吉林省长春市第十七中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题
1．（2024高一上·朝阳月考）已知集合，下列式子错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断；空集
【解析】【解答】解：易知集合，
则，
与是两个集合，不能用“”表示它们之间的关系.
故答案为：B.
【分析】先求出集合A，利用元素与集合关系即可判断A；“”表示元素与集合之间的关系即可判断B；是任何集合的子集即可判断C；判断与是否为包含关系即可判断D.
2．（2024高一上·朝阳月考）在上定义的运算，则满足的实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：根据给出在上定义运算
，
由得，解之得，
故该不等式的解集是．
故答案为：B.
【分析】根据新定义运算法化简不等式得到，再求解一元二次不等式即可得实数x的范围.
3．（2024高一上·朝阳月考）若，，则“”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：A、由，取，则，
由，取，则，
所以是的既不充分也不必要条件，故A错误；
B、由取，则，
由，取，则，
所以是的既不充分也不必要条件，故B错误；
C、由，取，则，
由，取，则，
所以是的既不充分也不必要条件，故C错误；
D、因为，所以，即，
当时，取，则，
所以是“”的一个充分不必要条件，故D正确.
故答案为：D.
【分析】取特殊值，结合充分、必要条件的定义逐项判断即可.
4．（2024高一上·朝阳月考）已知集合满足，则集合的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解：因为 集合满足 ，所以集合可以为：共3个.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据集合的子集、真子集的概念求解即可.
5．（2024高一上·朝阳月考）对于任意的，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式
【解析】【解答】解：由题得恒成立，
当时，得，故不能恒成立；
当时，二次函数开口向上，
显然不能恒成立；
当时，要使，
则或（舍）.
综上所述，.
故答案为：B.
【分析】由题意，分，，讨论不等式恒成立时的取值范围即可.
6．（2024高一上·朝阳月考）将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象与图象变化；分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：函数，
作出函数图象，如图所示：
将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图象为C图像.
故答案为：C.
【分析】将函数化为分段函数的形式，作出其大致图像，将其平移之后即可得到函数图象.
7．（2024高一上·朝阳月考）已知函数满足且，，则（1）（2）（3）=（ ）
A．0 B．1 C． D．5
【答案】A
【知识点】抽象函数及其应用；函数的值
【解析】【解答】解：函数满足且，，
令，则，解得，
令，则，
且，
则.
故答案为：A．
【分析】由题意，令，可得，再令，可得，再求值即可.
8．（2024高一上·朝阳月考）若存在正实数x，y满足于，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
9．（2024高一上·朝阳月考）若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、若，则，两边同时除以，则，故A错误；
B、因为，所以，故B正确；
C、因为，所以，即，故C正确；
D、因为，所以，所以，故D正确．
故答案为：BCD.
【分析】由题意，结合不等式的性质逐项判断即可．
10．（2024高一上·朝阳月考）下面命题正确的是（ ）
A．若且，则x，y至少有一个大于1
B．“，则”的否定是“，则”
C．已知，则的取值范围是
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】A,B,D
【知识点】逻辑联结词“非”；全称量词命题；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：A、该命题的否定为“若且，则都不大于1”，则，所以，所以该命题的否定为假命题，即原命题为真命题，故A正确；
B、命题“，则”的否定是“，则”，故B正确；
C、因为，所以，则，故C错误；
D、当时，不一定不为0，当时，一定有，
所以是的必要不充分条件，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据命题的否定和充分条件必要条件判断即可判断ABD；利用不等式的性质即可判断C.
11．（2024高一上·朝阳月考）下列选项中正确的有（ ）
A．已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为
B．与表示同一函数
C．函数的图象与直线的交点最多有1个
D．若函数，则5
【答案】A,C,D
【知识点】同一函数的判定；函数解析式的求解及常用方法；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、设函数，则，
即，解得或，故A正确；
B、函数定义域为，定义域为，定义域不同，则函数不是同一函数，故B错误；
C、当在的定义域内时，函数的图象与直线有一个交点，
当不在的定义域内时，函数的图象与直线没有交点，故C正确；
D、由解析式，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用待定系数法求解析式即可判断A；根据定义域不同即可判断B；根据函数的定义即可判断C；根据分段函数解析式求值即可判断D.
