湖南省岳阳市临湘市2025届高三上学期11月期中考试数学试题
1．（2024高三上·临湘期中）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024高三上·临湘期中）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三上·临湘期中）中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中，，，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是（参考数据：，铜的密度为8.96）（ ）
A．1kg B．2kg C．3kg D．0.5kg
4．（2024高三上·临湘期中）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024高三上·临湘期中）在中，为边上一点，，且的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三上·临湘期中）设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三上·临湘期中）直线l过双曲线E：的左顶点A，斜率为，与双曲线的渐近线分别相交于M，N两点，且，则E的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
8．（2024高三上·临湘期中）已知函数f(x)＝ax＋ex－(1＋ln a)x(，a≠1)，对任意x1，x2∈[0，1]，不等式|f(x1)－f(x2)|≤aln a＋e－4恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B．[2，e] C．[e，＋∞) D．(e，＋∞)
9．（2024高三上·临湘期中）已知数列是等差数列，是等比数列，则下列说法中正确的是（ ）
A．将数列的前m项去掉，其余各项依次构成的数列是等差数列
B．数列，，，…，是等差数列
C．将数列的前m项去掉，其余各项依次构成的数列不是等比数列
D．数列，，，，…，是等比数列
10．（2024高三上·临湘期中）已知函数和且，若两函数图象相交，则其交点的个数可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2024高三上·临湘期中）已知函数的定义域为R，，，则（ ）
A． B．
C．为奇函数 D．
12．（2024高三上·临湘期中）设是定义在上的可导函数，其导数为，若是奇函数，且对于任意的，，则对于任意的，下列说法正确的是（ ）
A．都是的周期 B．曲线关于点对称
C．曲线关于直线对称 D．都是偶函数
13．（2024高三上·临湘期中）已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝ .
14．（2024高三上·临湘期中）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则 ．
15．（2024高三上·临湘期中）设函数，若恒成立，则的最小值为 .
16．（2024高三上·临湘期中）已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为 .
17．（2024高三上·临湘期中）的内角所对的边分别为，是边上的一点，且满足，若，．
（1）求；
（2）求三角形的面积．
18．（2024高三上·临湘期中）已知向量，，函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线交AB于点D，若恰好为函数的最大值，且此时，求3a＋4b的最小值．
19．（2024高三上·临湘期中）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）设，若对于恒成立，求的最小值．
20．（2024高三上·临湘期中）一个半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米．已知水轮按逆时针作匀速转动，每6秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．
（1）以过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线L的直线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；
（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距离水面的高度不低于2米？
21．（2024高三上·临湘期中）已知椭圆的标准方程，其左右焦点分别为．
（1）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程；
（2）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，证直线过定点，并求面积的最大值．
22．（2024高三上·临湘期中）多元导数在微积分学中有重要的应用.设是由，，…等多个自变量唯一确定的因变量，则当变化为时，变化为，记为对的导数，其符号为.和一般导数一样，若在上，已知，则随着的增大而增大；反之，已知，则随着的增大而减小.多元导数除满足一般分式的运算性质外，还具有下列性质：①可加性：；②乘法法则：；③除法法则：；④复合法则：.记.（为自然对数的底数），
（1）写出和的表达式；
（2）已知方程有两实根，.
①求出的取值范围；
②证明，并写出随的变化趋势.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：因为，
其在复平面内对应的点为，位于第二象限.
故答案为：B.
【分析】根据复数除法运算法则得出复数z，结合复数的几何意义得出复数在复平面内对应的点坐标，再根据点的坐标确定点所在的象限.
2．【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：由得，当时，，此时，，故选项C、选项D错误；
当时，，故选项A错误；
当时，则成立，故选项B正确.
故答案为：B.
【分析】根据不等式的基本性质，从而逐项判断找出正确的选项.
3．【答案】A
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得惊鸟铃的体积约为，
所以该惊鸟铃的质量约为（kg）．
故答案为：A．
【分析】根据已知条件和圆锥的体积公式，则得出惊鸟铃的体积，再结合质量公式求出该惊鸟铃的质量.
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式
【解析】【解答】解：若，，，则，充分性成立；
若，可能，，此时，所以必要性不成立，
综上所述，“”是“”的充分不必要条件．
故答案为：A．
【分析】根据基本不等式和不等式的性质以及特殊值法，再利用充分条件、必要条件的判断方法，则找出正确的选项．
5．【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：依题意，如图：
因为，解得，
所以为等腰三角形，则，
在中，由正弦定理可得，
即，解得，
因为，所以为锐角，
所以，
所以
.
