综合与实践题—广东省（北师大版）七（上）数学期末复习
一、数轴
1．（2024七上·顺德期末）综合运用
如图，数轴上两点、对应的数分别是和8．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，设的运动时间为秒．
（1）、两点的距离为 ；
（2）当运动到的中点时，求的值；
（3）若一动点同时从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴负方向匀速运动，当点到达点时，、两点都停止运动．在此过程中，当时，求的值．
【答案】（1）12
（2）解：由题意得：，
解得：，
答：当运动到的中点时，的值为3；
（3）解：点表示的点为：，点表示的数为：，
则：，
解得：或（不合题意，舍去），
答：当时，的值为．
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（1）AB==12.
故答案为：12.
【分析】（1）根据数轴两点之间的距离等于两坐标差的绝对值，即可求得；
（2）根据路程=时间×速度列出一元一次方程，解方程，即可求得；
（3）先用t分别表示出点P和点Q表示的数，再根据 列出一元一次方程，求解，即可求得.
2．（2023七上·英德期末）【建立模型】
数轴上两点，所表示的数分别为，，．
（1）若，两点到原点的距离相等，，请画出数轴，并标出，两点的位置；
（2）请写出与之间的数量关系，当时，求的值；
（3）【拓展延伸】
如图，数轴上两点，所表示的数分别为，4，点，是数轴上两动点，点从点出发以每秒1个单位的速度向运动，同时点从点出发以每秒2个单位的速度向运动，当时，求此时点对应的数．
【答案】（1）解：∵，，两点到原点的距离相等，，
数轴上表示如下所示：
（2）解：∵数轴上两点，所表示的数分别为，，，
∴.
当时，
∴，
解得：或
（3）解：
设运动时间为t，
由题意得：点对应的数：，点对应的数：，
∵，
∴，
解得：或
t＝4时，，
时，
∴点对应的数或－2.
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的折线（双动点）模型
【解析】【分析】（1）根据题意可得A，B到原点的距离都是5，如此可画出数轴；
（2）根据题意AB=10，即可得到a与b的数量关系，再把a=2代入解绝对值方程即可；
（3）设运动t秒，分别表示出P和Q点表示的数，根据PQ=2列绝对值方程求解即可.最后再把t值代入求出P点对应的数.
3．（2024七上·电白期末）如图1，已知点，在数轴上表示的数分别为和10，若有一动点从数轴上点出发，以每秒1.5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒。
图1 图2
（1）解决问题：
若点为线段的中点，点为线段的中点，点在线段上运动时，线段的长度是否发生变化？请说明理由；
（2）探索问题：
当点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动。
①在运动过程中，点表示的数为_▲_，点表示的数为_▲_.
②求运动多少秒时，点与点相距3个单位长度？
（3）知识迁移：
如图2，若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，，在时针与分针转动过程中，经过 分钟后，的度数第一次等于。
【答案】（1）解：如图，点在线段上运动时，线段的长度不发生变化，
理由如下：
点为线段的中点，点为线段的中点，
，，
点在线段上运动时，线段的长度不发生变化；
（2）解：①，；
②点与点相距3个单位长度，分两种情况：
如图，当点在点左侧时，，解得，
如图，当点在点右侧时，，解得，
综上所述，运动6或秒时，点与点相距3个单位长度；
（3）12
【知识点】线段的中点；一元一次方程的实际应用-几何问题；线段的和、差、倍、分的简单计算；钟面角
【解析】【解答】解：（2）①点，在数轴上表示的数分别为和10，则在运动过程中，点表示的数为，点表示的数为，
故答案为：，；
（3）时针每小时转＝30°，分针每分转＝6°，
设经过x分钟后，∠AOB 的度数第一次等于126°，
根据题意得：6x＋60 0.5x＝126，
解得：x＝12，
∴经过12分钟后，∠AOB 的度数第一次等于126°．
故答案为：12．
【分析】（1）先利用线段中点的性质可得，，再利用线段的和差及等量代换可得，从而得解；
（2）①利用数轴上两点之间的距离公式求出点P、Q表示的数即可；
②分类讨论：第一种情况：当点在点左侧时；第二种情况：当点在点右侧时，再分别画出图形并列出方程求解即可；
（3）设经过x分钟后，∠AOB 的度数第一次等于126°，根据“∠AOB 的度数第一次等于126°”列出方程6x＋60 0.5x＝126，再求解即可.
二、绝对值
4．（2024七上·龙岗期末）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，，则和关于的“美好关联数”为．
（1）和关于的“美好关联数”为 ；、
（2）若和关于的“美好关联数”为，求的值；
（3）若和关于的“美好关联数”为，和关于的“美好关联数”为，和关于的“美好关联数”为，，和关于的“美好关联数”为，．
的最小值为 ；
的最小值为 ．
【答案】（1）8
（2）解：因为和关于的“美好关联数”为，
所以，
所以，
解得或；
（3）1；820
【知识点】定义新运算；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：（1）-3和5关于2的“美好关联数”为|-3-2|+|5-2|=5+3=8.
故答案为：8.
（3）①∵和关于的“美好关联数”为，
∴|x0-1|+|x1-1|=1，
在数轴上可以看着数x0到1的距离与数x1到1的距离的和等于1，
∴x0+x1有最小值，最小值为1；
②∵和关于的“美好关联数”为，
∴|x1-2|+|x2-2|=1，
∵1≤x1≤2，2≤x2≤3，
∴x1+x2的最小值为1+2=3；
同理可知x3+x4的最小值为3+4=7；
x5+x6的最小值为5+6=11；
x39+x40的最小值为39+40=79；
∴
∴的最小值为820.
故答案为：1，820.
【分析】（1）利用美好关联数”的定义，列式计算即可.
（2）利用美好关联数”的定义，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
（3）①利用“美好关联数”的定义，结合已知条件可得到|x0-1|+|x1-1|=1，可推出在数轴上可以看着数x0到1的距离与数x1到1的距离的和等于1，据此可得到x0+x1的最小值；②利用和关于的“美好关联数”为，可得到|x1-2|+|x2-2|=1，利用1≤x1≤2，2≤x2≤3，可得到x1+x2的最小值为1+2=3；同理可知x3+x4的最小值为3+4=7；x5+x6的最小值为5+6=11；根据其规律可得到x39+x40的最小值为39+40=79；然后列式计算求出的最小值.
三、整式
5．（2023七上·南海期末）综合运用
将图1中的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y.
（1）求3号、4号正方形的边长；（用含x，y的代数式表示）
（2）若图1中5号长方形的周长为10，试求3号正方形的边长；
（3）在第（2）问的条件下，将这5个图形按图2的方式互不重叠地放入长方形ABCD中，若阴影部分的周长为70，求长方形ABCD的周长．
【答案】（1）解：3号正方形的边长：x+y，
4号正方形的边长：x+y+x＝2x+y.
（2）解：5号长方形的长：2x+y+x＝3x+y，
宽：y﹣x，
周长：2（3x+y）+2（y﹣x）
＝6x+2y+2y﹣2x
＝4x+4y
＝4（x+y），
∵4（x+y）＝10，
∴x+y＝10÷4＝2.5，
∴3号正方形的边长是2.5
（3）解：如图：
阴影部分左右两边部分的长度和长方形的两个宽相等，上边和下边部分的长度比长方形ABCD的长少了（x+y）
∴70+2.5+2.5＝75．
即长方形ABCD的周长是75.
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】（1）根据各正方形边长之间的和差关系即可表示3，4两个正方形的边长；
（2）根据各正方形边长之间的和差关系表示出5号正方形的长和宽，从而得到周长，化简即可得到3号正方形的边长；
（3）利用平移得到长方形ABCD的周长比阴影部分的周长多了两个3号正方形的边长，在（2）的条件下即可得到长方形ABCD的周长.
6．（2024七上·高州期末）综合与实践：
主题：制作一个无盖长方形盒子．
步骤1：按照如图所示的方式，将正方形纸片的四个角剪掉四个大小相同的小正方形．
步骤2：沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子．
（1）【问题分析】
如果原正方形纸片的边长为a，剪去的正方形的边长为b，则折成的无盖长方体盒子的高、底面积、容积分别为 、 、 （请你用含a，b的代数式来表示）．
（2）【实践探索】
如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，，，，，，，，，时，折成的无盖长方体的容积分别是下表数据，请求出m和n分别是多少？
剪去正方形的边长/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
容积/ 324 512 m n 500 384 252 128 36 0
（3）【实践分析】
观察绘制的统计表，你发现，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？并分析猜想当剪去图形的边长为多少时，所得的无盖长方体的容积最大，此时最大容积是多少？
【答案】（1）b；；
（2）解：当a=20，b=3时，b（a-2b）2=3×（20-2×3）2=588（cm3），
当a=20，b=4时，b（a-2b）2=4×（20-2×4）2=576（cm3），
∴m=588，n=576.
（3）解：由表中数据可知，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先增大后减小；由表中数据可知，当b=3时，容积最大为588cm3.
【知识点】探索数与式的规律；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：（1） 如果原正方形纸片的边长为a，剪去的正方形的边长为b，则折成的无盖长方体盒子的高、底面积、容积分别 b、（a-2b）2、b（a-2b）2；
故答案为：b、（a-2b）2、b（a-2b）2；【分析】（1）通过折叠可知，折成的无盖长方体盒子的高为b，底面积是正方形，正方形的面积=边长×边长，而边长为（a-2b），所以底面正方形面积为（a-2b）2，再由长方体的体积=底面积×高，可以出长方体盒子的容积即体积；
（2）由表中数据可以明确，求m、n的值，就是分别求当a=20，b=3和b=4时长方体的体积，求出即可得到m、n的值；
（3）通过观察表中数据可以猜想随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化的规律；并分析猜想当剪去图形的边长为3时，所得的无盖长方体的容积最大，此时最大容积是588cm3.