12．（2024高一上·朝阳月考）已知数集，则由实数a的值组成的集合为 ．
【答案】
【知识点】集合中元素的确定性、互异性、无序性；集合相等
【解析】【解答】解：若，则，此时，
故满足题意；
若，则，此时，这违背了集合中元素的互异性，故不满足题意；
若，则，，故满足题意；
故所求集合为.
故答案为：.
【分析】根据集合相等，让依次等于，得出相应的进行讨论求解即可.
13．（2024高一上·朝阳月考）已知函数，则函数的定义域为
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得，
若有意义，则，解得，
故函数的定义域为.
故答案为：.
【分析】根据函数有意义列不等式组求得函数的定义域，再根据有意义得，解方程求的定义域即可.
14．（2024高一上·朝阳月考）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，，所以，
，
当且仅当时等号成立，则此三角形面积的最大值为．
故答案为：．
【分析】由题意，先求，再由海伦-秦九韶公式用表示，再利用基本不等式求的最大值即可.
15．（2024高一上·朝阳月考）已知全集，集合，.
（1）求；；
（2）若集合，且，则实数的取值范围.
【答案】（1）解：由全集，，则或，
因为集合，所以，；
（2）解：由集合，且，则，
故实数的取值范围是.
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【分析】（1）根据已知条件，利用并集、补集、交集的定义求解即可；
（2）利用集合的包含关系，列式求解即可.
（1）由全集，，得或，而，
所以，.
（2）由集合，且，则，
所以实数的取值范围是.
16．（2024高一上·朝阳月考）（1）已知，求的最小值；
（2）已知，证明：.
【答案】解：（1）因为，则，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值是；
（2）因为，则，
因为，则，
所以.
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小；基本不等式
【解析】【分析】（1）由题意，利用基本不等式求的最小值即可；
（2）由已知，可得，，即可得到.
17．（2024高一上·朝阳月考）（1）已知（），求的解析式及值域.
（2）已知函数，求函数的解析式，定义域，值域.
【答案】解：（1）因为，所以，
可得，解得，，
又因为，当且仅当，即时等号成立，所以，
故的值域为；
（2）因为
，，
所以，定义域为，
又因为，对称轴为，
所以在上单调递增，所以，
即函数的值域为.
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；基本不等式
【解析】【分析】（1）利用解方程组法求函数的解析式，再利用基本不等式求值域即可；
（2）利用配凑法求出的解析式，并求定义域，值域即可.
18．（2024高一上·朝阳月考）（1）若命题p：，为真命题，求t的取值范围；
（2）已知集合、集合（）.若，求实数的取值范围.
【答案】解：（1）当时，，
即，由题意，，
故t的取值范围；
（2），，
因为，所以当时，即，时，满足题意；
当时，由可得或，解得，
综上，实数的取值范围或.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；存在量词命题
【解析】【分析】（1）根据存在性命题为真转化为求的最大值即可；
（2）分类讨论，分别列出不等式求解即可.
19．（2024高一上·朝阳月考）根据要求完成下列问题：
（1）已知命题：，命题：（），且命题q是命题p的必要不充分条件，求实数的取值范围.
（2）已知不等式的解集与关于的不等式（）的解集相同，若实数满足，求的最小值.
【答案】（1）解：由，可得，即，
所以，解得，
命题成立时的值的集合为，
不等式，即，由时，解得，
命题成立时的值的集合为，
因为命题是命题的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集，则有，
综上所述，实数的取值范围为；
（2）解：由得，解得，
又由得，其解集为，
所以和是方程的两根，
根据韦达定理得，所以，
所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；必要条件；基本不等式
【解析】【分析】（1）先求出命题中不等式的解集，再根据命题是命题的必要不充分条件，结合子集包含关系求解即可；
（2）先解，再根据二次不等式与二次方程关系，结合韦达定理，得到，再用乘1法，结合结合基本不等式求解即可.