故答案为：A.
【分析】由三角形的面积公式求出的长，再根据等腰三角形的定义，则判断出为等腰三角形，则，在中，由正弦定理求出的值，再根据同角三角函数基本关系式求出的值，则由和两角差的正弦公式，从而得出的值.
6．【答案】C
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：依题意可得ω>0 ，因为x∈（0，π），所以 ，
要使函数在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx， 的图象如下所示：
则，
解得 ，
即ω∈ ．
故选：C
【分析】由x的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式，解得即可．
7．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：由题意得直线为，双曲线的渐近线方程为，
由，得，即，
由，得，即，
因为，所以，
所以，化简得，
所以，
所以双曲线的离心率为.
故答案为：A.
【分析】根据题意求出直线的方程，分别与两条渐近线方程联立求出两点的纵坐标，由结合向量共线的坐标表示，则求出的关系，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式和双曲线的离心率公式，则得出双曲线的离心率.
8．【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：依题意，，①
因为，
当时，对任意的，，，，恒有；
当时，，，，，恒有，
所以在是单调递增函数，
那么对任意的，，不等式恒成立，
只需，②
因为，，
所以，
即，即，
所以，则，当时，①显然成立.
故答案为：C.
【分析】利用导数判断出函数在是单调性，对任意的，，不等式恒成立，则转化为，再求出函数的最值，则，即，解不等式得出实数a的取值范围.
9．【答案】A,B,D
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：对于A： 设的公差为，将数列的前m项去掉，
其余各项依次为，则故构成的数列依然是等差数列，故A正确；
对于B：因为数列是等差数列，
所以数列，，，…，，
所以构成公差为的等差数列，故B正确；
对于C：设的公比为，等比数列去掉前m项后，
其余各项依次为，
所以依然构成等比数列，故C错误；
对于D：设公比为，所以，
故数列，，，，…，是等比数列，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由等差数列的定义、等比数列的定义，从而逐项判断找出说法正确的选项.
10．【答案】A,B,C
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；导数的几何意义
【解析】【解答】（一）当时，函数和的图象呈现以下三种情况：
如图2，当函数和的图象只有一个公共点时，此公共点必在直线上，且函数图象在此公共点的切线即为直线，，
所以有，则，，所以，
即公共点为，
结合图象有以下结论：
（1）当时，函数和的图象没有公共点（如图1）；
（2）当函数和的图象只有一个公共点（如图2）；
（3）当函数和的图象有两个公共点（如图3）．
（二）当时，函数和的图象呈现以下三种情况（把图象适当放大）：
图5中，函数和的图象只有一个公共点，此公共点在直线上，且在该公共点处，有公切线，此公切线斜率为（与直线垂直），
所以，解得，即公共点为，
结合图象得以下结论：
（4）当时，函数和的图象有三个公共点（如图4）；
（5）当时，函数和的图象有一个公共点（如图5）；
（6）当时，函数和的图象有一个公共点（如图6）；
（5）（6）可合二为一：当时，函数和的图象有一个公共点．
综上，函数与的图象的交点个数可为0，1，2，3，
故答案为：ABC．
【分析】利用已知条件和指数函数的图象、对数函数的图象，再利用导数求函数在此公共点的切线的方法，从而判断出两函数图象的交点的个数．
11．【答案】B,C,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：对于A：令，，则，将代入得，即，故A错误；
对于B：由，令可得，
若存在x使得，
则上式变为，显然不成立，所以，
又，
因为，所以，
将整理为，
因为，即，所以，故B正确；
对于C：令，
则，
且，所以为奇函数，故C正确；
对于D：当时，，，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，
由可知，
因为，所以，
所以，故D正确；
故选：BCD．
【分析】利用赋值法求得即可判断A；利用赋值可得，并且判断出，由不等式的性质可得，即可判断B；利用函数的奇偶性以及的值即可判断C；利用等比数列的判定可得的通项公式，利用等比数列的求和公式可得，即可判断D．
12．【答案】B,C
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；简单复合函数求导法则；图形的对称性
【解析】【解答】解：由是奇函数，故，
则，则，
即，故关于对称，
由，则，即，
故关于中心对称，
由，则，
又因为，故，
即，则，
故，即，
故，故周期为.
对于A：当时，，故A错误；
对于B：由周期为，故，
又因为，故，
故，
故曲线关于点对称，故B正确；
对于C：由周期为，故，
又因为，故，
故曲线关于直线对称，故C正确；
对于D：由选项B得，故，
又因为周期为，则，故，
又因为，则函数都是奇函数，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】结合题意，借助导数的运算法则，则可判断函数的对称性，再借助赋值法和 周期函数的定义，则得出函数的周期，再利用函数的周期性和函数的图象的对称性，从而逐项判断找出说法正确的选项.
