广东省“八校联盟”2024-2025学年高一上学期期中教学质量检测数学试题(一)
1．（2024高一上·广东期中）设全集，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：，，，
，，。
故答案为：B。
【分析】求出全集，求出和，再求交集即可得解。
2．（2024高一上·广东期中）若，则下列命题正确的是 （ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、当，时满足，但是，故A错误；
B、当，时满足，但是，故B错误；
C、当，时满足，但是，故C错误；
D、若，则，，则，故D正确。
故答案为：D。
【分析】利用特殊值举反例可判断ABC，根据不等式的性质可判断D。
3．（2024高一上·广东期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．集合与集合是相同的集合
C．任意一个三角形，它的内角和大于或等于
D．所有的素数都是奇数
【答案】C
【知识点】集合间关系的判断；逻辑联结词“或”；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：A、当时，，故A错误；
B、，，，故B错误；
C、任意一个三角形的内角和都等于，故C正确；
D、是素数但不是奇数，故D错误。
故答案为：C。
【分析】举反例可判断A；化简两集合可判断B；根据三角形的内角和都等于可判断C；2是素数但不是奇数判断D。
4．（2024高一上·广东期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】充要条件；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为 有两个异号实根 ，
所以由韦达定理可得，解得。
故答案为：A。
【分析】根据根的情况以及韦达定理列出不等式组，求解即可。
5．（2024高一上·广东期中）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
6．（2024高一上·广东期中）幂函数的图象经过点，则是（ ）
A．偶函数，且在上是减函数
B．偶函数，且在上是增函数
C．奇函数，且在上是减函数
D．非奇非偶函数，且在上是增函数
【答案】B
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：设幂函数，由 经过点 ，得，，所以，
因为的定义域为R，且，所以，是偶函数，
开口向上，对称轴为y轴，在上递增，故B正确。
故答案为：B。
【分析】根据已知条件求出幂函数的解析式，再根据幂函数的性质判断奇偶性和单调性即可。
7．（2024高一上·广东期中）的定义域为，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；基本不等式
【解析】【解答】解：由，得，联立消去，得，
因为的定义域为 ，所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以取得最小值。
故答案为：A。
【分析】利用解方程组法求解析式，再根据本不等式求出最小值即可。
8．（2024高一上·广东期中）已知，对于，且，则称为的“孤立元”．给定集合，则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（ ）
A．5 B．7 C．13 D．15
【答案】C
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解：，
“孤立元”为1的集合有，，，；
“孤立元”为2的集合有，；
“孤立元”为3的集合有；
“孤立元”为4的集合有，；
“孤立元”为5的集合有，，，；
所以只有一个“孤立元”的集合有13个。
故答案为：C。
【分析】根据“孤立元”的概念，分情况讨论即可。
9．（2024高一上·广东期中）下列各组函数中是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】B,C,D
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：A、的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故A错误；
B、，，定义域均为，对应关系相同，是同一函数，故B正确；
C、，，定义域均为，对应关系相同，是同一函数，故C正确；
D、与，定义域都为，对应关系相同，是同一函数，故D正确。
故答案为：BCD。
【分析】函数的三要素都一样才是同一函数，逐项判断即可。
10．（2024高一上·广东期中）已知函数，，则下列说法中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数 C． D．
【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：易知的定义域为，
关于原点对称，且，所以为偶函数，
，。
故答案为：AC。
【分析】利用奇偶性的定义判断奇偶性，并求出，逐项判断即可。
11．（2024高一上·广东期中）设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．a＋b＋≥2 B．≥
C．≥a＋b D．(a＋b)≥4
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：A、因为a>0，b>0，所以a＋b＋≥2＋≥2，
当且仅当a＝b且2＝即a＝b＝时取等号，故A正确；
B、若≥ 成立，则≥1，则，显然不一定成立，
所以≥不一定成立，故B错误；
C、≤＝，当且仅当a＝b时取等号，
所以＝＝a＋b－≥2－，当且仅当a＝b时取等号，
所以≥，所以≥a＋b，故C正确；
D、由基本不等式可得(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b时等号成立，故D正确。
故答案为：ACD。
【分析】利用基本不等式逐项判断即可。
12．（2024高一上·广东期中）请写出命题“，”的否定： ．
【答案】
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：由存在量词命题的否定是全称量词命题可知
“，”的否定是。
故答案为：。
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得解。
13．（2024高一上·广东期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：对于，，，
中和中范围相同，
所以对于，，解得，所以函数的定义域为。
故答案为：。
【分析】抽象函数求定义域，由中和中范围一致，即可得解。
14．（2024高一上·广东期中）已知集合 、集合 ，命题 ，命题 ，若命题p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 .