7．（2023七上·南海期末）综合与实践
某兴趣小组利用长为a厘米，宽为b厘米的长方形纸板制作长方体纸盒，做了以下尝试：（纸板厚度及接缝处忽略不计）
（1）如图1，若a=b，先在纸板四角剪去4个同样大小边长为c厘米的小正方形，再沿虚线折起来就可以做成一个无盖的正方体纸盒．此时，b与c的数量关系为 ．
（2）如图2，若a=b，先在纸板四角剪去4个同样大小边长为c厘米的小正方形，再沿虚线折起来就可以做成一个无盖的长方体纸盒，为了使纸盒底面更加牢固且达到废物利用的目的，将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满．此时，b与c的数量关系为 ．
（3）若a=20，b=12，在纸板四角剪去4个同样大小边长为c厘米的小正方形，恰好可以制作成一个无盖的长方体纸盒．请你通过列表研究，c取何整数时，所得长方体的体积V最大？
c/cm
V/cm3
【答案】（1）b＝3c
（2）b＝4c
（3）解：由题意可知长方体的体积为：
V=c（20﹣2c）（12﹣2c），
∵20-2c>0，12-2c>0，c>0，
∴0∴c只能取1、2、3、4、5这几个值，
据此可以得到c取整数时，所得长方体的体积如下：
c/cm 1 2 2 4 5
V/cm3 180 256 252 192 100
由上表可以看出，当c＝2cm时，所得长方体的体积最大，为256cm3．
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：（1）如图：
∵四角减去4个同样大小边长为c厘米的小正方形，沿虚线折起来做成了正方体纸盒，
∴AB和CD作为正方体的棱，有AB=CD=c，
∵BC也是一条棱，即也有BC=c.
∴b=3c.
故答案为：b=3c.
（2）根据题意，折成的长方体的底面积=4个边长为c厘米的小正方形的面积和.
长方体的底面积可以表示为（b-2c）2，也可以表示成4c2，
所以有(b-2c)2=4c2，所以b=4c.
故答案为：b=4c.
【分析】（1）根据题意最终围成的是正方体，各边长相等，可知AB=BC=CD，从而可得b与c的数量关系；
（2）根据题意，剪下的四个小正方形体的面积和=长方体的底面积，可得(b-2c)2=4c2，整理即可得到此时b与c的数量关系；
（3）先把长方体的体积表示出来，根据各边长都是正数可确定c的取值范围，从而能够确定可取到的整数c的值.逐一代入计算体积，即可得到最大体积时c的取值.
四、一元一次方程
8．（2024七上·高州期末）再读教材
请解答教材中的(1)、(2)问。
活学活用
小明是个爱动脑筋的同学，在发现教材中的用方框在月历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数，排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：
（1）十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系
（2）设中间的数为，用代数式表示十字框中的五个数的和；
（3）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其它五个数的和能等于2010吗 如能，写出这五个数，如不能，说明理由.
【答案】（1）日历图中框出的9个数之和为：2+3+4+9+10+11+16+17+18＝90，
该方框正中 间的数是10，90＝9×10，
所以这9个数的和是该方框正中间的数的9倍；
（2）5个数之和为6+14+16+18+26=80，16×5=80；用代数式表示十字框中的五个数的和=5x；
（3）①∵6+14+16+18+26＝80＝16×5，
∴十字框中的五个数的和是中间的数16的5倍．
②设中间的数为x，则另外四个数分别为x﹣10、x﹣2、x+2、x+10，
∴（x﹣10）+（x﹣2）+x+（x+2）+（x+10）＝5x．
③不能，理由如下：
设中间的数为x，
根据题意得：5x＝2010，
解得：x＝402．
∵402在第41行的第一个数字，
∴框住的五个数的和不能等于2010．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；用代数式表示数值变化规律
【解析】【分析】（1）先求出9个数之和，找出与正中心的数的关系即可；
（2）先求出五个数之和，中间数乘以5刚好等于五个数之和，可直接列代数式；
（3）根据五个数之和等于5乘以中间数的积，列一元一次方程，解方程即可判断.
9．（2024七上·高州期末）
（1）再读教材
如图是某月的日历．
①带阴影的方框中的9个数之和与方框正中的数有什么关系？
②不改变方框的大小如果将带阴影的方程移至其他几个位置试一试，上述关系还成立吗？如成立，请说明为什么成立．
（2）活学活用
小明是个爱动脑筋的同学，在发现教材中的用方框在月历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数2，4，6，8，…，排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：
①十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？
②设中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和；
③若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其它五个数的和能等于2010吗？如能，写出这五个数，如不能，说明理由．
【答案】（1）解：①日历图中框出的9个数之和为：，
该方框正中间的数是11，，
所以这9个数的和是该方框正中间的数的9倍；
②成立；如果用a表示正中间的数，则其他八个数依次为：，
∵，
∴这9个数的和等于；
（2）解：①，
十字框中的五个数的和是中间的数16的5倍；
②设中间的数为x，则另外四个数分别为、、、，
；
③不能，理由如下：
设中间的数为x，根据题意得：，
解得；
∵402在第41行的第一个数字，
框住的五个数的和不能等于2010
【知识点】探索数与式的规律；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；用代数式表示数值变化规律
【解析】【分析】（1）①先计算带阴影的方框中的9个数之和，再通过观察、分析可以得到，带阴影的方框中的9个数之和是方框正中间的数的9倍；
②假设方框正中间的数为a，通过其他的数与这个数之间的数量关系，把它们分别用含a的式子表示出来，再把这些式子加起来看看它们的和与这个数的关系，即可得出结论；
（2）按照（1）的方法，①再把十字框中的五个数加起来，看看它们的的和与中间的这个数16的关系，可以得出：十字框中的五个数的和是中间的数16的5倍；
②假设中间的数为x，通过其他的数与这个数之间的数量关系，把它们分别用含x的式子表示出来，再把这些式子加起来看看它们的和与这个数的关系，即可得出结论；
③通过②我们可以发现十字框中的五个数的和是中间的数的5倍，而2010是5的倍数，所以看起来是可行的，用2010÷5=402，所以说，中间的这个数应该是402，但通过观察发现，402在第41行第一个数字，所以可以得出结论：框住的五个数的和不能等于2010.
10．（2024七上·福田期末）综合与实践：
商品条形码在生活中随处可见，它是商品的身份证.条形码是由13位数字（每个数字都是由大于等于0且小于等于9的整数）组成，前12位数字分别表示“国家代码、出口商识别码和商品代码”相关信息，如图①693是代表中国，49170代表出口商识别码，0940代表商品代码，第13位数字2为“校验码”.其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性，它的编制是按照特定算法得来的，具体算法如下（以图①为例）：
步骤 举例说明
步骤1：自左向右编号： 某商品的条形码：693489170940X（X为校验码）
位置序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
代码 6 9 3 4 9 1 7 0 0 9 4 0 X
步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s； ；
步骤3：求前12为数字钟奇数位上的数字之和t； ；
步骤4：计算与t的和m； ；
步骤5：取大于或等于m且为10的最小整数倍数n； ；
步骤6：计算n与m的差就是校验码X. ，校验码.
【知识运用】请回答下列问题：
（1）若某商品的条形码为692015246132X，根据材料计算验证码过程如下：
步骤1：自左向右编号，共13位；
步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和；
步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和；
步骤4：计算与t的和 ；
步骤5：取大于或等于m且为10的最小整数倍数 ；
步骤6：计算n与m的差就是校验码 .
（2）如图②，某商品条形码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为a，用只含有a的代数式表示 ；当时， ， ；当校验码时， .
【答案】（1）80；80；0
（2）；59；60；9
【知识点】一元一次方程的其他应用；有理数的加法法则；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：（1）3s+t=3×21+17=80；80等于80，且为10 的最小整数倍数，即n=80；80-80=0，即X=0.
故答案为：80；80；0.
（2）由图知，编码为6912001001a5X.
则s=9+2+0+0+1+5=17，t=6+1+0+1+0+a=8+a，则m=3s+t=3×17+8+a=59+a；
当a=0时，m=59+0=59，n=60；
当校验码X=2时，n=59+a+2=61+a，因为n为10的最小整数倍数，所以n=70，即a=9.
故答案为：；59；60；9
【分析】（1）根据题干实例计算即可；
（2）根据题干实例计算，只是其中一个数字用a表示而已，通过解一元一次方程求解即可.
11．（2024七上·深圳期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“阳光方程”例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”．
（1）若关于的一元一次方程与是“阳光方程”，则 ．
（2）已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为若其中一个方程的解为，求的值．
（3）已知关于的一元一次方程的解是，请写出解是的关于的一元一次方程：只需要补充含有的代数式．
若关于的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于的一元一次方程的解为 ．
【答案】（1）
（2）解：“阳光方程”的一个解为，则另一个解为x=，
这两个“阳光方程”的解的差为5，
则或，
解得或．
故的值为或；
（3）解：①y+1；-y-1；
②y=-2024.
【知识点】定义新运算；解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）解x+2m=0得x=-2m.
解3x-2=-x得.
因为一元一次方程x+2m=0和3x-2=-x是"阳光方程"，
所以
解得：
故答案为：.
（3）①：关于x的一元一次方程的解为x=2024，那么只有是这个形式的方程，解都不变.所以令x=y+1，则方程的解满足，解为.
方程可变形为：，
故答案为：y+1；-y-1.
②：解得x=2023.
因为一元一次方程和互为阳光方程，
∴一元一次方程的解为x=1-2023，即x=-2022.
∵可变形为：
∴y+2=-2022，
∴y=-2024.
故答案为：y=-2024.