13．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为α，β均为锐角，所以－<α－β<，
又因为sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝，
又因为sin α＝，所以cos α＝，
所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝，
所以β＝.
故答案为：.
【分析】通过α，β，α－β的取值范围求出这些角的正弦值和余弦值，再通过sin β＝sin[α－(α－β)]和两角差的正弦公式，从而可得sinβ的值，进而可得角β的值.
14．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从写有数字1，2，2，3，4，5，6的7张卡片中任取3张共有种取法，
其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有种，
所以.
故答案为：.
【分析】根据古典概率公式和组合数公式，从而得出的值.
15．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：当时，；
当时，，
当时，；
当时，；
若恒成立，则，即，
所以，
所以，当，时，取到最小值.
故答案为：.
【分析】根据对数的单调性可得当时，；当时，，即可由不等式恒成立问题求解方法，从而得出，再由二次函数的开口方向和对称性以及单调性，得出二次函数的最小值，即得出的最小值.
16．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：易知当时，；
当时，，
因为，所以，
令，得，则，故，
令，则，
令得；令得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，，
因为，所以，
则的取值范围为.
故答案为：.
【分析】先求函数的值域，再由题意得到，根据，可将化简为，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值即可.
17．【答案】（1）解：因为，由正弦定理得，整理可得，
即且，
则，可得，
因为，所以.
（2）解：因为，可得，两边平方得，即，
整理可得，解得（舍负），
所以三角形的面积．
【知识点】平面向量的数量积运算；空间向量基本定理；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据题意和正弦定理边化角，再结合三角恒等变换和三角形中角C的取值范围，从而得出角B的余弦值，再根据三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值.
（2）由已知条件和空间向量基本定理以及数量积的运算法则，从而解方程得出a的值，再根据三角形的面积公式得出三角形的面积．
（1）因为，由正弦定理得，
整理可得，即，
且，则，可得，
因为，所以.
（2）因为，可得，
两边平方得，即，
整理可得，解得（舍负），
所以三角形的面积．
18．【答案】（1）解：
，
则函数的最小正周期.
（2）解：由（1）可知，
当，即时，取得最大值为，
则，，
因为平分，所以，
则点分别到的距离，
由，
则，
即，整理可得，
则
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故最小值为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据数量积的坐标表示和三角恒等变换，从而化简函数为正弦型函数，再结合正弦型函数的最小正周期公式，则得出函数的最小正周期.
（2）由（1）可知，根据换元法和正弦函数的图象求最值的方法，则得出函数的最大值，再利用角平分线的性质得出点分别到的距离，再结合三角形面积的关系式和三角形的面积公式，从而建立方程得出，再结合“1”的妙用和基本不等式求最值的方法，从而得出3a＋4b的最小值.
（1），
则函数的最小正周期.
（2）由（1）可知，当，即时，取得最大值为，则，，
因为平分，所以，则点分别到的距离，
由，则，即，整理可得，
，当且仅当，即时，等号成立，
故最小值为.
19．【答案】（1）解：由题意，，
在处，，，
所以曲线在处的切线方程为.
（2）解：解法一：由（1）可得，
因为，故与同号，
令，因为与在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，所以是的唯一零点，
所以是的唯一解，
与的情况如下：
－ 0 ＋
极小值
所以的单调递增区间是，递减区间是.
解法二：当时，，，
所以，故单调递减；
当时，，，
所以，故单调递增，
所以的单调递增区间是，递减区间是.
（3）解：当且时，则，
又由（2）知函数在上单调递增，
若对于恒成立，
则，两边取对数得出，
所以对于恒成立，
设，
则，
令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
所以的最小值为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】解：（1）先求导函数，再结合代入法求出和的值，再根据导数的几何意义得出切线的斜率，则由点斜式得出所求切线方程.
（2）利用两种方法求解.
方法一：可将导函数化为，从而得出函数与同号，再根据的单调性和，即可得出导数的正负情况，从而得出函数的单调区间.
方法二：可依据当时，且；当时，且，从而判断出的正负情况，进而得出函数的单调区间.
（3）先由且得出，再依据已知条件结合函数在上单调性，从而得出，再两边取对数变形得出对于恒成立，再利用导数求出函数的最大值，则根据不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数t的取值范围，进而得出实数t的最小值.
（1）由题，在处，，，
所以曲线在处的切线方程为.