（1）由，可得，即，
所以，解得，
命题成立时的值的集合为，
不等式，即，由时，解得，
命题成立时的值的集合为，
因为命题是命题的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集，则有，
综上所述，实数的取值范围为；
（2）由得，解得，
又由得，其解集为，
所以和是方程的两根，
根据韦达定理得，所以，
所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
1 / 1吉林省长春市第十七中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题
1．（2024高一上·朝阳月考）已知集合，下列式子错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·朝阳月考）在上定义的运算，则满足的实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高一上·朝阳月考）若，，则“”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一上·朝阳月考）已知集合满足，则集合的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2024高一上·朝阳月考）对于任意的，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一上·朝阳月考）将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图像为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高一上·朝阳月考）已知函数满足且，，则（1）（2）（3）=（ ）
A．0 B．1 C． D．5
8．（2024高一上·朝阳月考）若存在正实数x，y满足于，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024高一上·朝阳月考）若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高一上·朝阳月考）下面命题正确的是（ ）
A．若且，则x，y至少有一个大于1
B．“，则”的否定是“，则”
C．已知，则的取值范围是
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
11．（2024高一上·朝阳月考）下列选项中正确的有（ ）
A．已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为
B．与表示同一函数
C．函数的图象与直线的交点最多有1个
D．若函数，则5
12．（2024高一上·朝阳月考）已知数集，则由实数a的值组成的集合为 ．
13．（2024高一上·朝阳月考）已知函数，则函数的定义域为
14．（2024高一上·朝阳月考）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为 ．
15．（2024高一上·朝阳月考）已知全集，集合，.
（1）求；；
（2）若集合，且，则实数的取值范围.
16．（2024高一上·朝阳月考）（1）已知，求的最小值；
（2）已知，证明：.
17．（2024高一上·朝阳月考）（1）已知（），求的解析式及值域.
（2）已知函数，求函数的解析式，定义域，值域.
18．（2024高一上·朝阳月考）（1）若命题p：，为真命题，求t的取值范围；
（2）已知集合、集合（）.若，求实数的取值范围.
19．（2024高一上·朝阳月考）根据要求完成下列问题：
（1）已知命题：，命题：（），且命题q是命题p的必要不充分条件，求实数的取值范围.
（2）已知不等式的解集与关于的不等式（）的解集相同，若实数满足，求的最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断；空集
【解析】【解答】解：易知集合，
则，
与是两个集合，不能用“”表示它们之间的关系.
故答案为：B.
【分析】先求出集合A，利用元素与集合关系即可判断A；“”表示元素与集合之间的关系即可判断B；是任何集合的子集即可判断C；判断与是否为包含关系即可判断D.
2．【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：根据给出在上定义运算
，
由得，解之得，
故该不等式的解集是．
故答案为：B.
【分析】根据新定义运算法化简不等式得到，再求解一元二次不等式即可得实数x的范围.
3．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：A、由，取，则，
由，取，则，
所以是的既不充分也不必要条件，故A错误；
B、由取，则，
由，取，则，
所以是的既不充分也不必要条件，故B错误；
C、由，取，则，
由，取，则，
所以是的既不充分也不必要条件，故C错误；
D、因为，所以，即，
当时，取，则，
所以是“”的一个充分不必要条件，故D正确.
故答案为：D.
【分析】取特殊值，结合充分、必要条件的定义逐项判断即可.
4．【答案】C
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解：因为 集合满足 ，所以集合可以为：共3个.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据集合的子集、真子集的概念求解即可.
5．【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式
【解析】【解答】解：由题得恒成立，
当时，得，故不能恒成立；
当时，二次函数开口向上，
显然不能恒成立；
当时，要使，
则或（舍）.
综上所述，.
故答案为：B.
【分析】由题意，分，，讨论不等式恒成立时的取值范围即可.
6．【答案】C
【知识点】函数的图象与图象变化；分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：函数，
作出函数图象，如图所示：
将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图象为C图像.
故答案为：C.
【分析】将函数化为分段函数的形式，作出其大致图像，将其平移之后即可得到函数图象.
7．【答案】A
【知识点】抽象函数及其应用；函数的值
【解析】【解答】解：函数满足且，，
令，则，解得，
令，则，
且，
则.
故答案为：A．
【分析】由题意，令，可得，再令，可得，再求值即可.
8．【答案】D
9．【答案】B,C,D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、若，则，两边同时除以，则，故A错误；
B、因为，所以，故B正确；
C、因为，所以，即，故C正确；
D、因为，所以，所以，故D正确．
故答案为：BCD.