【分析】（1）根据题意分别求出两个方程的解，再建立关于m的方程求解即可；
（2）根据题意把另外一个解设为1-k，建立关于k的方程求解；
（3）①将未知方程变形成的同解方程，即可解决问题；
②先求解方程，再根据"阳光方程"的定义得到方程的解，观察发现变形后就是的同解方程，问题即可解决.
12．（2024七上·茂名期末）某实践小组设计宣传牌：
如图1是长方形宣传牌，长，宽，中间可以用来设计的部分是长方形，且．四周空白部分的宽度相等，设四周宽度为；
如图2，为了美观，将长方形分割成大小相等的左、中、右三个小长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等；
如图3，每个栏目划出8个小正方形方格，中间有十字间隔，竖行两列中间间隔和横向中间间隔宽度比为．
（1） ， （用含的代数式表示）；
（2）求出图1四周宽度的值；
（3）求每个栏目的水平宽度；
（4）求栏目与栏目之间中缝的间距．
【答案】（1）；
（2）解：，
，
解得，
∴四周宽度是.
（3）解：∵x=10cm，所以长方形的宽BC长：220－2×10=200（cm）.
设每个栏目的水平宽度为，每栏竖行两列中间间隔是，则横向中间间隔为，
根据正方形边长相等可得：，
解得，
∴每个栏目的水平宽度为.
（4）解：∵，
∴长方形栏目与栏目之间中缝的间距为．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：（1）由题意得： AB= (330-2x) cm，BC= ( 220-2x ) cm；
故答案为：（330-2x）；（220-2x）.
【分析】（1）根据图形即可得到AB和BC的长；
（2）根据AB=1.55BC，得到关于x的方程，求解即可.
（3）求出BC长，设每个栏目宽ycm，根据每个正方形的边长相等，每个栏目竖列有4个小正方形，横行有2个小正方形，可得方程，求解即可.
（4）可求出AB长，减3个栏目宽，得到两个中缝总间距，在除以2就得到每一个间距.
五、基本平面图形
13．（2024七上·福田期末）如图1，射线上有A、B两点，，.一动点P从点O出发，以每秒4个单位的速度沿射线的方向运动，当点P到达点A时，射线开始绕点A按逆时针方向以每秒5°的速度旋转，同时点P降速一半沿射线的方向运动（如图2），当点P到达点B时，射线旋转停止，接着，射线开始绕点B按顺时针方向以每秒15°的速度旋转，同时点P再降速一半沿射线的方向运动（如图3）.设点P运动的时间为t秒（）.
（1）的长等于 ；当点P到达点B时，等于 °；
（2）当射线与所在直线第一次重合（不包括图2的情形）时，点P是线段的中点吗 为什么
（3）在射线旋转的过程中，若它与所在直线第二次重合时所有运动停止，则t为多少秒时，所在直线与所在直线垂直 请直接写出t的值.
【答案】（1）24；120°
（2）解：
P为中点，理由如下：
当与线段重合时，
所用时间为S
此时
P为中点
（3）解：或37.
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴的折线（双动点）模型
【解析】【解答】解：（1）∵OA=12，OB=3OA，
∴OB=36.
∴AB=OB-OA=24.
通过题意，可知点P从点A移动到点B所需时间为：.
∴射线AM旋转的度数为：5°×12=60°.
∴∠OAB=180°-60°=120°.
故答案为：24；120°.
（3）
当时，则旋转或
所用时间为
，
或37.
【分析】（1）由于AB=OB-OA，根据条件先计算OB，再连同OA代入计算AB；
用AB长除以点P降速一半后的速度即可计算出∠OAB；
（2）先计算出BM与AB第一次重合所需时间，用该时间乘以P点运动速度（P先降速一半，然后再降速一半，即=1个单位/秒）得到PB长，然后与（1）中所算出的AB进行比较即可得出结论；
（3）通过画图分析可知， BM与所在直线第二次重合前，BM所在直线与OA所在直线垂直的情况会发生两次，第一次是BM旋转150°，第二次则很容易知道是150°+180°=330°，分别除以速度15°/秒即可算出旋转用时，然后各自加上P点从O点运动到B的时间即可.
14．（2024七上·深圳期末）如图，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点放在互相垂直的两条直线、的垂足处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点顺时针旋转．
（1）如图，若，则 ， ；
（2）若射线是的角平分线，且．
若旋转到图的位置，的度数为多少？用含的代数式表示
在旋转过程中，若，求此时的值．
【答案】（1）；
（2）解：因为，，
所以，
因为射线是的角平分线，
所以，
所以；
当位于内部时，如图，
因为平分，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以；
当位于内部时，如图，
因为，，
所以，
因为平分，
所以， ，
所以，，
因为，
所以，
解得，
综上所述，若，的值为或．
【知识点】角的运算；垂线的概念；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）由题意得：OA=OB，∠BOA=90°，∠AOQ=∠MOB=α.
当∠MOB=α=26°，MN⊥PQ，
∴∠BOP=90° -α=64°.
∵∠AOM+∠MOB=∠AOB=90°， ∠MOB+∠BOP=∠MOP=90°，
∴∠AOM=∠BOP.
∴∠AOM+∠BOQ=∠BOP+∠BOQ=∠POQ= 180°.
故答案为：64°；180°.
【分析】（1）根据题意得到∠BOP=90° -∠MOB，∠AOM=∠BOP，即可解决问题；
（2）①∠BON=180°-∠BOM，所以根据OC平分∠BOM，∠POC=β，表示出∠BOM即可解决问题；
②旋转过程中，有两种情况都满足∠AOC=2∠AOM，要分别讨论. 当OA位于∠QOM内部时，∠AOC=2∠MOC=2∠BOC，得∠AOM=∠MOC=∠BOC；当OA位于∠POM内部时，∠AOC=∠AOB-∠BOC，∠BOC=∠MOC=90°-∠POC；∠AOM=∠BOM-∠AOB，结合角平分线的定义利用角的和差倍变换即可表示出两个角的度数.
15．（2024七上·顺德期末）综合探究
将两块三角板如图1所示放置，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°，∠CDE＝90°，∠DCE＝30°，AC＝CD＝6．将△DCE 绕着点C顺时针旋转时CF平分∠BCD．
（1）如图1，当CD边与CA边重合时，求∠ECF的度数；
（2）如图2，在旋转过程中，当∠ACD＝2∠ECF时，求线段CD扫过的面积（结果保留π）；
（3）当边CD与CB重合时停止旋转，探究∠ACD与∠ECF满足的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：当CD边与CA边重合时，∠BCD＝∠BCA＝90°，
∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠BCD＝45°，
∵∠DCE＝30°，
∴∠ECF＝∠DCF﹣∠DCE＝15°，
∴∠ECF为15°；
（2）解：设∠ACD为x°，
∵∠ACD＝2∠ECF，
∴∠ECF＝x°，
∴∠DCF＝x°+30°，
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCD＝2∠DCF＝x°+60°，
∵∠BCD+∠ACD＝90°，
∴x°+60°+x°＝90°，
∴x＝15，即∠ACD为15°，
∵
∴线段CD扫过的面积为；
（3）解：当∠ACD＜30°时，如图：
∵∠DCE＝30°，
∴∠DCF＝30°+∠ECF，
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCD＝2∠DCF＝60°+2∠ECF，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACD+60°+2∠ECF＝90°，
∴∠ACD+2∠ECF＝30°；
当30°≤∠ACD＜90°时，如图：
∵∠DCE＝30°，
∴∠DCF＝30°﹣∠ECF，
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCD＝2∠DCF＝60°﹣2∠ECF，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACD+60°﹣2∠ECF＝90°，
∴∠ACD﹣2∠ECF＝30°；
综上所述，当∠ACD＜30°时，∠ACD+2∠ECF＝30°；当30°≤∠ACD＜90°时，∠ACD﹣2∠ECF＝30°．
【知识点】角的运算；扇形面积的计算；图形的旋转；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DCF=∠BCD，再根据∠ECF=∠DCF-∠DCE，即可求得；
（2）设∠ACD为x°，分别表述出∠ECF，∠DCF，根据角平分线的定义可得∠BCD，再根据∠BCD+∠ACD=90°列方程，解出x，再根据扇形面积的公式计算面积即可；
（3）分两种情况，当∠ACD＜30°和30°≤∠ACD＜90°时，先用∠ECF表示出∠BCD，根据∠ACD+∠BCD=90°，即可求得.
16．（2023七上·南海期末）综合探究
如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，点A在直线MN上，点D、E在直线MN上运动（点D不与点A重合），且始终满足CE平分∠BCD．
（1）当点D在点A左侧时，请直接写出∠CAD与∠CAE之间的数量关系；
（2）若∠CAE=60°，在点D、E运动的过程中，当△CDE是直角三角形时，求∠DCE的度数；
（3）请你在以点C为顶点的角中任选一个（∠BCD、∠ACD、∠ACB除外），在点D、E运动的过程中，探究所选角与∠ACD的数量关系，并写出具体过程．
【答案】（1）解：∵点D、E在直线MN上运动，∠ACB＝90°，
∴点E始终在点A的右侧，
∵点D在点A左侧，
∴∠CAD+∠CAE＝180°
（2）解：∵点D、E在直线MN上运动，∠ACB＝90°，
∴点E始终在点A的右侧，
∵△CDE是直角三角形，
∴∠CDE＝90°或∠CED＝90°，
①若∠CDE＝90°，∠CAD＝∠CAE＝60°，
，
∴∠ACD＝180°﹣∠CDE﹣∠CAD＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝60°
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠ECB＝∠BCD＝30°，
②若∠CED＝90°，∠CAE＝60°，
∴∠ACE＝180°﹣∠CAE﹣∠CEA＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝60°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠ECB＝60°
综上所述：∠DCE的度数为30°或60°.