（2）解法一：由（1）可得，
因为，故与同号．
令，因为与在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，所以是的唯一零点，
所以是的唯一解，
与的情况如下：
－ 0 ＋
极小值
所以的单调递增区间是，递减区间是.
解法二：当时，，，所以，故单调递减；
当时，，，所以，故单调递增，
所以的单调递增区间是，递减区间是.
（3）且时，又由（2）知函数在上单调递增，
若对于恒成立，则，两边取对数得，
所以对于恒成立，
设，则，
令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
所以的最小值为.
20．【答案】（1）解：设，
根据函数的物理意义可知：
，
由题意可知，当时，，
则，所以，则，
又因为函数的最小正周期为，
所以，
所以.
（2）解：根据题意可知，，即，
当水轮转动一圈时，，，
可得：，
所以，此时，
解得，
又因为 （秒，
即水轮转动任意一圈内，有秒的时间点距水面的高度不低于2米．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；含三角函数的复合函数的周期；三角函数模型的应用-匀速圆周运动
【解析】【分析】（1）利用已知条件，设出函数的解析式，再结合题意和物理意以及待定系数法，从而确定参数值，即可求出函数的解析式.
（2）结合（1）中函数的解析式求解三角不等式，即可确定点距水面的高度不低于2米的时间．
（1）解：设，
根据函数的物理意义可知：
，
由题意可知当时，，
则，所以，
则，
又因为函数的最小正周期为，
所以，
所以；
（2）解：根据题意可知，，
即，
当水轮转动一圈时，，，
可得：，
所以此时，
解得，
又因为 （秒，
即水轮转动任意一圈内，有秒的时间点距水面的高度不低于2米．
21．【答案】（1）解：由椭圆方程可知：，
则，显然直线的斜率存在，
设直线的方程为，，
联立，消去得，，
所以，
即，且，
因为，所以，
所以，
即，
所以，
整理得，
即，
化简得，即满足条件，
所以，直线的方程为或，
即直线的方程为或.
（2）证明：由题意可知，
设直线的方程为，，
则直线的方程为，，
联立，消去得，
所以，
所以，
所以，
同理联立，消去得，
所以，
所以，
所以，即的中点，
所以
当且仅当，即时取等号，
所以的面积最大值为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程结合韦达定理得出，再由得出，则根据数量积的坐标表示得出直线的斜率，从而得出直线的方程.
（2）设直线的方程为，则直线的方程为，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理和中点坐标公式，从而求出中点的坐标，观察坐标得出直线的中点坐标在轴上，即证出直线过定点，再由三角形面积公式，则，整理后结合基本不等式求最值的方法，则得出面积的最大值.
（1）由椭圆方程可知：，
则，显然直线的斜率存在，
设直线的方程为，，
联立消去得，，
所以，即.
且，
因为，所以，
所以，即，
所以，
整理得，
即，
化简得，即满足条件，
所以直线的方程为或，
即直线的方程为或.
（2）由题意，，
设直线的方程为，，
则直线的方程为，，
联立消去得，
所以
所以
所以，
同理联立消去得，
所以
所以
所以，
即的中点.
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的面积最大值为.
22．【答案】（1）解：设，
则，
同理.
（2）解：①由（1），可得，则，
当时，，，，即单调递减；
当时，，即单调递增，
故，
又由时，趋近于0的速度远远快于趋近于的速度，
故，，
因此只需且，即由零点存在性定理可知，
，，则存在两个零点，故.
证明：② ，
由①可得，，故只需证明，
令，设，
则，
且，
则，
，
所以函数单调递增，且，
故，单调递增，则，
则，否则，
即单调递减，不符合题意，
因为，故原命题成立，
所以随增大而减小.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；极限及其运算；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）设，根据导数的定义和函数的极限的关系，从而写出和的表达式.
（2）①由（1）判断出函数单调性，从而求出，再结合零点存在性定理，从而得到存在两个零点和实数a的取值范围.
②由题设中的定义，从而求得，只需证明，令，设，得到，再求得，从而得到，再结合，从而证出不等式成立，从而得出随增大而减小.
（1）解：设，
则，
同理.
（2）解：①由（1），可得，则，
且时，，，
即单调递减，时，即单调递增，
故，
又由时，趋近于0的速度远远快于趋近于的速度，
故，，因此只需且，
即由零点存在性定理，，，存在两个零点，故；
②由，
由①可得，，故只需证明，
令，设，
则，且，
则，
又单调递增，且，故，单调递增，则，
必然，否则即单调递减，不符合题意，
，故原命题成立。
所以随增大而减小.
