成立，
故，即范数的最小值；
当，使得，且，
当，即，即时，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则范数
；
对于，其开口向上，对称轴为，
所以，
所以范数的最小值为；
当，即，即时，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则范数
；
对于，其开口向上，对称轴为，
所以，
所以范数；
综上所述：范数的最小值.
法二：
不妨设，
因为S为规范数集，则，则，且，使得，
所以对于，同样有，则，
由（2）的证明过程与结论可得，，当且仅当时，等号成立，
即，，……，
所以范数
，
当且仅当时，等号成立，
所以范数的最小值.
【知识点】集合的含义；集合中元素的确定性、互异性、无序性；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据元规范数集的定义，判断集合中的元素两两相减的差的绝对值，是否都大于等于1，即可求解；
（2）利用元规范数集的定义，得到，从而分类讨论、与三种情况，结合绝对值定义，即可证明；
（3）法一：当时，证得，从而得到；当时，证得，从而得到；当时，分类讨论与两种情况，推得，即可求解；
法二：利用规范数集的性质与（2）中结论，结合等差数列求和公式，即可得解.
（1）对于集合A：因为，所以集合A不是规范数集；
对于集合B：因为，
又，，，，，，
所以B相伴数集，即，故集合B是规范数集.
（2）不妨设集合S中的元素为，即，
因为S为规范数集，则，则，且，使得，
当时，
则，
当且仅当且时，等号成立；
当时，
则，
当且仅当且时，等号成立；
当时，
则，
当且仅当时，等号成立；
综上所述：.
（3）法一：
不妨设，
因为S为规范数集，则，则，且，使得，
当时，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则范数，
当且仅当时，等号成立，
又，
当且仅当时，等号成立，
故，即范数的最小值；
当时，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，则，
则范数，
当且仅当时，等号成立，
又，
当且仅当时，等号成立，
故，即范数的最小值；
当，使得，且，
当，即，即时，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则范数
；
对于，其开口向上，对称轴为，
所以，
所以范数的最小值为；
当，即，即时，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则范数
；
对于，其开口向上，对称轴为，
所以，
所以范数；
综上所述：范数的最小值.
法二：
不妨设，
因为S为规范数集，则，则，且，使得，
所以对于，同样有，则，
由（2）的证明过程与结论可得，，当且仅当时，等号成立，
即，，……，
所以范数
，
当且仅当时，等号成立，
所以范数的最小值.
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