广西桂林市2024-2025学年高一上学期12月联合检测数学试卷
1．（2024高一上·桂林月考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·桂林月考）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一上·桂林月考）清朝末年，面对清政府的腐朽没落，梁启超在《少年中国说》中喊出“少年智则国智，少年富则国富，少年强则国强”的口号．其中“国强”是“少年强”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024高一上·桂林月考）函数 的零点一定位于下列哪个区间（ ）.
A． B． C． D．
5．（2024高一上·桂林月考）下面命题正确的是（ ）
A．已知，则“”是“”的充要条件
B．命题“，”的否定是“ ，”
C．已知，则“ ”是“”的既不充分也不必要条件
D．已知，则 是 “”的必要不充分条件
6．（2024高一上·桂林月考）某学校科技创新小组准备模拟东风31弹道导弹的发射过程，假设该小组采用的飞行器的飞行高度（单位：米）与飞行时间（单位：秒）之间的关系可以近似用函数来表示.已知飞行器发射后经过2秒时的高度为10米，经过6秒时的高度为30米，欲达到50米的高度，需要（ ）秒.
A．15 B．16 C．18 D．20
7．（2024高一上·桂林月考）函数的部分图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高一上·桂林月考）制作一个面积为1且形状为直角三角形的铁支架，则较经济（够用，又耗材最少）的铁管长度为（ ）
A．4.6m B．4.8m C．5m D．5.2m
9．（2024高一上·桂林月考）已知3是函数的一个零点，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高一上·桂林月考）关于函数，正确的说法是（ ）
A．有且仅有一个零点 B．的定义域为
C．在单调递增 D．的图象关于点对称
11．（2024高一上·桂林月考）已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，，.下列说法正确的是（ ）
A．3是函数的一个周期
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称
D．
12．（2024高一上·桂林月考）已知函数，则 .
13．（2024高一上·桂林月考）已知函数是奇函数，则 .
14．（2024高一上·桂林月考）不等式 的解集为R，则实数m的取值范围为 .
15．（2024高一上·桂林月考）已知集合
（1）若，求；
（2）若是的充分条件，求实数a的取值范围.
16．（2024高一上·桂林月考）计算：
（1）
（2）
（3）已知，用a，b表示．
17．（2024高一上·桂林月考）若函数为上的奇函数，且当时，．
（1）求在R的解析式；
（2）若，，试讨论取何值时有两个零点？a取何值时有四个零点？
18．（2024高一上·桂林月考）某国产车企在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场．已知该车型年固定研发成本为20亿元，受到场地和产能等其它因素的影响，该公司一年内生产该车万台（）且全部售完，每台售价20万元，每年需投入的其它成本为（单位：亿元）．（其中，利润＝销售收入－总成本）
（1）写出年利润（亿元）关于年产量（万台）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润；
（3）若该企业当年不亏本，求年产量（万台）的取值范围．
19．（2024高一上·桂林月考）已知函数 对一切实数 ，都有 成立，且 ， .
（1）求 的值；
（2）求 的解析式；
（3）若关于x的方程 有三个不同的实数解，求实数k的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：不等式，，解得，
则集合，因为集合，
所以.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据分式的性质，结合一元二次不等式的解法求得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 ，
，
，
．
故答案为：C.
【分析】利用对数函数、指数函数的单调性与“0，1”比较即可.
3．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：国强不一定少年强，少年强则国强，则“国强”是“少年强”的必要条件.
故答案为：B.
【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可.
4．【答案】C
【知识点】函数零点存在定理；函数的零点
【解析】【解答】因为函数 的图象连续不断，且 ，
， ，
，
根据零点存在性定理可知函数 的零点一定位于区间 内.
故答案为：C
【分析】根据题意由函数图象的性质结合零点存在定理，即可得出答案。
5．【答案】D
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：A、当时，成立，但不成立，故A不正确；
B、命题“，”的否定是“，，故B不正确；
C、当时，显然成立，但是不成立，
当时，显然，故C不正确；
D、当时，显然成立，但是没有意义，
由，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据充分性、必要性的定义，结合命题的否定判断即可.
6．【答案】C
【知识点】“对数增长”模型
【解析】【解答】解：由题意可得：，
解得：，
设达到50米的高度需要秒，
，
解得：，
所以达到50米的高度需要秒.
故答案为：C.
【分析】由题意列出关于a，b的方程，从而解方程组得出a，b的值，再结合已知条件，设达到50米的高度需要秒，从而列出关于x的方程，则解方程得出x的值，进而得出达到50米的高度需要的时间.