（3）解：探究∠ACE与∠ACD的数量关系，
∵点D、E在直线MN上运动，∠ACB＝90°，
∴点E始终在点A的右侧，
①点D在点A左侧时，
，
∵CE平分∠BCD，
∴∠ACD+∠ACE=∠DCE＝∠BCE，
∵∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝90°﹣∠ACE，
∴∠ACD+∠ACE＝90°﹣∠ACE，即∠ACD+2∠ACE＝90°，
②点D在点和点E之间时，
，
∵CE平分∠BCD，
∴∠ECB＝∠DCE＝∠DCB，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=∠ACD+2∠ECB=90°.
∵∠ACE+∠ECB＝∠ACB＝90°，
∴∠ECB＝90°﹣∠ACE，
∴∠ACD+2（90°﹣∠ACE）＝90°，
即2∠ACE﹣∠ACD＝90°．
③点D在点E右侧时，
∵CE平分∠BCD，
∴∠ECB＝∠DCE＝∠DCB，
∵∠ACE=∠ACB+∠BCE=90°+∠BCE，
∴∠BCE=∠ACE－90°.
又∵∠ACD=∠ACB+∠DCB=90°+2∠BCE，
∴∠ACD=∠ACB+∠DCB=90°+2（∠ACE－90°），
即2∠ACE－∠ACD＝90°.
【知识点】角的运算；数学思想；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据点D，A，E的位置关系即可判断∠CAD与∠CAE之间的数量关系；
（2）根据△CDE是直角三角形分∠CDE＝90°和∠CED＝90°两种情况进行讨论，先计算加ACD（或∠ACE）的值，根据∠ACB=90°，得到∠BCD（或∠BCE）的值，再根据角平分线得∠DCE的值；
（3）探究∠ACE与∠ACD的数量关系时，点E始终在点A的右侧，故分点D在点A左侧，点D在点A和点E之间，点D在点E右侧三种情况进行讨论.
17．（2024七上·坪山期末）【问题情境】乐乐学习了角的相关知识后，对角度的计算比较感兴趣，请你和乐乐一起来探究下面的问题吧．已知，射线分别是和的角平分线．
（1）【初步感知】若射线在的内部，且，求的度数；
（2）【探究发现】若射线在的内部绕点O旋转，则的度数为 ；
（3）【拓展延伸】若射线从出发，绕着点O顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数（不写探究过程）．
【答案】（1）解：，，
，
射线分别是和的角平分线，
，，
；
（2）
（3）分两种情况：
当在三角形内部时，如下图所示：
射线分别是和的角平分线，
，，
，
，
，
，
；
当在三角形外部时，如下图所示：
射线分别是和的角平分线，
，，
，
，
，
，
，
，
，
综上可知，的度数为或
【知识点】角的运算；旋转的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】本题考查角的加减运算，角平分线的定义：
（1）根据角的加减运算可先求出，再根据角平分线的定义求出，，利用角的加减运算可得：，代入数据可求出答案.
（2）根据角平分线的定义可得，，利用角的加减运算可得：，进而证明，代入数据可求出答案；
（3）分两种情况：当在三角形内部时，利用角的加减运算，可证明；当在三角形外部时，利用角的加减运算，结合可得，代入数据可求出答案.
18．（2024七上·榕城期末）【综合探究】：如图1，一副三角板如图所示放置在直线MN上，∠ABO=90°，∠AOB=60°，三角板的顶点与另一个三角板∠COD的顶点重合在点O处，三角板的边OC，OB与直线MN重合，三角板其它的边都在直线MN的上方.
（1）【实践探究】：
如图2，若三角板AOB不动，将三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，经过t秒时，三角板COD的边OC恰好分.
①此时t= 秒：
②此时= °= ；
（2）【解决问题】：
如图2，在(1)的条件下，边OC恰好平分.时，同一时刻三角板AOB开始也绕点O以每秒的速度按相同方向旋转，那么再经过多长时间边OA与边OD第一次重合 (如图3)请说明理由；
（3）【拓展研究】：
如图3，在(2)的条件下，当边OA与边OD第一次重合时，两个三角板同时按顺时针方向再次转动一周后停止，请问两个三角板再次转动后，经过多少秒，边OB恰好平分请说明理由.
【答案】（1）5；60；3600
（2）解：∵三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，三角板AOB开始也绕点O以每秒10°的速度按相同方向旋转，
∴两个三角板的速度差为每秒4°，
∵∠AOD＝60°，当∠AOD＝0°时，边OA与边OD第一次重合，
∴60÷4＝15（秒），
∴再经过15秒边OA与边OD第一次重合.
（3）解：两个三角板同时按顺时针方向再次转动一周后停止，
∴0°＜旋转角度＜360°，
边OA与边OD重合，两个三角板再次转动15°，边OB恰好平分∠COD，∠COB＝∠BOD＝45°，
此时经过15÷4=秒，边OB恰好平分∠COD，
∵三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，三角板AOB开始也绕点O以每秒10°的速度按相同方向旋转，
∴三角板AOB旋转速度快，旋转一周后停下，三角板COD还在旋转，
∵边OB恰好平分∠COD，
∴∠COB＝∠BOD＝45°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠AOD＝15°，
∴三角板AOB经过360°÷10°＝36（秒）停下，三角板COD经过36秒旋转了36×6°＝216°，还需要旋转360° 216°＝144°停止，
此时经过36＋（144° 15°）÷6＝57.5秒，边OB恰好平分∠COD，
∴经过或57.5秒，边OB恰好平分∠COD．
【知识点】角的运算；图形的旋转；旋转的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）据题意得∠BOC为旋转角，
∵三角板COD的边OC恰好分∠AOB，∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝30°，∠COA＝30°，
∵三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，经过t秒，
∴t＝30÷6＝5（秒），
∵∠COD＝90°，
∴∠AOD＝∠COD ∠COA＝90° 30°＝60°＝3600'，
故答案为：5，60，3600.
【分析】（1）根据三角板COD的边OC恰好分∠AOB，可得∠AOB＝60°，再结合三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，求出t，最后求出∠AOD的度数即可；
（2）先求速度差，再利用旋转角除以速度差，即可求出时间；
（3）先分析两个三角板旋转多少度，才能使边OB恰好平分∠COD，再根据两个三角板的旋转速度，求出时间即可.
19．（2024七上·罗湖期末）综合探究：
【问题背景】：已知O是直线上的一点，射线在直线的上方，，将直角三角板的直角顶点放在O处，且直角三角板在直线的上方．
（1）【问题解决】：
如图1，若，则 ；
（2）若恰好平分，求和的度数；
（3）【拓展延伸】：
将图2中的三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，是否存在t值，使？若不存在，请说明理由；若存在，请求出t的值．
【答案】（1）30
（2）解：，
，
OE恰好平分，
，
．
（3）解：情况一：
，
，
，
；
情况二：，
，
，
，
．
综上所述，秒或秒时，．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：(1)根据题意得，
∴；
故答案为：30
【分析】(1)根据题意得，由，计算求解即可；
（2）由平角的性质得出 ，根据角平分线的定义可得，进而可得答案；
（3）由题意分类讨论：OC在三角形的外部；OC在三角形的内部，分别计算求解即可.
20．（2024七上·深圳期末）阅读理解，回答问题：
定义回顾：从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．角的平分线也可以通过折纸完成，如图（1），将含有的纸片经过顶点P对折叠，折痕所在的射线就是的平分线．利用角的平分线的定义，可以进行角的度数的计算．
问题解决：
（1）如图（2），点P，Q分别是长方形纸片的对边，上的点，连结，将和分别对折，使点A，B都分别落在上的和处，点C落在处，分别得折痕，，则的度数是 ；
（2）如图（3），将长方形纸片分别沿直线，折叠，使点A，B分别落在点，处，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分．
①若，，求的度数；
②若，求的度数（用含的式子表示）；
（3）将长方形纸片分别沿直线，折叠，使点A，B，C分别落在点，，处，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分有重叠部分，如图（4）．若，请直接写出的度数（用含的式子表示）．
【答案】（1）
（2）解：①由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
即；
②同理，，，
∴，
∵，
则，
即；
拓广探索：
（3）解：同理，由题意得：，，
则，
∵，
∴，
即．
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）由折叠知：∠APN=∠QPN，∠BPM=∠QPM，
∵∠APN+∠QPN+∠BPM+∠QPM=180°，
∴∠QPN+∠QPM=∠NPM=90°.
故答案为：90°.
【分析】（1）由折叠知∠APN=∠QPN，∠BPM=∠QPM，根据平角的定义即可求解；
（2）①由折叠知，，由平角的定义可得，据此求出，再利用角的和差即可求解；
②由折叠知，，由平角的定义可得，据此求出，再利用角的和差即可；
（3）由折叠知，，由平角的定义可得，据此可得，再利用即可求解.
21．（2024七上·罗湖期末）综合探究：
【问题背景】：已知O是直线上的一点，射线在直线的上方，，将直角三角板的直角顶点放在O处，且直角三角板在直线的上方．
【问题解决】：
（1）如图1，若，则______；
（2）若恰好平分，求和的度数；
【拓展延伸】：
（3）将图2中的三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，是否存在t值，使？若不存在，请说明理由；若存在，请求出t的值．
【答案】解：（1）30
（2），
，
OE恰好平分，
，
．
（3）情况一：
，
，
，
；
情况二：，
，
，
，
．
综上所述，秒或秒时，．
【知识点】角的运算；角平分线的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1），，
，
．
故答案为30．
【分析】（1）根据题意，结合给定的图形，利用角的和差，求得，进而求得的值．
（2）根据角的平分线的定义，求得，再根据角度和差，求得的值，即可得到答案.