【答案】[-2,1]
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】集合 ，
集合 ，
因为命题 是 的必要不充分条件，
所以 ，得 ，解得 ，所以答案为 .
【分析】解分式不等式要先移项使一边为0，然后通分，接着根据分子与分母同号（或异号），转化为分子与分母的积大于0（或小于0），化为一元二次不等式找出解集．因为p是q的必要不充分条件，所以B是A的子集，根据集合的包含的关系，列出不等式后，解不等式确定参数 的取值范围是．
15．（2024高一上·广东期中）已知全集，集合，．
（1）当时，求，；
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）解：或，
当时，，
，，。
（2）解：因为，所以，
又，所以或，解得或，
所以的取值范围为或。
【知识点】集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求出集合，再求集合B，即可求出，；
（2）由可得，列出不等式求解即可。
（1）由题意可得或，当时，，
故；，故．
（2）因为，所以，
又，则或，解得或，
即的取值范围为或.
16．（2024高一上·广东期中）已知函数满足
（1）求的解析式；
（2）求函数在上的值域．
【答案】（1）解：由①，得②，
由①②解得。
（2）解：，
因为的图象为一条开口向上的抛物线，对称轴为，所以函数在上单调递增，
所以，，
所以在上的值域为。
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数的单调性及单调区间
【解析】【分析】（1）利用解方程组法求解析式即可；
（2）由（1）知，结合二次函数的性质判断单调性求最值即可。
（1）由①，得②，
由②①得，解得．
（2）由题意可得，
因为的图象为一条开口向上的抛物线，对称轴为，
所以函数在上单调递增，
所以，，
所以函数在上的值域为．
17．（2024高一上·广东期中）某游乐场需要修建一间背面靠围墙的矩形母婴室，地面面积为5平方米，地面费用总价为五千元．现需要对母婴室外墙正面和屋顶进行带有游乐场主题特色的装修，因此外墙正面每平方米造价为1500元，屋顶造价一万元；母婴室外墙侧面普通装修即可，每平方米造价600元；母婴室墙高3米，不计母婴室背面费用．
（1）若游乐场母婴室正面长设为x米，请用x表示该游乐场母婴室的总造价元
（2）如何设计能使得该游乐场母婴室的总造价最低？最低总造价为多少？
【答案】（1）解：母婴室底面长为x米，宽为米，因为 地面面积为5平方米 所以，如图所示，
母婴室的总造价。
（2）解：由得，
当且仅当即时，取等号，
所以当该游乐场母婴室的底面长宽分别为，时总造价最低，最低总造价为元。
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式
【解析】【分析】（1） 由地面面积为5平方米 知，求解即可；
（2）由得，利用基本不等式即可求出 该游乐场母婴室的最低总造价。
（1）如图所示，根据题意，母婴室底面长为x米，宽为米，则，
该游乐场母婴室的总造价
（2）由得，
当且仅当即时，等号成立，
所以当该游乐场母婴室的底面长宽分别为，时总造价最低，最低总造价为元.
18．（2024高一上·广东期中）已知函数．
（1）当时，判断函数的单调性并证明；
（2）若不等式成立，求实数x的取值范围．
【答案】（1）解：在上单调递增，理由如下：
任取，，且，
。
因为，所以，，，
所以，即，，
所以在上递增。
（2）解：因为，，
由（1）知在上递增，
因为，所以，
即，解得或，
所以x的范围是。
【知识点】函数单调性的判断与证明；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义，按照取值、作差、变形、定号、下结论的步骤证明即可；
（2）利用函数单调性脱去f得到，求解即可。
（1）在上单调递增，理由如下：
任取，，且，
．
因为，所以，，，
所以，即，可得，
所以在上单调递增．
（2）因为，，
由（1）得在上单调递增，
因为，所以，
即，解得：或，
所以实数x的取值范围是.
19．（2024高一上·广东期中）定义：已知集合，，，则称为“有界恒正不等式”.
（1）当时，判断是否为“有界恒正不等式”；
（2）设为“有界恒正不等式”，求的取值范围.
【答案】解：（1），，由解得或，设或，
因为所以当时，是“有界恒正不等式”.
（2）设解集为，则，
由题意可得
当时，，由，得，满足所以符合题意。
当时，由，得.