7．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法；奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】解：易知函数定义域为，排除A；
因为，
所以函数图象关于直线对称，排除A、D；
由，排除B.
故答案为：C.
【分析】求函数的定义域即可排除A；利用判断函数对称性即可判断D；再代入特殊点，计算即可判断B.
8．【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：设一条直角边为，因为直角三角形的面积为1，所以另一条直角边为，
所以斜边长为，
则周长为，
当且仅当且，即时等号成立，
故较经济（够用，又耗材最少）的铁管长度为5m.
故答案为：C.
【分析】设一条直角边为，根据直角三角形面积结合勾股定理求出另外两条边，再利用基本不等式求周长最小值即可.
9．【答案】B,D
【知识点】对数的性质与运算法则；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解： 3是函数的一个零点， 显然时，，
当时，代入函数可得，解得，
则，，故.
故答案为：BD.
【分析】由题意，可得，求得，再求出判断即可.
10．【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇偶函数图象的对称性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、令，解得，则有且仅有一个零点，故A正确；
B、易知函数的定义域为，故B正确；
C、，则函数在和上递减，故C错误；
D、设点是函数图象上的任意一点，则，且关于的对称点为，而，
，则点在函数的图象上，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意，令求解即可判断A；再函数的定义域即可判断B；分离常数求函数的单调区间即可判断C；求函数的对称点即可判断D.
11．【答案】A,C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；抽象函数及其应用；函数的周期性
【解析】【解答】解：对于A：因为 ， 即，
则，所以 3是函数的一个周期 ，故A正确；
对于BC：因为 为奇函数， 则，
所以 函数的图象关于点对称 ，故B错误，C正确；
对于D：因为，则，
又因为，即，
可得，所以 函数 是偶函数，
则，
即
所以 ，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】对于A：根据周期性的定义分析判断；对于BC：根据对称性的定义分析判断；对于D：根据题意可得 是偶函数，可得，结合周期性运算求解.
12．【答案】
【知识点】函数的值；有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：函数，
则．
故答案为：－1
【分析】根据分段函数的定义域，分别求、的值，代入求值即可.
13．【答案】1
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】由题知，的定义域为R，因为是奇函数，所以，
所以，
所以，
所以恒成立
所以.
故答案为：1.
【分析】由已知得恒成立，代入即可求解出a的值.
14．【答案】0≤m＜4
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】当 时，不等式显然恒成立，即 ，满足条件。
当 时，为二次函数，要恒大于零只有开口向上， 。
所以 ，
即
综上所述：
【分析】通过分析m等不等0，区分是一次函数还是二次函数；当 时是二次函数要恒大于零只有开口向上， 。
15．【答案】解：（1），
当时，，
则；
（2）因为，所以
又因为是的充分条件，所以，所以，解得，
即实数a的取值范围是.
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求得集合P，将代入求得集合Q，再根据集合的交集运算求解即可；
（2）由题意，可得，列不等式组求参数范围即可.
16．【答案】解：（1）；
（2）；
（3）因为，所以，，
，则.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）根据有理指数幂运算性质求解即可；
（2）根据对数函数的运算性质求解即可；
（3）由题意，利用指数、对数互化求得，，再根据对数运算性质求解即可.
17．【答案】解：（1）因为函数为上的奇函数，所以，
当时，可得，则，
综上所述，函数的解析式为；
（2）由函数，令，可得，
作出函数与直线的图象，如图所示：
数形结合可得：当或时，函数有2个零点；
当或时，函数有4个零点；
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）根据函数为奇函数，可得，再根据函数的奇偶性，得，求函数的解析式即可；
（2）令，可得，作出函数与直线的图象，数形结合求解即可.
18．【答案】（1）解：当时，销售收入为亿元（每台售价万元，万台），
总成本为固定研发成本亿元加上其他成本亿元，
根据利润=销售收入-总成本，可，
当时，销售收入为亿元，总成本为亿元，
则，
所以；
（2）解：当时，，图象开口向下，对称轴为，
但，所以在这个区间上函数单调递增，所以亿元，
当时，，当且仅当，即时等号成立，
则亿元，
因为，所以当年产量为万台时，该企业获利最大，最大年利润为亿元；
（3）解：当时，，即，解得，
结合，知道此时满足题意，
当时，，即，
即，令，对称轴，
当时，单调递减，且时，，
则当，恒成立，即恒成立，
综上所得，该企业当年不亏本，则年产量（万台）的取值范围为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；基本不等式；二次函数模型
【解析】【分析】（1）根据利润的计算公式，分别对不同的产量范围求出利润函数的表达式；
（2）利用二次函数的性质以及基本不等式分别求函数的最大值，比较得出整个定义域上的最大利润即可；
（3）对于不亏本的情况，即利润大于等于，分别在不同分段上求解不等式得出产量的取值范围即可.