（3）根据题意，画出图形，分类两种情况讨论，根据角的和差，列出方程，即可求解．
1 / 1综合与实践题—广东省（北师大版）七（上）数学期末复习
一、数轴
1．（2024七上·顺德期末）综合运用
如图，数轴上两点、对应的数分别是和8．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，设的运动时间为秒．
（1）、两点的距离为 ；
（2）当运动到的中点时，求的值；
（3）若一动点同时从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴负方向匀速运动，当点到达点时，、两点都停止运动．在此过程中，当时，求的值．
2．（2023七上·英德期末）【建立模型】
数轴上两点，所表示的数分别为，，．
（1）若，两点到原点的距离相等，，请画出数轴，并标出，两点的位置；
（2）请写出与之间的数量关系，当时，求的值；
（3）【拓展延伸】
如图，数轴上两点，所表示的数分别为，4，点，是数轴上两动点，点从点出发以每秒1个单位的速度向运动，同时点从点出发以每秒2个单位的速度向运动，当时，求此时点对应的数．
3．（2024七上·电白期末）如图1，已知点，在数轴上表示的数分别为和10，若有一动点从数轴上点出发，以每秒1.5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒。
图1 图2
（1）解决问题：
若点为线段的中点，点为线段的中点，点在线段上运动时，线段的长度是否发生变化？请说明理由；
（2）探索问题：
当点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动。
①在运动过程中，点表示的数为_▲_，点表示的数为_▲_.
②求运动多少秒时，点与点相距3个单位长度？
（3）知识迁移：
如图2，若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，，在时针与分针转动过程中，经过 分钟后，的度数第一次等于。
二、绝对值
4．（2024七上·龙岗期末）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，，则和关于的“美好关联数”为．
（1）和关于的“美好关联数”为 ；、
（2）若和关于的“美好关联数”为，求的值；
（3）若和关于的“美好关联数”为，和关于的“美好关联数”为，和关于的“美好关联数”为，，和关于的“美好关联数”为，．
的最小值为 ；
的最小值为 ．
三、整式
5．（2023七上·南海期末）综合运用
将图1中的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y.
（1）求3号、4号正方形的边长；（用含x，y的代数式表示）
（2）若图1中5号长方形的周长为10，试求3号正方形的边长；
（3）在第（2）问的条件下，将这5个图形按图2的方式互不重叠地放入长方形ABCD中，若阴影部分的周长为70，求长方形ABCD的周长．
6．（2024七上·高州期末）综合与实践：
主题：制作一个无盖长方形盒子．
步骤1：按照如图所示的方式，将正方形纸片的四个角剪掉四个大小相同的小正方形．
步骤2：沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子．
（1）【问题分析】
如果原正方形纸片的边长为a，剪去的正方形的边长为b，则折成的无盖长方体盒子的高、底面积、容积分别为 、 、 （请你用含a，b的代数式来表示）．
（2）【实践探索】
如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，，，，，，，，，时，折成的无盖长方体的容积分别是下表数据，请求出m和n分别是多少？
剪去正方形的边长/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
容积/ 324 512 m n 500 384 252 128 36 0
（3）【实践分析】
观察绘制的统计表，你发现，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？并分析猜想当剪去图形的边长为多少时，所得的无盖长方体的容积最大，此时最大容积是多少？
7．（2023七上·南海期末）综合与实践
某兴趣小组利用长为a厘米，宽为b厘米的长方形纸板制作长方体纸盒，做了以下尝试：（纸板厚度及接缝处忽略不计）
（1）如图1，若a=b，先在纸板四角剪去4个同样大小边长为c厘米的小正方形，再沿虚线折起来就可以做成一个无盖的正方体纸盒．此时，b与c的数量关系为 ．
（2）如图2，若a=b，先在纸板四角剪去4个同样大小边长为c厘米的小正方形，再沿虚线折起来就可以做成一个无盖的长方体纸盒，为了使纸盒底面更加牢固且达到废物利用的目的，将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满．此时，b与c的数量关系为 ．
（3）若a=20，b=12，在纸板四角剪去4个同样大小边长为c厘米的小正方形，恰好可以制作成一个无盖的长方体纸盒．请你通过列表研究，c取何整数时，所得长方体的体积V最大？
c/cm
V/cm3
四、一元一次方程
8．（2024七上·高州期末）再读教材
请解答教材中的(1)、(2)问。
活学活用
小明是个爱动脑筋的同学，在发现教材中的用方框在月历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数，排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：
（1）十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系
（2）设中间的数为，用代数式表示十字框中的五个数的和；
（3）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其它五个数的和能等于2010吗 如能，写出这五个数，如不能，说明理由.
9．（2024七上·高州期末）
（1）再读教材
如图是某月的日历．
①带阴影的方框中的9个数之和与方框正中的数有什么关系？
②不改变方框的大小如果将带阴影的方程移至其他几个位置试一试，上述关系还成立吗？如成立，请说明为什么成立．
（2）活学活用
小明是个爱动脑筋的同学，在发现教材中的用方框在月历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数2，4，6，8，…，排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：
①十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？
②设中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和；
③若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其它五个数的和能等于2010吗？如能，写出这五个数，如不能，说明理由．
10．（2024七上·福田期末）综合与实践：
商品条形码在生活中随处可见，它是商品的身份证.条形码是由13位数字（每个数字都是由大于等于0且小于等于9的整数）组成，前12位数字分别表示“国家代码、出口商识别码和商品代码”相关信息，如图①693是代表中国，49170代表出口商识别码，0940代表商品代码，第13位数字2为“校验码”.其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性，它的编制是按照特定算法得来的，具体算法如下（以图①为例）：
步骤 举例说明
步骤1：自左向右编号： 某商品的条形码：693489170940X（X为校验码）
位置序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
代码 6 9 3 4 9 1 7 0 0 9 4 0 X
步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s； ；
步骤3：求前12为数字钟奇数位上的数字之和t； ；
步骤4：计算与t的和m； ；
步骤5：取大于或等于m且为10的最小整数倍数n； ；
步骤6：计算n与m的差就是校验码X. ，校验码.
【知识运用】请回答下列问题：
（1）若某商品的条形码为692015246132X，根据材料计算验证码过程如下：
步骤1：自左向右编号，共13位；
步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和；
步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和；
步骤4：计算与t的和 ；
步骤5：取大于或等于m且为10的最小整数倍数 ；
步骤6：计算n与m的差就是校验码 .
（2）如图②，某商品条形码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为a，用只含有a的代数式表示 ；当时， ， ；当校验码时， .
11．（2024七上·深圳期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“阳光方程”例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”．
（1）若关于的一元一次方程与是“阳光方程”，则 ．
（2）已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为若其中一个方程的解为，求的值．
（3）已知关于的一元一次方程的解是，请写出解是的关于的一元一次方程：只需要补充含有的代数式．
若关于的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于的一元一次方程的解为 ．
12．（2024七上·茂名期末）某实践小组设计宣传牌：
如图1是长方形宣传牌，长，宽，中间可以用来设计的部分是长方形，且．四周空白部分的宽度相等，设四周宽度为；
如图2，为了美观，将长方形分割成大小相等的左、中、右三个小长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等；
如图3，每个栏目划出8个小正方形方格，中间有十字间隔，竖行两列中间间隔和横向中间间隔宽度比为．
（1） ， （用含的代数式表示）；
（2）求出图1四周宽度的值；
（3）求每个栏目的水平宽度；
（4）求栏目与栏目之间中缝的间距．
五、基本平面图形
13．（2024七上·福田期末）如图1，射线上有A、B两点，，.一动点P从点O出发，以每秒4个单位的速度沿射线的方向运动，当点P到达点A时，射线开始绕点A按逆时针方向以每秒5°的速度旋转，同时点P降速一半沿射线的方向运动（如图2），当点P到达点B时，射线旋转停止，接着，射线开始绕点B按顺时针方向以每秒15°的速度旋转，同时点P再降速一半沿射线的方向运动（如图3）.设点P运动的时间为t秒（）.
（1）的长等于 ；当点P到达点B时，等于 °；
（2）当射线与所在直线第一次重合（不包括图2的情形）时，点P是线段的中点吗 为什么
（3）在射线旋转的过程中，若它与所在直线第二次重合时所有运动停止，则t为多少秒时，所在直线与所在直线垂直 请直接写出t的值.
14．（2024七上·深圳期末）如图，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点放在互相垂直的两条直线、的垂足处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点顺时针旋转．
（1）如图，若，则 ， ；
（2）若射线是的角平分线，且．
若旋转到图的位置，的度数为多少？用含的代数式表示
在旋转过程中，若，求此时的值．
15．（2024七上·顺德期末）综合探究
将两块三角板如图1所示放置，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°，∠CDE＝90°，∠DCE＝30°，AC＝CD＝6．将△DCE 绕着点C顺时针旋转时CF平分∠BCD．
（1）如图1，当CD边与CA边重合时，求∠ECF的度数；
（2）如图2，在旋转过程中，当∠ACD＝2∠ECF时，求线段CD扫过的面积（结果保留π）；
（3）当边CD与CB重合时停止旋转，探究∠ACD与∠ECF满足的数量关系，并说明理由．
16．（2023七上·南海期末）综合探究
如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，点A在直线MN上，点D、E在直线MN上运动（点D不与点A重合），且始终满足CE平分∠BCD．
（1）当点D在点A左侧时，请直接写出∠CAD与∠CAE之间的数量关系；
（2）若∠CAE=60°，在点D、E运动的过程中，当△CDE是直角三角形时，求∠DCE的度数；
（3）请你在以点C为顶点的角中任选一个（∠BCD、∠ACD、∠ACB除外），在点D、E运动的过程中，探究所选角与∠ACD的数量关系，并写出具体过程．
17．（2024七上·坪山期末）【问题情境】乐乐学习了角的相关知识后，对角度的计算比较感兴趣，请你和乐乐一起来探究下面的问题吧．已知，射线分别是和的角平分线．
（1）【初步感知】若射线在的内部，且，求的度数；
（2）【探究发现】若射线在的内部绕点O旋转，则的度数为 ；
（3）【拓展延伸】若射线从出发，绕着点O顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数（不写探究过程）．
18．（2024七上·榕城期末）【综合探究】：如图1，一副三角板如图所示放置在直线MN上，∠ABO=90°，∠AOB=60°，三角板的顶点与另一个三角板∠COD的顶点重合在点O处，三角板的边OC，OB与直线MN重合，三角板其它的边都在直线MN的上方.