1 / 1湖南省岳阳市临湘市2025届高三上学期11月期中考试数学试题
1．（2024高三上·临湘期中）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：因为，
其在复平面内对应的点为，位于第二象限.
故答案为：B.
【分析】根据复数除法运算法则得出复数z，结合复数的几何意义得出复数在复平面内对应的点坐标，再根据点的坐标确定点所在的象限.
2．（2024高三上·临湘期中）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：由得，当时，，此时，，故选项C、选项D错误；
当时，，故选项A错误；
当时，则成立，故选项B正确.
故答案为：B.
【分析】根据不等式的基本性质，从而逐项判断找出正确的选项.
3．（2024高三上·临湘期中）中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中，，，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是（参考数据：，铜的密度为8.96）（ ）
A．1kg B．2kg C．3kg D．0.5kg
【答案】A
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得惊鸟铃的体积约为，
所以该惊鸟铃的质量约为（kg）．
故答案为：A．
【分析】根据已知条件和圆锥的体积公式，则得出惊鸟铃的体积，再结合质量公式求出该惊鸟铃的质量.
4．（2024高三上·临湘期中）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式
【解析】【解答】解：若，，，则，充分性成立；
若，可能，，此时，所以必要性不成立，
综上所述，“”是“”的充分不必要条件．
故答案为：A．
【分析】根据基本不等式和不等式的性质以及特殊值法，再利用充分条件、必要条件的判断方法，则找出正确的选项．
5．（2024高三上·临湘期中）在中，为边上一点，，且的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：依题意，如图：
因为，解得，
所以为等腰三角形，则，
在中，由正弦定理可得，
即，解得，
因为，所以为锐角，
所以，
所以
.
故答案为：A.
【分析】由三角形的面积公式求出的长，再根据等腰三角形的定义，则判断出为等腰三角形，则，在中，由正弦定理求出的值，再根据同角三角函数基本关系式求出的值，则由和两角差的正弦公式，从而得出的值.
6．（2024高三上·临湘期中）设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：依题意可得ω>0 ，因为x∈（0，π），所以 ，
要使函数在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx， 的图象如下所示：
则，
解得 ，
即ω∈ ．
故选：C
【分析】由x的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式，解得即可．
7．（2024高三上·临湘期中）直线l过双曲线E：的左顶点A，斜率为，与双曲线的渐近线分别相交于M，N两点，且，则E的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：由题意得直线为，双曲线的渐近线方程为，
由，得，即，
由，得，即，
因为，所以，
所以，化简得，
所以，
所以双曲线的离心率为.
故答案为：A.
【分析】根据题意求出直线的方程，分别与两条渐近线方程联立求出两点的纵坐标，由结合向量共线的坐标表示，则求出的关系，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式和双曲线的离心率公式，则得出双曲线的离心率.
8．（2024高三上·临湘期中）已知函数f(x)＝ax＋ex－(1＋ln a)x(，a≠1)，对任意x1，x2∈[0，1]，不等式|f(x1)－f(x2)|≤aln a＋e－4恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B．[2，e] C．[e，＋∞) D．(e，＋∞)
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：依题意，，①
因为，
当时，对任意的，，，，恒有；
当时，，，，，恒有，
所以在是单调递增函数，
那么对任意的，，不等式恒成立，
只需，②
因为，，
所以，
即，即，
所以，则，当时，①显然成立.
故答案为：C.
【分析】利用导数判断出函数在是单调性，对任意的，，不等式恒成立，则转化为，再求出函数的最值，则，即，解不等式得出实数a的取值范围.
9．（2024高三上·临湘期中）已知数列是等差数列，是等比数列，则下列说法中正确的是（ ）
A．将数列的前m项去掉，其余各项依次构成的数列是等差数列
B．数列，，，…，是等差数列
C．将数列的前m项去掉，其余各项依次构成的数列不是等比数列
D．数列，，，，…，是等比数列
【答案】A,B,D
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：对于A： 设的公差为，将数列的前m项去掉，
其余各项依次为，则故构成的数列依然是等差数列，故A正确；
对于B：因为数列是等差数列，
所以数列，，，…，，
所以构成公差为的等差数列，故B正确；
对于C：设的公比为，等比数列去掉前m项后，
其余各项依次为，
所以依然构成等比数列，故C错误；
对于D：设公比为，所以，
故数列，，，，…，是等比数列，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由等差数列的定义、等比数列的定义，从而逐项判断找出说法正确的选项.