（1）当时，销售收入为亿元（每台售价万元，万台），总成本为固定研发成本亿元加上其他成本亿元.
根据利润=销售收入-总成本，可.
当时，销售收入为亿元，总成本为亿元.
则.
所以.
（2）当时，，图象开口向下，对称轴为.
但，所以在这个区间上函数单调递增，所以亿元.
当时，根据基本不等式，有.
所以亿元，当且仅当，即取等号.
因为，所以当年产量为万台时，该企业获利最大，最大年利润为亿元.
（3）当时，，即，解得.
结合，知道此时满足题意.
当时，，即，
即，令，对称轴，
当时，单调递减，且时，.
则当，恒成立，即恒成立.
综上所得，该企业当年不亏本，则年产量（万台）的取值范围为.
19．【答案】（1）在 中，
令 ，得 ，又 ，所以 .
（2）在 中，
令 ，得 ，得 ，
所以
（3）令 ，则 ，
则函数 的图象如图：
方程 化为 ，即 ，即 ，
因为方程 有三个不同的实数解，由函数 的图象可知，
方程 有两个不等实根 ，不妨设 ，则 ， ，
令 ，
则 ，此时解得 ，或 ，此时无解，
综上所述：实数k的取值范围是 .
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件函数 对一切实数 ，都有 成立，且 ，从而结合赋值法求出函数值。
（2） 在 中结合赋值法结合已知条件求出函数 的解析式 。
（3） 令 ，则 ， 再利用绝对值的定义将函数转化为分段函数，再利用分段函数的解析式画出分段函数的图象，将方程 化为 ，即 ，因为方程 有三个不同的实数解，再由函数 的图象可知，方程 有两个不等实根 ，不妨设 ，则 ， ，令 ，再结合零点存在性定理和根与系数的关系，再利用函数的零点与方程的根的等价关系，从而求出实数k的取值范围。
1 / 1广西桂林市2024-2025学年高一上学期12月联合检测数学试卷
1．（2024高一上·桂林月考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：不等式，，解得，
则集合，因为集合，
所以.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据分式的性质，结合一元二次不等式的解法求得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.
2．（2024高一上·桂林月考）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 ，
，
，
．
故答案为：C.
【分析】利用对数函数、指数函数的单调性与“0，1”比较即可.
3．（2024高一上·桂林月考）清朝末年，面对清政府的腐朽没落，梁启超在《少年中国说》中喊出“少年智则国智，少年富则国富，少年强则国强”的口号．其中“国强”是“少年强”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：国强不一定少年强，少年强则国强，则“国强”是“少年强”的必要条件.
故答案为：B.
【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可.
4．（2024高一上·桂林月考）函数 的零点一定位于下列哪个区间（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数零点存在定理；函数的零点
【解析】【解答】因为函数 的图象连续不断，且 ，
， ，
，
根据零点存在性定理可知函数 的零点一定位于区间 内.
故答案为：C
【分析】根据题意由函数图象的性质结合零点存在定理，即可得出答案。
5．（2024高一上·桂林月考）下面命题正确的是（ ）
A．已知，则“”是“”的充要条件
B．命题“，”的否定是“ ，”
C．已知，则“ ”是“”的既不充分也不必要条件
D．已知，则 是 “”的必要不充分条件
【答案】D
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：A、当时，成立，但不成立，故A不正确；
B、命题“，”的否定是“，，故B不正确；
C、当时，显然成立，但是不成立，
当时，显然，故C不正确；
D、当时，显然成立，但是没有意义，
由，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据充分性、必要性的定义，结合命题的否定判断即可.
6．（2024高一上·桂林月考）某学校科技创新小组准备模拟东风31弹道导弹的发射过程，假设该小组采用的飞行器的飞行高度（单位：米）与飞行时间（单位：秒）之间的关系可以近似用函数来表示.已知飞行器发射后经过2秒时的高度为10米，经过6秒时的高度为30米，欲达到50米的高度，需要（ ）秒.