（1）【实践探究】：
如图2，若三角板AOB不动，将三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，经过t秒时，三角板COD的边OC恰好分.
①此时t= 秒：
②此时= °= ；
（2）【解决问题】：
如图2，在(1)的条件下，边OC恰好平分.时，同一时刻三角板AOB开始也绕点O以每秒的速度按相同方向旋转，那么再经过多长时间边OA与边OD第一次重合 (如图3)请说明理由；
（3）【拓展研究】：
如图3，在(2)的条件下，当边OA与边OD第一次重合时，两个三角板同时按顺时针方向再次转动一周后停止，请问两个三角板再次转动后，经过多少秒，边OB恰好平分请说明理由.
19．（2024七上·罗湖期末）综合探究：
【问题背景】：已知O是直线上的一点，射线在直线的上方，，将直角三角板的直角顶点放在O处，且直角三角板在直线的上方．
（1）【问题解决】：
如图1，若，则 ；
（2）若恰好平分，求和的度数；
（3）【拓展延伸】：
将图2中的三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，是否存在t值，使？若不存在，请说明理由；若存在，请求出t的值．
20．（2024七上·深圳期末）阅读理解，回答问题：
定义回顾：从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．角的平分线也可以通过折纸完成，如图（1），将含有的纸片经过顶点P对折叠，折痕所在的射线就是的平分线．利用角的平分线的定义，可以进行角的度数的计算．
问题解决：
（1）如图（2），点P，Q分别是长方形纸片的对边，上的点，连结，将和分别对折，使点A，B都分别落在上的和处，点C落在处，分别得折痕，，则的度数是 ；
（2）如图（3），将长方形纸片分别沿直线，折叠，使点A，B分别落在点，处，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分．
①若，，求的度数；
②若，求的度数（用含的式子表示）；
（3）将长方形纸片分别沿直线，折叠，使点A，B，C分别落在点，，处，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分有重叠部分，如图（4）．若，请直接写出的度数（用含的式子表示）．
21．（2024七上·罗湖期末）综合探究：
【问题背景】：已知O是直线上的一点，射线在直线的上方，，将直角三角板的直角顶点放在O处，且直角三角板在直线的上方．
【问题解决】：
（1）如图1，若，则______；
（2）若恰好平分，求和的度数；
【拓展延伸】：
（3）将图2中的三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，是否存在t值，使？若不存在，请说明理由；若存在，请求出t的值．
答案解析部分
1．【答案】（1）12
（2）解：由题意得：，
解得：，
答：当运动到的中点时，的值为3；
（3）解：点表示的点为：，点表示的数为：，
则：，
解得：或（不合题意，舍去），
答：当时，的值为．
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（1）AB==12.
故答案为：12.
【分析】（1）根据数轴两点之间的距离等于两坐标差的绝对值，即可求得；
（2）根据路程=时间×速度列出一元一次方程，解方程，即可求得；
（3）先用t分别表示出点P和点Q表示的数，再根据 列出一元一次方程，求解，即可求得.
2．【答案】（1）解：∵，，两点到原点的距离相等，，
数轴上表示如下所示：
（2）解：∵数轴上两点，所表示的数分别为，，，
∴.
当时，
∴，
解得：或
（3）解：
设运动时间为t，
由题意得：点对应的数：，点对应的数：，
∵，
∴，
解得：或
t＝4时，，
时，
∴点对应的数或－2.
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的折线（双动点）模型
【解析】【分析】（1）根据题意可得A，B到原点的距离都是5，如此可画出数轴；
（2）根据题意AB=10，即可得到a与b的数量关系，再把a=2代入解绝对值方程即可；
（3）设运动t秒，分别表示出P和Q点表示的数，根据PQ=2列绝对值方程求解即可.最后再把t值代入求出P点对应的数.
3．【答案】（1）解：如图，点在线段上运动时，线段的长度不发生变化，
理由如下：
点为线段的中点，点为线段的中点，
，，
点在线段上运动时，线段的长度不发生变化；
（2）解：①，；
②点与点相距3个单位长度，分两种情况：
如图，当点在点左侧时，，解得，
如图，当点在点右侧时，，解得，
综上所述，运动6或秒时，点与点相距3个单位长度；
（3）12
【知识点】线段的中点；一元一次方程的实际应用-几何问题；线段的和、差、倍、分的简单计算；钟面角
【解析】【解答】解：（2）①点，在数轴上表示的数分别为和10，则在运动过程中，点表示的数为，点表示的数为，
故答案为：，；
（3）时针每小时转＝30°，分针每分转＝6°，
设经过x分钟后，∠AOB 的度数第一次等于126°，
根据题意得：6x＋60 0.5x＝126，
解得：x＝12，
∴经过12分钟后，∠AOB 的度数第一次等于126°．
故答案为：12．
【分析】（1）先利用线段中点的性质可得，，再利用线段的和差及等量代换可得，从而得解；
（2）①利用数轴上两点之间的距离公式求出点P、Q表示的数即可；
②分类讨论：第一种情况：当点在点左侧时；第二种情况：当点在点右侧时，再分别画出图形并列出方程求解即可；
（3）设经过x分钟后，∠AOB 的度数第一次等于126°，根据“∠AOB 的度数第一次等于126°”列出方程6x＋60 0.5x＝126，再求解即可.
4．【答案】（1）8
（2）解：因为和关于的“美好关联数”为，
所以，
所以，
解得或；
（3）1；820
【知识点】定义新运算；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：（1）-3和5关于2的“美好关联数”为|-3-2|+|5-2|=5+3=8.
故答案为：8.
（3）①∵和关于的“美好关联数”为，
∴|x0-1|+|x1-1|=1，
在数轴上可以看着数x0到1的距离与数x1到1的距离的和等于1，
∴x0+x1有最小值，最小值为1；
②∵和关于的“美好关联数”为，
∴|x1-2|+|x2-2|=1，
∵1≤x1≤2，2≤x2≤3，
∴x1+x2的最小值为1+2=3；
同理可知x3+x4的最小值为3+4=7；
x5+x6的最小值为5+6=11；
x39+x40的最小值为39+40=79；
∴
∴的最小值为820.
故答案为：1，820.
【分析】（1）利用美好关联数”的定义，列式计算即可.
（2）利用美好关联数”的定义，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
（3）①利用“美好关联数”的定义，结合已知条件可得到|x0-1|+|x1-1|=1，可推出在数轴上可以看着数x0到1的距离与数x1到1的距离的和等于1，据此可得到x0+x1的最小值；②利用和关于的“美好关联数”为，可得到|x1-2|+|x2-2|=1，利用1≤x1≤2，2≤x2≤3，可得到x1+x2的最小值为1+2=3；同理可知x3+x4的最小值为3+4=7；x5+x6的最小值为5+6=11；根据其规律可得到x39+x40的最小值为39+40=79；然后列式计算求出的最小值.
5．【答案】（1）解：3号正方形的边长：x+y，
4号正方形的边长：x+y+x＝2x+y.
（2）解：5号长方形的长：2x+y+x＝3x+y，
宽：y﹣x，
周长：2（3x+y）+2（y﹣x）
＝6x+2y+2y﹣2x
＝4x+4y
＝4（x+y），
∵4（x+y）＝10，
∴x+y＝10÷4＝2.5，
∴3号正方形的边长是2.5
（3）解：如图：
阴影部分左右两边部分的长度和长方形的两个宽相等，上边和下边部分的长度比长方形ABCD的长少了（x+y）
∴70+2.5+2.5＝75．
即长方形ABCD的周长是75.
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】（1）根据各正方形边长之间的和差关系即可表示3，4两个正方形的边长；
（2）根据各正方形边长之间的和差关系表示出5号正方形的长和宽，从而得到周长，化简即可得到3号正方形的边长；
（3）利用平移得到长方形ABCD的周长比阴影部分的周长多了两个3号正方形的边长，在（2）的条件下即可得到长方形ABCD的周长.
6．【答案】（1）b；；
（2）解：当a=20，b=3时，b（a-2b）2=3×（20-2×3）2=588（cm3），
当a=20，b=4时，b（a-2b）2=4×（20-2×4）2=576（cm3），
∴m=588，n=576.
（3）解：由表中数据可知，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先增大后减小；由表中数据可知，当b=3时，容积最大为588cm3.
【知识点】探索数与式的规律；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：（1） 如果原正方形纸片的边长为a，剪去的正方形的边长为b，则折成的无盖长方体盒子的高、底面积、容积分别 b、（a-2b）2、b（a-2b）2；
故答案为：b、（a-2b）2、b（a-2b）2；【分析】（1）通过折叠可知，折成的无盖长方体盒子的高为b，底面积是正方形，正方形的面积=边长×边长，而边长为（a-2b），所以底面正方形面积为（a-2b）2，再由长方体的体积=底面积×高，可以出长方体盒子的容积即体积；
（2）由表中数据可以明确，求m、n的值，就是分别求当a=20，b=3和b=4时长方体的体积，求出即可得到m、n的值；
（3）通过观察表中数据可以猜想随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化的规律；并分析猜想当剪去图形的边长为3时，所得的无盖长方体的容积最大，此时最大容积是588cm3.