10．（2024高三上·临湘期中）已知函数和且，若两函数图象相交，则其交点的个数可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A,B,C
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；导数的几何意义
【解析】【解答】（一）当时，函数和的图象呈现以下三种情况：
如图2，当函数和的图象只有一个公共点时，此公共点必在直线上，且函数图象在此公共点的切线即为直线，，
所以有，则，，所以，
即公共点为，
结合图象有以下结论：
（1）当时，函数和的图象没有公共点（如图1）；
（2）当函数和的图象只有一个公共点（如图2）；
（3）当函数和的图象有两个公共点（如图3）．
（二）当时，函数和的图象呈现以下三种情况（把图象适当放大）：
图5中，函数和的图象只有一个公共点，此公共点在直线上，且在该公共点处，有公切线，此公切线斜率为（与直线垂直），
所以，解得，即公共点为，
结合图象得以下结论：
（4）当时，函数和的图象有三个公共点（如图4）；
（5）当时，函数和的图象有一个公共点（如图5）；
（6）当时，函数和的图象有一个公共点（如图6）；
（5）（6）可合二为一：当时，函数和的图象有一个公共点．
综上，函数与的图象的交点个数可为0，1，2，3，
故答案为：ABC．
【分析】利用已知条件和指数函数的图象、对数函数的图象，再利用导数求函数在此公共点的切线的方法，从而判断出两函数图象的交点的个数．
11．（2024高三上·临湘期中）已知函数的定义域为R，，，则（ ）
A． B．
C．为奇函数 D．
【答案】B,C,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：对于A：令，，则，将代入得，即，故A错误；
对于B：由，令可得，
若存在x使得，
则上式变为，显然不成立，所以，
又，
因为，所以，
将整理为，
因为，即，所以，故B正确；
对于C：令，
则，
且，所以为奇函数，故C正确；
对于D：当时，，，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，
由可知，
因为，所以，
所以，故D正确；
故选：BCD．
【分析】利用赋值法求得即可判断A；利用赋值可得，并且判断出，由不等式的性质可得，即可判断B；利用函数的奇偶性以及的值即可判断C；利用等比数列的判定可得的通项公式，利用等比数列的求和公式可得，即可判断D．
12．（2024高三上·临湘期中）设是定义在上的可导函数，其导数为，若是奇函数，且对于任意的，，则对于任意的，下列说法正确的是（ ）
A．都是的周期 B．曲线关于点对称
C．曲线关于直线对称 D．都是偶函数
【答案】B,C
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；简单复合函数求导法则；图形的对称性
【解析】【解答】解：由是奇函数，故，
则，则，
即，故关于对称，
由，则，即，
故关于中心对称，
由，则，
又因为，故，
即，则，
故，即，
故，故周期为.
对于A：当时，，故A错误；
对于B：由周期为，故，
又因为，故，
故，
故曲线关于点对称，故B正确；
对于C：由周期为，故，
又因为，故，
故曲线关于直线对称，故C正确；
对于D：由选项B得，故，
又因为周期为，则，故，
又因为，则函数都是奇函数，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】结合题意，借助导数的运算法则，则可判断函数的对称性，再借助赋值法和 周期函数的定义，则得出函数的周期，再利用函数的周期性和函数的图象的对称性，从而逐项判断找出说法正确的选项.
13．（2024高三上·临湘期中）已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝ .
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为α，β均为锐角，所以－<α－β<，
又因为sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝，
又因为sin α＝，所以cos α＝，
所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝，
所以β＝.
故答案为：.
【分析】通过α，β，α－β的取值范围求出这些角的正弦值和余弦值，再通过sin β＝sin[α－(α－β)]和两角差的正弦公式，从而可得sinβ的值，进而可得角β的值.
14．（2024高三上·临湘期中）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则 ．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从写有数字1，2，2，3，4，5，6的7张卡片中任取3张共有种取法，
其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有种，
所以.
故答案为：.
【分析】根据古典概率公式和组合数公式，从而得出的值.
15．（2024高三上·临湘期中）设函数，若恒成立，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：当时，；
当时，，
当时，；
当时，；
若恒成立，则，即，
所以，
所以，当，时，取到最小值.
故答案为：.
【分析】根据对数的单调性可得当时，；当时，，即可由不等式恒成立问题求解方法，从而得出，再由二次函数的开口方向和对称性以及单调性，得出二次函数的最小值，即得出的最小值.
16．（2024高三上·临湘期中）已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：易知当时，；
当时，，
因为，所以，
令，得，则，故，
令，则，
令得；令得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，，
因为，所以，
则的取值范围为.
故答案为：.