，即时，，
又的解集为，满足所以符合题意。
当，即时，
的解集或，
因为所以或，解得或。
因为所以。
当.即时，
的解集为或，
因为所以或，解得或
所以。
综上，的范围是或。
【知识点】集合间关系的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）当时，，解得解集，根据可知是否为“有界恒正不等式” ；
（2）分a=0，两种情况讨论，求出的解集，根据列式求解即可。
1 / 1广东省“八校联盟”2024-2025学年高一上学期期中教学质量检测数学试题(一)
1．（2024高一上·广东期中）设全集，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·广东期中）若，则下列命题正确的是 （ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．（2024高一上·广东期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．集合与集合是相同的集合
C．任意一个三角形，它的内角和大于或等于
D．所有的素数都是奇数
4．（2024高一上·广东期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一上·广东期中）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高一上·广东期中）幂函数的图象经过点，则是（ ）
A．偶函数，且在上是减函数
B．偶函数，且在上是增函数
C．奇函数，且在上是减函数
D．非奇非偶函数，且在上是增函数
7．（2024高一上·广东期中）的定义域为，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一上·广东期中）已知，对于，且，则称为的“孤立元”．给定集合，则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（ ）
A．5 B．7 C．13 D．15
9．（2024高一上·广东期中）下列各组函数中是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
10．（2024高一上·广东期中）已知函数，，则下列说法中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数 C． D．
11．（2024高一上·广东期中）设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．a＋b＋≥2 B．≥
C．≥a＋b D．(a＋b)≥4
12．（2024高一上·广东期中）请写出命题“，”的否定： ．
13．（2024高一上·广东期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
14．（2024高一上·广东期中）已知集合 、集合 ，命题 ，命题 ，若命题p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 .
15．（2024高一上·广东期中）已知全集，集合，．
（1）当时，求，；
（2）若，求a的取值范围．
16．（2024高一上·广东期中）已知函数满足
（1）求的解析式；
（2）求函数在上的值域．
17．（2024高一上·广东期中）某游乐场需要修建一间背面靠围墙的矩形母婴室，地面面积为5平方米，地面费用总价为五千元．现需要对母婴室外墙正面和屋顶进行带有游乐场主题特色的装修，因此外墙正面每平方米造价为1500元，屋顶造价一万元；母婴室外墙侧面普通装修即可，每平方米造价600元；母婴室墙高3米，不计母婴室背面费用．
（1）若游乐场母婴室正面长设为x米，请用x表示该游乐场母婴室的总造价元
（2）如何设计能使得该游乐场母婴室的总造价最低？最低总造价为多少？
18．（2024高一上·广东期中）已知函数．
（1）当时，判断函数的单调性并证明；
（2）若不等式成立，求实数x的取值范围．
19．（2024高一上·广东期中）定义：已知集合，，，则称为“有界恒正不等式”.
（1）当时，判断是否为“有界恒正不等式”；
（2）设为“有界恒正不等式”，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：，，，
，，。
故答案为：B。
【分析】求出全集，求出和，再求交集即可得解。
2．【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、当，时满足，但是，故A错误；
B、当，时满足，但是，故B错误；
C、当，时满足，但是，故C错误；
D、若，则，，则，故D正确。
故答案为：D。
【分析】利用特殊值举反例可判断ABC，根据不等式的性质可判断D。
3．【答案】C
【知识点】集合间关系的判断；逻辑联结词“或”；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：A、当时，，故A错误；
B、，，，故B错误；
C、任意一个三角形的内角和都等于，故C正确；
D、是素数但不是奇数，故D错误。
故答案为：C。
【分析】举反例可判断A；化简两集合可判断B；根据三角形的内角和都等于可判断C；2是素数但不是奇数判断D。
4．【答案】A
【知识点】充要条件；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为 有两个异号实根 ，
所以由韦达定理可得，解得。
故答案为：A。
【分析】根据根的情况以及韦达定理列出不等式组，求解即可。
5．【答案】A
6．【答案】B
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：设幂函数，由 经过点 ，得，，所以，
因为的定义域为R，且，所以，是偶函数，
开口向上，对称轴为y轴，在上递增，故B正确。
故答案为：B。
【分析】根据已知条件求出幂函数的解析式，再根据幂函数的性质判断奇偶性和单调性即可。
7．【答案】A
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；基本不等式
【解析】【解答】解：由，得，联立消去，得，
因为的定义域为 ，所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以取得最小值。
故答案为：A。
【分析】利用解方程组法求解析式，再根据本不等式求出最小值即可。
8．【答案】C
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解：，
“孤立元”为1的集合有，，，；
“孤立元”为2的集合有，；
“孤立元”为3的集合有；
“孤立元”为4的集合有，；
“孤立元”为5的集合有，，，；
所以只有一个“孤立元”的集合有13个。
故答案为：C。
【分析】根据“孤立元”的概念，分情况讨论即可。
9．【答案】B,C,D
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：A、的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故A错误；
B、，，定义域均为，对应关系相同，是同一函数，故B正确；
C、，，定义域均为，对应关系相同，是同一函数，故C正确；
D、与，定义域都为，对应关系相同，是同一函数，故D正确。
故答案为：BCD。
【分析】函数的三要素都一样才是同一函数，逐项判断即可。
10．【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：易知的定义域为，
关于原点对称，且，所以为偶函数，
，。
故答案为：AC。
【分析】利用奇偶性的定义判断奇偶性，并求出，逐项判断即可。
11．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：A、因为a>0，b>0，所以a＋b＋≥2＋≥2，
当且仅当a＝b且2＝即a＝b＝时取等号，故A正确；
B、若≥ 成立，则≥1，则，显然不一定成立，
所以≥不一定成立，故B错误；
C、≤＝，当且仅当a＝b时取等号，
所以＝＝a＋b－≥2－，当且仅当a＝b时取等号，
所以≥，所以≥a＋b，故C正确；
D、由基本不等式可得(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b时等号成立，故D正确。
故答案为：ACD。
【分析】利用基本不等式逐项判断即可。
12．【答案】
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：由存在量词命题的否定是全称量词命题可知
“，”的否定是。
故答案为：。
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得解。
13．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：对于，，，
中和中范围相同，
所以对于，，解得，所以函数的定义域为。
故答案为：。
【分析】抽象函数求定义域，由中和中范围一致，即可得解。
14．【答案】[-2,1]
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】集合 ，
集合 ，
因为命题 是 的必要不充分条件，
所以 ，得 ，解得 ，所以答案为 .