7．【答案】（1）b＝3c
（2）b＝4c
（3）解：由题意可知长方体的体积为：
V=c（20﹣2c）（12﹣2c），
∵20-2c>0，12-2c>0，c>0，
∴0∴c只能取1、2、3、4、5这几个值，
据此可以得到c取整数时，所得长方体的体积如下：
c/cm 1 2 2 4 5
V/cm3 180 256 252 192 100
由上表可以看出，当c＝2cm时，所得长方体的体积最大，为256cm3．
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：（1）如图：
∵四角减去4个同样大小边长为c厘米的小正方形，沿虚线折起来做成了正方体纸盒，
∴AB和CD作为正方体的棱，有AB=CD=c，
∵BC也是一条棱，即也有BC=c.
∴b=3c.
故答案为：b=3c.
（2）根据题意，折成的长方体的底面积=4个边长为c厘米的小正方形的面积和.
长方体的底面积可以表示为（b-2c）2，也可以表示成4c2，
所以有(b-2c)2=4c2，所以b=4c.
故答案为：b=4c.
【分析】（1）根据题意最终围成的是正方体，各边长相等，可知AB=BC=CD，从而可得b与c的数量关系；
（2）根据题意，剪下的四个小正方形体的面积和=长方体的底面积，可得(b-2c)2=4c2，整理即可得到此时b与c的数量关系；
（3）先把长方体的体积表示出来，根据各边长都是正数可确定c的取值范围，从而能够确定可取到的整数c的值.逐一代入计算体积，即可得到最大体积时c的取值.
8．【答案】（1）日历图中框出的9个数之和为：2+3+4+9+10+11+16+17+18＝90，
该方框正中 间的数是10，90＝9×10，
所以这9个数的和是该方框正中间的数的9倍；
（2）5个数之和为6+14+16+18+26=80，16×5=80；用代数式表示十字框中的五个数的和=5x；
（3）①∵6+14+16+18+26＝80＝16×5，
∴十字框中的五个数的和是中间的数16的5倍．
②设中间的数为x，则另外四个数分别为x﹣10、x﹣2、x+2、x+10，
∴（x﹣10）+（x﹣2）+x+（x+2）+（x+10）＝5x．
③不能，理由如下：
设中间的数为x，
根据题意得：5x＝2010，
解得：x＝402．
∵402在第41行的第一个数字，
∴框住的五个数的和不能等于2010．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；用代数式表示数值变化规律
【解析】【分析】（1）先求出9个数之和，找出与正中心的数的关系即可；
（2）先求出五个数之和，中间数乘以5刚好等于五个数之和，可直接列代数式；
（3）根据五个数之和等于5乘以中间数的积，列一元一次方程，解方程即可判断.
9．【答案】（1）解：①日历图中框出的9个数之和为：，
该方框正中间的数是11，，
所以这9个数的和是该方框正中间的数的9倍；
②成立；如果用a表示正中间的数，则其他八个数依次为：，
∵，
∴这9个数的和等于；
（2）解：①，
十字框中的五个数的和是中间的数16的5倍；
②设中间的数为x，则另外四个数分别为、、、，
；
③不能，理由如下：
设中间的数为x，根据题意得：，
解得；
∵402在第41行的第一个数字，
框住的五个数的和不能等于2010
【知识点】探索数与式的规律；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；用代数式表示数值变化规律
【解析】【分析】（1）①先计算带阴影的方框中的9个数之和，再通过观察、分析可以得到，带阴影的方框中的9个数之和是方框正中间的数的9倍；
②假设方框正中间的数为a，通过其他的数与这个数之间的数量关系，把它们分别用含a的式子表示出来，再把这些式子加起来看看它们的和与这个数的关系，即可得出结论；
（2）按照（1）的方法，①再把十字框中的五个数加起来，看看它们的的和与中间的这个数16的关系，可以得出：十字框中的五个数的和是中间的数16的5倍；
②假设中间的数为x，通过其他的数与这个数之间的数量关系，把它们分别用含x的式子表示出来，再把这些式子加起来看看它们的和与这个数的关系，即可得出结论；
③通过②我们可以发现十字框中的五个数的和是中间的数的5倍，而2010是5的倍数，所以看起来是可行的，用2010÷5=402，所以说，中间的这个数应该是402，但通过观察发现，402在第41行第一个数字，所以可以得出结论：框住的五个数的和不能等于2010.
10．【答案】（1）80；80；0
（2）；59；60；9
【知识点】一元一次方程的其他应用；有理数的加法法则；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：（1）3s+t=3×21+17=80；80等于80，且为10 的最小整数倍数，即n=80；80-80=0，即X=0.
故答案为：80；80；0.
（2）由图知，编码为6912001001a5X.
则s=9+2+0+0+1+5=17，t=6+1+0+1+0+a=8+a，则m=3s+t=3×17+8+a=59+a；
当a=0时，m=59+0=59，n=60；
当校验码X=2时，n=59+a+2=61+a，因为n为10的最小整数倍数，所以n=70，即a=9.
故答案为：；59；60；9
【分析】（1）根据题干实例计算即可；
（2）根据题干实例计算，只是其中一个数字用a表示而已，通过解一元一次方程求解即可.
11．【答案】（1）
（2）解：“阳光方程”的一个解为，则另一个解为x=，
这两个“阳光方程”的解的差为5，
则或，
解得或．
故的值为或；
（3）解：①y+1；-y-1；
②y=-2024.
【知识点】定义新运算；解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）解x+2m=0得x=-2m.
解3x-2=-x得.
因为一元一次方程x+2m=0和3x-2=-x是"阳光方程"，
所以
解得：
故答案为：.
（3）①：关于x的一元一次方程的解为x=2024，那么只有是这个形式的方程，解都不变.所以令x=y+1，则方程的解满足，解为.
方程可变形为：，
故答案为：y+1；-y-1.
②：解得x=2023.
因为一元一次方程和互为阳光方程，
∴一元一次方程的解为x=1-2023，即x=-2022.
∵可变形为：
∴y+2=-2022，
∴y=-2024.
故答案为：y=-2024.
【分析】（1）根据题意分别求出两个方程的解，再建立关于m的方程求解即可；
（2）根据题意把另外一个解设为1-k，建立关于k的方程求解；
（3）①将未知方程变形成的同解方程，即可解决问题；
②先求解方程，再根据"阳光方程"的定义得到方程的解，观察发现变形后就是的同解方程，问题即可解决.
12．【答案】（1）；
（2）解：，
，
解得，
∴四周宽度是.
（3）解：∵x=10cm，所以长方形的宽BC长：220－2×10=200（cm）.
设每个栏目的水平宽度为，每栏竖行两列中间间隔是，则横向中间间隔为，
根据正方形边长相等可得：，
解得，
∴每个栏目的水平宽度为.
（4）解：∵，
∴长方形栏目与栏目之间中缝的间距为．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：（1）由题意得： AB= (330-2x) cm，BC= ( 220-2x ) cm；
故答案为：（330-2x）；（220-2x）.
【分析】（1）根据图形即可得到AB和BC的长；
（2）根据AB=1.55BC，得到关于x的方程，求解即可.
（3）求出BC长，设每个栏目宽ycm，根据每个正方形的边长相等，每个栏目竖列有4个小正方形，横行有2个小正方形，可得方程，求解即可.
（4）可求出AB长，减3个栏目宽，得到两个中缝总间距，在除以2就得到每一个间距.
13．【答案】（1）24；120°
（2）解：
P为中点，理由如下：
当与线段重合时，
所用时间为S
此时
P为中点
（3）解：或37.
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴的折线（双动点）模型
【解析】【解答】解：（1）∵OA=12，OB=3OA，
∴OB=36.
∴AB=OB-OA=24.
通过题意，可知点P从点A移动到点B所需时间为：.
∴射线AM旋转的度数为：5°×12=60°.
∴∠OAB=180°-60°=120°.
故答案为：24；120°.
（3）
当时，则旋转或
所用时间为
，
或37.
【分析】（1）由于AB=OB-OA，根据条件先计算OB，再连同OA代入计算AB；
用AB长除以点P降速一半后的速度即可计算出∠OAB；
（2）先计算出BM与AB第一次重合所需时间，用该时间乘以P点运动速度（P先降速一半，然后再降速一半，即=1个单位/秒）得到PB长，然后与（1）中所算出的AB进行比较即可得出结论；
（3）通过画图分析可知， BM与所在直线第二次重合前，BM所在直线与OA所在直线垂直的情况会发生两次，第一次是BM旋转150°，第二次则很容易知道是150°+180°=330°，分别除以速度15°/秒即可算出旋转用时，然后各自加上P点从O点运动到B的时间即可.
14．【答案】（1）；
（2）解：因为，，
所以，
因为射线是的角平分线，
所以，
所以；
当位于内部时，如图，
因为平分，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以；
当位于内部时，如图，
因为，，
所以，
因为平分，
所以， ，
所以，，
因为，
所以，
解得，
综上所述，若，的值为或．
【知识点】角的运算；垂线的概念；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）由题意得：OA=OB，∠BOA=90°，∠AOQ=∠MOB=α.
当∠MOB=α=26°，MN⊥PQ，
∴∠BOP=90° -α=64°.
∵∠AOM+∠MOB=∠AOB=90°， ∠MOB+∠BOP=∠MOP=90°，
∴∠AOM=∠BOP.
∴∠AOM+∠BOQ=∠BOP+∠BOQ=∠POQ= 180°.
故答案为：64°；180°.
【分析】（1）根据题意得到∠BOP=90° -∠MOB，∠AOM=∠BOP，即可解决问题；
（2）①∠BON=180°-∠BOM，所以根据OC平分∠BOM，∠POC=β，表示出∠BOM即可解决问题；
②旋转过程中，有两种情况都满足∠AOC=2∠AOM，要分别讨论. 当OA位于∠QOM内部时，∠AOC=2∠MOC=2∠BOC，得∠AOM=∠MOC=∠BOC；当OA位于∠POM内部时，∠AOC=∠AOB-∠BOC，∠BOC=∠MOC=90°-∠POC；∠AOM=∠BOM-∠AOB，结合角平分线的定义利用角的和差倍变换即可表示出两个角的度数.