A．15 B．16 C．18 D．20
【答案】C
【知识点】“对数增长”模型
【解析】【解答】解：由题意可得：，
解得：，
设达到50米的高度需要秒，
，
解得：，
所以达到50米的高度需要秒.
故答案为：C.
【分析】由题意列出关于a，b的方程，从而解方程组得出a，b的值，再结合已知条件，设达到50米的高度需要秒，从而列出关于x的方程，则解方程得出x的值，进而得出达到50米的高度需要的时间.
7．（2024高一上·桂林月考）函数的部分图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法；奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】解：易知函数定义域为，排除A；
因为，
所以函数图象关于直线对称，排除A、D；
由，排除B.
故答案为：C.
【分析】求函数的定义域即可排除A；利用判断函数对称性即可判断D；再代入特殊点，计算即可判断B.
8．（2024高一上·桂林月考）制作一个面积为1且形状为直角三角形的铁支架，则较经济（够用，又耗材最少）的铁管长度为（ ）
A．4.6m B．4.8m C．5m D．5.2m
【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：设一条直角边为，因为直角三角形的面积为1，所以另一条直角边为，
所以斜边长为，
则周长为，
当且仅当且，即时等号成立，
故较经济（够用，又耗材最少）的铁管长度为5m.
故答案为：C.
【分析】设一条直角边为，根据直角三角形面积结合勾股定理求出另外两条边，再利用基本不等式求周长最小值即可.
9．（2024高一上·桂林月考）已知3是函数的一个零点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】对数的性质与运算法则；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解： 3是函数的一个零点， 显然时，，
当时，代入函数可得，解得，
则，，故.
故答案为：BD.
【分析】由题意，可得，求得，再求出判断即可.
10．（2024高一上·桂林月考）关于函数，正确的说法是（ ）
A．有且仅有一个零点 B．的定义域为
C．在单调递增 D．的图象关于点对称
【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇偶函数图象的对称性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、令，解得，则有且仅有一个零点，故A正确；
B、易知函数的定义域为，故B正确；
C、，则函数在和上递减，故C错误；
D、设点是函数图象上的任意一点，则，且关于的对称点为，而，
，则点在函数的图象上，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意，令求解即可判断A；再函数的定义域即可判断B；分离常数求函数的单调区间即可判断C；求函数的对称点即可判断D.
11．（2024高一上·桂林月考）已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，，.下列说法正确的是（ ）
A．3是函数的一个周期
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称
D．
【答案】A,C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；抽象函数及其应用；函数的周期性
【解析】【解答】解：对于A：因为 ， 即，
则，所以 3是函数的一个周期 ，故A正确；
对于BC：因为 为奇函数， 则，
所以 函数的图象关于点对称 ，故B错误，C正确；
对于D：因为，则，
又因为，即，
可得，所以 函数 是偶函数，
则，
即
所以 ，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】对于A：根据周期性的定义分析判断；对于BC：根据对称性的定义分析判断；对于D：根据题意可得 是偶函数，可得，结合周期性运算求解.
12．（2024高一上·桂林月考）已知函数，则 .
【答案】
【知识点】函数的值；有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：函数，
则．
故答案为：－1
【分析】根据分段函数的定义域，分别求、的值，代入求值即可.
13．（2024高一上·桂林月考）已知函数是奇函数，则 .
【答案】1
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】由题知，的定义域为R，因为是奇函数，所以，
所以，
所以，
所以恒成立
所以.
故答案为：1.
【分析】由已知得恒成立，代入即可求解出a的值.
14．（2024高一上·桂林月考）不等式 的解集为R，则实数m的取值范围为 .
【答案】0≤m＜4
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】当 时，不等式显然恒成立，即 ，满足条件。
当 时，为二次函数，要恒大于零只有开口向上， 。
所以 ，
即
综上所述：
【分析】通过分析m等不等0，区分是一次函数还是二次函数；当 时是二次函数要恒大于零只有开口向上， 。
15．（2024高一上·桂林月考）已知集合
（1）若，求；
（2）若是的充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】解：（1），
当时，，
则；
（2）因为，所以
又因为是的充分条件，所以，所以，解得，
即实数a的取值范围是.
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求得集合P，将代入求得集合Q，再根据集合的交集运算求解即可；
（2）由题意，可得，列不等式组求参数范围即可.
16．（2024高一上·桂林月考）计算：
（1）
（2）
（3）已知，用a，b表示．
【答案】解：（1）；
（2）；
（3）因为，所以，，
，则.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）根据有理指数幂运算性质求解即可；
（2）根据对数函数的运算性质求解即可；
（3）由题意，利用指数、对数互化求得，，再根据对数运算性质求解即可.