【分析】先求函数的值域，再由题意得到，根据，可将化简为，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值即可.
17．（2024高三上·临湘期中）的内角所对的边分别为，是边上的一点，且满足，若，．
（1）求；
（2）求三角形的面积．
【答案】（1）解：因为，由正弦定理得，整理可得，
即且，
则，可得，
因为，所以.
（2）解：因为，可得，两边平方得，即，
整理可得，解得（舍负），
所以三角形的面积．
【知识点】平面向量的数量积运算；空间向量基本定理；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据题意和正弦定理边化角，再结合三角恒等变换和三角形中角C的取值范围，从而得出角B的余弦值，再根据三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值.
（2）由已知条件和空间向量基本定理以及数量积的运算法则，从而解方程得出a的值，再根据三角形的面积公式得出三角形的面积．
（1）因为，由正弦定理得，
整理可得，即，
且，则，可得，
因为，所以.
（2）因为，可得，
两边平方得，即，
整理可得，解得（舍负），
所以三角形的面积．
18．（2024高三上·临湘期中）已知向量，，函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线交AB于点D，若恰好为函数的最大值，且此时，求3a＋4b的最小值．
【答案】（1）解：
，
则函数的最小正周期.
（2）解：由（1）可知，
当，即时，取得最大值为，
则，，
因为平分，所以，
则点分别到的距离，
由，
则，
即，整理可得，
则
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故最小值为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据数量积的坐标表示和三角恒等变换，从而化简函数为正弦型函数，再结合正弦型函数的最小正周期公式，则得出函数的最小正周期.
（2）由（1）可知，根据换元法和正弦函数的图象求最值的方法，则得出函数的最大值，再利用角平分线的性质得出点分别到的距离，再结合三角形面积的关系式和三角形的面积公式，从而建立方程得出，再结合“1”的妙用和基本不等式求最值的方法，从而得出3a＋4b的最小值.
（1），
则函数的最小正周期.
（2）由（1）可知，当，即时，取得最大值为，则，，
因为平分，所以，则点分别到的距离，
由，则，即，整理可得，
，当且仅当，即时，等号成立，
故最小值为.
19．（2024高三上·临湘期中）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）设，若对于恒成立，求的最小值．
【答案】（1）解：由题意，，
在处，，，
所以曲线在处的切线方程为.
（2）解：解法一：由（1）可得，
因为，故与同号，
令，因为与在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，所以是的唯一零点，
所以是的唯一解，
与的情况如下：
－ 0 ＋
极小值
所以的单调递增区间是，递减区间是.
解法二：当时，，，
所以，故单调递减；
当时，，，
所以，故单调递增，
所以的单调递增区间是，递减区间是.
（3）解：当且时，则，
又由（2）知函数在上单调递增，
若对于恒成立，
则，两边取对数得出，
所以对于恒成立，
设，
则，
令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
所以的最小值为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】解：（1）先求导函数，再结合代入法求出和的值，再根据导数的几何意义得出切线的斜率，则由点斜式得出所求切线方程.
（2）利用两种方法求解.
方法一：可将导函数化为，从而得出函数与同号，再根据的单调性和，即可得出导数的正负情况，从而得出函数的单调区间.
方法二：可依据当时，且；当时，且，从而判断出的正负情况，进而得出函数的单调区间.
（3）先由且得出，再依据已知条件结合函数在上单调性，从而得出，再两边取对数变形得出对于恒成立，再利用导数求出函数的最大值，则根据不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数t的取值范围，进而得出实数t的最小值.
（1）由题，在处，，，
所以曲线在处的切线方程为.
（2）解法一：由（1）可得，
因为，故与同号．
令，因为与在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，所以是的唯一零点，
所以是的唯一解，
与的情况如下：
－ 0 ＋
极小值
所以的单调递增区间是，递减区间是.
解法二：当时，，，所以，故单调递减；
当时，，，所以，故单调递增，
所以的单调递增区间是，递减区间是.
（3）且时，又由（2）知函数在上单调递增，
若对于恒成立，则，两边取对数得，
所以对于恒成立，
设，则，
令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
所以的最小值为.
20．（2024高三上·临湘期中）一个半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米．已知水轮按逆时针作匀速转动，每6秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．
（1）以过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线L的直线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；
（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距离水面的高度不低于2米？
【答案】（1）解：设，
根据函数的物理意义可知：
，
由题意可知，当时，，
则，所以，则，
又因为函数的最小正周期为，
所以，
所以.