15．【答案】（1）解：当CD边与CA边重合时，∠BCD＝∠BCA＝90°，
∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠BCD＝45°，
∵∠DCE＝30°，
∴∠ECF＝∠DCF﹣∠DCE＝15°，
∴∠ECF为15°；
（2）解：设∠ACD为x°，
∵∠ACD＝2∠ECF，
∴∠ECF＝x°，
∴∠DCF＝x°+30°，
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCD＝2∠DCF＝x°+60°，
∵∠BCD+∠ACD＝90°，
∴x°+60°+x°＝90°，
∴x＝15，即∠ACD为15°，
∵
∴线段CD扫过的面积为；
（3）解：当∠ACD＜30°时，如图：
∵∠DCE＝30°，
∴∠DCF＝30°+∠ECF，
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCD＝2∠DCF＝60°+2∠ECF，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACD+60°+2∠ECF＝90°，
∴∠ACD+2∠ECF＝30°；
当30°≤∠ACD＜90°时，如图：
∵∠DCE＝30°，
∴∠DCF＝30°﹣∠ECF，
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCD＝2∠DCF＝60°﹣2∠ECF，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACD+60°﹣2∠ECF＝90°，
∴∠ACD﹣2∠ECF＝30°；
综上所述，当∠ACD＜30°时，∠ACD+2∠ECF＝30°；当30°≤∠ACD＜90°时，∠ACD﹣2∠ECF＝30°．
【知识点】角的运算；扇形面积的计算；图形的旋转；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DCF=∠BCD，再根据∠ECF=∠DCF-∠DCE，即可求得；
（2）设∠ACD为x°，分别表述出∠ECF，∠DCF，根据角平分线的定义可得∠BCD，再根据∠BCD+∠ACD=90°列方程，解出x，再根据扇形面积的公式计算面积即可；
（3）分两种情况，当∠ACD＜30°和30°≤∠ACD＜90°时，先用∠ECF表示出∠BCD，根据∠ACD+∠BCD=90°，即可求得.
16．【答案】（1）解：∵点D、E在直线MN上运动，∠ACB＝90°，
∴点E始终在点A的右侧，
∵点D在点A左侧，
∴∠CAD+∠CAE＝180°
（2）解：∵点D、E在直线MN上运动，∠ACB＝90°，
∴点E始终在点A的右侧，
∵△CDE是直角三角形，
∴∠CDE＝90°或∠CED＝90°，
①若∠CDE＝90°，∠CAD＝∠CAE＝60°，
，
∴∠ACD＝180°﹣∠CDE﹣∠CAD＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝60°
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠ECB＝∠BCD＝30°，
②若∠CED＝90°，∠CAE＝60°，
∴∠ACE＝180°﹣∠CAE﹣∠CEA＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝60°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠ECB＝60°
综上所述：∠DCE的度数为30°或60°.
（3）解：探究∠ACE与∠ACD的数量关系，
∵点D、E在直线MN上运动，∠ACB＝90°，
∴点E始终在点A的右侧，
①点D在点A左侧时，
，
∵CE平分∠BCD，
∴∠ACD+∠ACE=∠DCE＝∠BCE，
∵∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝90°﹣∠ACE，
∴∠ACD+∠ACE＝90°﹣∠ACE，即∠ACD+2∠ACE＝90°，
②点D在点和点E之间时，
，
∵CE平分∠BCD，
∴∠ECB＝∠DCE＝∠DCB，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=∠ACD+2∠ECB=90°.
∵∠ACE+∠ECB＝∠ACB＝90°，
∴∠ECB＝90°﹣∠ACE，
∴∠ACD+2（90°﹣∠ACE）＝90°，
即2∠ACE﹣∠ACD＝90°．
③点D在点E右侧时，
∵CE平分∠BCD，
∴∠ECB＝∠DCE＝∠DCB，
∵∠ACE=∠ACB+∠BCE=90°+∠BCE，
∴∠BCE=∠ACE－90°.
又∵∠ACD=∠ACB+∠DCB=90°+2∠BCE，
∴∠ACD=∠ACB+∠DCB=90°+2（∠ACE－90°），
即2∠ACE－∠ACD＝90°.
【知识点】角的运算；数学思想；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据点D，A，E的位置关系即可判断∠CAD与∠CAE之间的数量关系；
（2）根据△CDE是直角三角形分∠CDE＝90°和∠CED＝90°两种情况进行讨论，先计算加ACD（或∠ACE）的值，根据∠ACB=90°，得到∠BCD（或∠BCE）的值，再根据角平分线得∠DCE的值；
（3）探究∠ACE与∠ACD的数量关系时，点E始终在点A的右侧，故分点D在点A左侧，点D在点A和点E之间，点D在点E右侧三种情况进行讨论.
17．【答案】（1）解：，，
，
射线分别是和的角平分线，
，，
；
（2）
（3）分两种情况：
当在三角形内部时，如下图所示：
射线分别是和的角平分线，
，，
，
，
，
，
；
当在三角形外部时，如下图所示：
射线分别是和的角平分线，
，，
，
，
，
，
，
，
，
综上可知，的度数为或
【知识点】角的运算；旋转的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】本题考查角的加减运算，角平分线的定义：
（1）根据角的加减运算可先求出，再根据角平分线的定义求出，，利用角的加减运算可得：，代入数据可求出答案.
（2）根据角平分线的定义可得，，利用角的加减运算可得：，进而证明，代入数据可求出答案；
（3）分两种情况：当在三角形内部时，利用角的加减运算，可证明；当在三角形外部时，利用角的加减运算，结合可得，代入数据可求出答案.
18．【答案】（1）5；60；3600
（2）解：∵三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，三角板AOB开始也绕点O以每秒10°的速度按相同方向旋转，
∴两个三角板的速度差为每秒4°，
∵∠AOD＝60°，当∠AOD＝0°时，边OA与边OD第一次重合，
∴60÷4＝15（秒），
∴再经过15秒边OA与边OD第一次重合.
（3）解：两个三角板同时按顺时针方向再次转动一周后停止，
∴0°＜旋转角度＜360°，
边OA与边OD重合，两个三角板再次转动15°，边OB恰好平分∠COD，∠COB＝∠BOD＝45°，
此时经过15÷4=秒，边OB恰好平分∠COD，
∵三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，三角板AOB开始也绕点O以每秒10°的速度按相同方向旋转，
∴三角板AOB旋转速度快，旋转一周后停下，三角板COD还在旋转，
∵边OB恰好平分∠COD，
∴∠COB＝∠BOD＝45°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠AOD＝15°，
∴三角板AOB经过360°÷10°＝36（秒）停下，三角板COD经过36秒旋转了36×6°＝216°，还需要旋转360° 216°＝144°停止，
此时经过36＋（144° 15°）÷6＝57.5秒，边OB恰好平分∠COD，
∴经过或57.5秒，边OB恰好平分∠COD．
【知识点】角的运算；图形的旋转；旋转的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）据题意得∠BOC为旋转角，
∵三角板COD的边OC恰好分∠AOB，∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝30°，∠COA＝30°，
∵三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，经过t秒，
∴t＝30÷6＝5（秒），
∵∠COD＝90°，
∴∠AOD＝∠COD ∠COA＝90° 30°＝60°＝3600'，
故答案为：5，60，3600.
【分析】（1）根据三角板COD的边OC恰好分∠AOB，可得∠AOB＝60°，再结合三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，求出t，最后求出∠AOD的度数即可；
（2）先求速度差，再利用旋转角除以速度差，即可求出时间；
（3）先分析两个三角板旋转多少度，才能使边OB恰好平分∠COD，再根据两个三角板的旋转速度，求出时间即可.
19．【答案】（1）30
（2）解：，
，
OE恰好平分，
，
．
（3）解：情况一：
，
，
，
；
情况二：，
，
，
，
．
综上所述，秒或秒时，．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：(1)根据题意得，
∴；
故答案为：30
【分析】(1)根据题意得，由，计算求解即可；
（2）由平角的性质得出 ，根据角平分线的定义可得，进而可得答案；
（3）由题意分类讨论：OC在三角形的外部；OC在三角形的内部，分别计算求解即可.
20．【答案】（1）
（2）解：①由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
即；
②同理，，，
∴，
∵，
则，
即；
拓广探索：
（3）解：同理，由题意得：，，
则，
∵，
∴，
即．
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）由折叠知：∠APN=∠QPN，∠BPM=∠QPM，
∵∠APN+∠QPN+∠BPM+∠QPM=180°，
∴∠QPN+∠QPM=∠NPM=90°.
故答案为：90°.
【分析】（1）由折叠知∠APN=∠QPN，∠BPM=∠QPM，根据平角的定义即可求解；
（2）①由折叠知，，由平角的定义可得，据此求出，再利用角的和差即可求解；
②由折叠知，，由平角的定义可得，据此求出，再利用角的和差即可；
（3）由折叠知，，由平角的定义可得，据此可得，再利用即可求解.
21．【答案】解：（1）30
（2），
，
OE恰好平分，
，
．
（3）情况一：
，
，
，
；
情况二：，
，
，
，
．
综上所述，秒或秒时，．
【知识点】角的运算；角平分线的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1），，
，
．
故答案为30．
【分析】（1）根据题意，结合给定的图形，利用角的和差，求得，进而求得的值．
（2）根据角的平分线的定义，求得，再根据角度和差，求得的值，即可得到答案.
（3）根据题意，画出图形，分类两种情况讨论，根据角的和差，列出方程，即可求解．
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