17．（2024高一上·桂林月考）若函数为上的奇函数，且当时，．
（1）求在R的解析式；
（2）若，，试讨论取何值时有两个零点？a取何值时有四个零点？
【答案】解：（1）因为函数为上的奇函数，所以，
当时，可得，则，
综上所述，函数的解析式为；
（2）由函数，令，可得，
作出函数与直线的图象，如图所示：
数形结合可得：当或时，函数有2个零点；
当或时，函数有4个零点；
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）根据函数为奇函数，可得，再根据函数的奇偶性，得，求函数的解析式即可；
（2）令，可得，作出函数与直线的图象，数形结合求解即可.
18．（2024高一上·桂林月考）某国产车企在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场．已知该车型年固定研发成本为20亿元，受到场地和产能等其它因素的影响，该公司一年内生产该车万台（）且全部售完，每台售价20万元，每年需投入的其它成本为（单位：亿元）．（其中，利润＝销售收入－总成本）
（1）写出年利润（亿元）关于年产量（万台）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润；
（3）若该企业当年不亏本，求年产量（万台）的取值范围．
【答案】（1）解：当时，销售收入为亿元（每台售价万元，万台），
总成本为固定研发成本亿元加上其他成本亿元，
根据利润=销售收入-总成本，可，
当时，销售收入为亿元，总成本为亿元，
则，
所以；
（2）解：当时，，图象开口向下，对称轴为，
但，所以在这个区间上函数单调递增，所以亿元，
当时，，当且仅当，即时等号成立，
则亿元，
因为，所以当年产量为万台时，该企业获利最大，最大年利润为亿元；
（3）解：当时，，即，解得，
结合，知道此时满足题意，
当时，，即，
即，令，对称轴，
当时，单调递减，且时，，
则当，恒成立，即恒成立，
综上所得，该企业当年不亏本，则年产量（万台）的取值范围为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；基本不等式；二次函数模型
【解析】【分析】（1）根据利润的计算公式，分别对不同的产量范围求出利润函数的表达式；
（2）利用二次函数的性质以及基本不等式分别求函数的最大值，比较得出整个定义域上的最大利润即可；
（3）对于不亏本的情况，即利润大于等于，分别在不同分段上求解不等式得出产量的取值范围即可.
（1）当时，销售收入为亿元（每台售价万元，万台），总成本为固定研发成本亿元加上其他成本亿元.
根据利润=销售收入-总成本，可.
当时，销售收入为亿元，总成本为亿元.
则.
所以.
（2）当时，，图象开口向下，对称轴为.
但，所以在这个区间上函数单调递增，所以亿元.
当时，根据基本不等式，有.
所以亿元，当且仅当，即取等号.
因为，所以当年产量为万台时，该企业获利最大，最大年利润为亿元.
（3）当时，，即，解得.
结合，知道此时满足题意.
当时，，即，
即，令，对称轴，
当时，单调递减，且时，.
则当，恒成立，即恒成立.
综上所得，该企业当年不亏本，则年产量（万台）的取值范围为.
19．（2024高一上·桂林月考）已知函数 对一切实数 ，都有 成立，且 ， .
（1）求 的值；
（2）求 的解析式；
（3）若关于x的方程 有三个不同的实数解，求实数k的取值范围.
【答案】（1）在 中，
令 ，得 ，又 ，所以 .
（2）在 中，
令 ，得 ，得 ，
所以
（3）令 ，则 ，
则函数 的图象如图：
方程 化为 ，即 ，即 ，
因为方程 有三个不同的实数解，由函数 的图象可知，
方程 有两个不等实根 ，不妨设 ，则 ， ，
令 ，
则 ，此时解得 ，或 ，此时无解，
综上所述：实数k的取值范围是 .
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件函数 对一切实数 ，都有 成立，且 ，从而结合赋值法求出函数值。
（2） 在 中结合赋值法结合已知条件求出函数 的解析式 。
（3） 令 ，则 ， 再利用绝对值的定义将函数转化为分段函数，再利用分段函数的解析式画出分段函数的图象，将方程 化为 ，即 ，因为方程 有三个不同的实数解，再由函数 的图象可知，方程 有两个不等实根 ，不妨设 ，则 ， ，令 ，再结合零点存在性定理和根与系数的关系，再利用函数的零点与方程的根的等价关系，从而求出实数k的取值范围。
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