【分析】由题意，结合不等式的性质逐项判断即可．
10．【答案】A,B,D
【知识点】逻辑联结词“非”；全称量词命题；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：A、该命题的否定为“若且，则都不大于1”，则，所以，所以该命题的否定为假命题，即原命题为真命题，故A正确；
B、命题“，则”的否定是“，则”，故B正确；
C、因为，所以，则，故C错误；
D、当时，不一定不为0，当时，一定有，
所以是的必要不充分条件，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据命题的否定和充分条件必要条件判断即可判断ABD；利用不等式的性质即可判断C.
11．【答案】A,C,D
【知识点】同一函数的判定；函数解析式的求解及常用方法；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、设函数，则，
即，解得或，故A正确；
B、函数定义域为，定义域为，定义域不同，则函数不是同一函数，故B错误；
C、当在的定义域内时，函数的图象与直线有一个交点，
当不在的定义域内时，函数的图象与直线没有交点，故C正确；
D、由解析式，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用待定系数法求解析式即可判断A；根据定义域不同即可判断B；根据函数的定义即可判断C；根据分段函数解析式求值即可判断D.
12．【答案】
【知识点】集合中元素的确定性、互异性、无序性；集合相等
【解析】【解答】解：若，则，此时，
故满足题意；
若，则，此时，这违背了集合中元素的互异性，故不满足题意；
若，则，，故满足题意；
故所求集合为.
故答案为：.
【分析】根据集合相等，让依次等于，得出相应的进行讨论求解即可.
13．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得，
若有意义，则，解得，
故函数的定义域为.
故答案为：.
【分析】根据函数有意义列不等式组求得函数的定义域，再根据有意义得，解方程求的定义域即可.
14．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，，所以，
，
当且仅当时等号成立，则此三角形面积的最大值为．
故答案为：．
【分析】由题意，先求，再由海伦-秦九韶公式用表示，再利用基本不等式求的最大值即可.
15．【答案】（1）解：由全集，，则或，
因为集合，所以，；
（2）解：由集合，且，则，
故实数的取值范围是.
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【分析】（1）根据已知条件，利用并集、补集、交集的定义求解即可；
（2）利用集合的包含关系，列式求解即可.
（1）由全集，，得或，而，
所以，.
（2）由集合，且，则，
所以实数的取值范围是.
16．【答案】解：（1）因为，则，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值是；
（2）因为，则，
因为，则，
所以.
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小；基本不等式
【解析】【分析】（1）由题意，利用基本不等式求的最小值即可；
（2）由已知，可得，，即可得到.
17．【答案】解：（1）因为，所以，
可得，解得，，
又因为，当且仅当，即时等号成立，所以，
故的值域为；
（2）因为
，，
所以，定义域为，
又因为，对称轴为，
所以在上单调递增，所以，
即函数的值域为.
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；基本不等式
【解析】【分析】（1）利用解方程组法求函数的解析式，再利用基本不等式求值域即可；
（2）利用配凑法求出的解析式，并求定义域，值域即可.
18．【答案】解：（1）当时，，
即，由题意，，
故t的取值范围；
（2），，
因为，所以当时，即，时，满足题意；
当时，由可得或，解得，
综上，实数的取值范围或.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；存在量词命题
【解析】【分析】（1）根据存在性命题为真转化为求的最大值即可；
（2）分类讨论，分别列出不等式求解即可.
19．【答案】（1）解：由，可得，即，
所以，解得，
命题成立时的值的集合为，
不等式，即，由时，解得，
命题成立时的值的集合为，
因为命题是命题的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集，则有，
综上所述，实数的取值范围为；
（2）解：由得，解得，
又由得，其解集为，
所以和是方程的两根，
根据韦达定理得，所以，
所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；必要条件；基本不等式
【解析】【分析】（1）先求出命题中不等式的解集，再根据命题是命题的必要不充分条件，结合子集包含关系求解即可；
（2）先解，再根据二次不等式与二次方程关系，结合韦达定理，得到，再用乘1法，结合结合基本不等式求解即可.
（1）由，可得，即，
所以，解得，
命题成立时的值的集合为，
不等式，即，由时，解得，
命题成立时的值的集合为，
因为命题是命题的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集，则有，
综上所述，实数的取值范围为；
（2）由得，解得，
又由得，其解集为，
所以和是方程的两根，
根据韦达定理得，所以，
所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
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