【分析】解分式不等式要先移项使一边为0，然后通分，接着根据分子与分母同号（或异号），转化为分子与分母的积大于0（或小于0），化为一元二次不等式找出解集．因为p是q的必要不充分条件，所以B是A的子集，根据集合的包含的关系，列出不等式后，解不等式确定参数 的取值范围是．
15．【答案】（1）解：或，
当时，，
，，。
（2）解：因为，所以，
又，所以或，解得或，
所以的取值范围为或。
【知识点】集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求出集合，再求集合B，即可求出，；
（2）由可得，列出不等式求解即可。
（1）由题意可得或，当时，，
故；，故．
（2）因为，所以，
又，则或，解得或，
即的取值范围为或.
16．【答案】（1）解：由①，得②，
由①②解得。
（2）解：，
因为的图象为一条开口向上的抛物线，对称轴为，所以函数在上单调递增，
所以，，
所以在上的值域为。
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数的单调性及单调区间
【解析】【分析】（1）利用解方程组法求解析式即可；
（2）由（1）知，结合二次函数的性质判断单调性求最值即可。
（1）由①，得②，
由②①得，解得．
（2）由题意可得，
因为的图象为一条开口向上的抛物线，对称轴为，
所以函数在上单调递增，
所以，，
所以函数在上的值域为．
17．【答案】（1）解：母婴室底面长为x米，宽为米，因为 地面面积为5平方米 所以，如图所示，
母婴室的总造价。
（2）解：由得，
当且仅当即时，取等号，
所以当该游乐场母婴室的底面长宽分别为，时总造价最低，最低总造价为元。
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式
【解析】【分析】（1） 由地面面积为5平方米 知，求解即可；
（2）由得，利用基本不等式即可求出 该游乐场母婴室的最低总造价。
（1）如图所示，根据题意，母婴室底面长为x米，宽为米，则，
该游乐场母婴室的总造价
（2）由得，
当且仅当即时，等号成立，
所以当该游乐场母婴室的底面长宽分别为，时总造价最低，最低总造价为元.
18．【答案】（1）解：在上单调递增，理由如下：
任取，，且，
。
因为，所以，，，
所以，即，，
所以在上递增。
（2）解：因为，，
由（1）知在上递增，
因为，所以，
即，解得或，
所以x的范围是。
【知识点】函数单调性的判断与证明；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义，按照取值、作差、变形、定号、下结论的步骤证明即可；
（2）利用函数单调性脱去f得到，求解即可。
（1）在上单调递增，理由如下：
任取，，且，
．
因为，所以，，，
所以，即，可得，
所以在上单调递增．
（2）因为，，
由（1）得在上单调递增，
因为，所以，
即，解得：或，
所以实数x的取值范围是.
19．【答案】解：（1），，由解得或，设或，
因为所以当时，是“有界恒正不等式”.
（2）设解集为，则，
由题意可得
当时，，由，得，满足所以符合题意。
当时，由，得.
，即时，，
又的解集为，满足所以符合题意。
当，即时，
的解集或，
因为所以或，解得或。
因为所以。
当.即时，
的解集为或，
因为所以或，解得或
所以。
综上，的范围是或。
【知识点】集合间关系的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）当时，，解得解集，根据可知是否为“有界恒正不等式” ；
（2）分a=0，两种情况讨论，求出的解集，根据列式求解即可。
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