（2）解：根据题意可知，，即，
当水轮转动一圈时，，，
可得：，
所以，此时，
解得，
又因为 （秒，
即水轮转动任意一圈内，有秒的时间点距水面的高度不低于2米．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；含三角函数的复合函数的周期；三角函数模型的应用-匀速圆周运动
【解析】【分析】（1）利用已知条件，设出函数的解析式，再结合题意和物理意以及待定系数法，从而确定参数值，即可求出函数的解析式.
（2）结合（1）中函数的解析式求解三角不等式，即可确定点距水面的高度不低于2米的时间．
（1）解：设，
根据函数的物理意义可知：
，
由题意可知当时，，
则，所以，
则，
又因为函数的最小正周期为，
所以，
所以；
（2）解：根据题意可知，，
即，
当水轮转动一圈时，，，
可得：，
所以此时，
解得，
又因为 （秒，
即水轮转动任意一圈内，有秒的时间点距水面的高度不低于2米．
21．（2024高三上·临湘期中）已知椭圆的标准方程，其左右焦点分别为．
（1）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程；
（2）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，证直线过定点，并求面积的最大值．
【答案】（1）解：由椭圆方程可知：，
则，显然直线的斜率存在，
设直线的方程为，，
联立，消去得，，
所以，
即，且，
因为，所以，
所以，
即，
所以，
整理得，
即，
化简得，即满足条件，
所以，直线的方程为或，
即直线的方程为或.
（2）证明：由题意可知，
设直线的方程为，，
则直线的方程为，，
联立，消去得，
所以，
所以，
所以，
同理联立，消去得，
所以，
所以，
所以，即的中点，
所以
当且仅当，即时取等号，
所以的面积最大值为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程结合韦达定理得出，再由得出，则根据数量积的坐标表示得出直线的斜率，从而得出直线的方程.
（2）设直线的方程为，则直线的方程为，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理和中点坐标公式，从而求出中点的坐标，观察坐标得出直线的中点坐标在轴上，即证出直线过定点，再由三角形面积公式，则，整理后结合基本不等式求最值的方法，则得出面积的最大值.
（1）由椭圆方程可知：，
则，显然直线的斜率存在，
设直线的方程为，，
联立消去得，，
所以，即.
且，
因为，所以，
所以，即，
所以，
整理得，
即，
化简得，即满足条件，
所以直线的方程为或，
即直线的方程为或.
（2）由题意，，
设直线的方程为，，
则直线的方程为，，
联立消去得，
所以
所以
所以，
同理联立消去得，
所以
所以
所以，
即的中点.
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的面积最大值为.
22．（2024高三上·临湘期中）多元导数在微积分学中有重要的应用.设是由，，…等多个自变量唯一确定的因变量，则当变化为时，变化为，记为对的导数，其符号为.和一般导数一样，若在上，已知，则随着的增大而增大；反之，已知，则随着的增大而减小.多元导数除满足一般分式的运算性质外，还具有下列性质：①可加性：；②乘法法则：；③除法法则：；④复合法则：.记.（为自然对数的底数），
（1）写出和的表达式；
（2）已知方程有两实根，.
①求出的取值范围；
②证明，并写出随的变化趋势.
【答案】（1）解：设，
则，
同理.
（2）解：①由（1），可得，则，
当时，，，，即单调递减；
当时，，即单调递增，
故，
又由时，趋近于0的速度远远快于趋近于的速度，
故，，
因此只需且，即由零点存在性定理可知，
，，则存在两个零点，故.
证明：② ，
由①可得，，故只需证明，
令，设，
则，
且，
则，
，
所以函数单调递增，且，
故，单调递增，则，
则，否则，
即单调递减，不符合题意，
因为，故原命题成立，
所以随增大而减小.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；极限及其运算；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）设，根据导数的定义和函数的极限的关系，从而写出和的表达式.
（2）①由（1）判断出函数单调性，从而求出，再结合零点存在性定理，从而得到存在两个零点和实数a的取值范围.
②由题设中的定义，从而求得，只需证明，令，设，得到，再求得，从而得到，再结合，从而证出不等式成立，从而得出随增大而减小.
（1）解：设，
则，
同理.
（2）解：①由（1），可得，则，
且时，，，
即单调递减，时，即单调递增，
故，
又由时，趋近于0的速度远远快于趋近于的速度，
故，，因此只需且，
即由零点存在性定理，，，存在两个零点，故；
②由，
由①可得，，故只需证明，
令，设，
则，且，
则，
又单调递增，且，故，单调递增，则，
必然，否则即单调递减，不符合题意，
，故原命题成立。
所以随增大而减小.
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