广西“贵百河—武鸣高中”2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)

广西“贵百河—武鸣高中”2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知直线l过原点且与直线垂直，求直线l一个方向向量是( )
A. B. C. D.
2．设向量，，若，则( )
A.2 B.1 C.-1 D.-2
3．已知点，，向量，求向量与夹角的余弦值( )
A. B. C. D.
4．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围( )
A. B. C. D.
5．2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号,,卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功.该卫星主要用于地面雷达设备标校和测量，为地面光学设备成像试验和低轨空间环境探测监视试验提供支持，为大气空间环境测量和轨道预报模型修正提供服务.假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，求天平三号卫星运行的轨迹方程可为( )
A. B. C. D.
6．如图，在直三棱柱中，,,E,F分别为,的中点，则直线到平面的距离为( )
A. B. C. D.
7．若双曲线的渐近线与已知圆相切，则( )
A. B. C. D.1
8．设，过定点M的动直线和过定点N的动直线交于点，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．直线l的方向向量为，平面的法向量，则下列命题为真命题的是( )
A.若，则直线平面
B.若，则直线平面
C.若，则直线l与平面所成角的大小为
D.若，则直线l与平面所成角的大小为
10．已知圆，直线，则( )
A.当时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1
B.圆C与圆恰有三条公切线
C.直线l恒过定点
D.直线l与圆C有两个交点
11．已知方程表示的曲线为E，则( )
A.当时，曲线E为焦点在x轴上的椭圆
B.当时，曲线E为焦点在x轴上的椭圆
C.当时，曲线E为焦点在y轴上的双曲线
D.当时，曲线E为焦点在y轴上的双曲线
三、填空题
12．过抛物线的焦点F的直线交于A,B两点，则抛物线的方程为____.
13．如图，已知E、F分别是四面体的棱、的中点，点G在线段上，且，设向量，，，则____.（用表示）
14．已知点,，若圆上存在点P满足，则实数m的取值范围是____.
四、解答题
15．2024年7月11日是郑和下西洋620周年纪念日，也是第20个中国航海日.设立“航海日”对于我国开发海洋、维护海权、加强海防、实现建设航天强国和海洋强国的目的，有着十分深远的战略意义.在某次任务中，为了保证南沙群岛附近海域航行的安全，我国航海部门在南沙群岛的中心岛屿O正西与正北两个方向，分别设立了观测站A,B，它们与南沙群岛中心岛屿O的距离分别为15海里和海里.某时段，为了检测观察的实际范围（即安全预警区），派出一艘观察船M，始终要求巡视行驶过程中观察船M的位置到观测站A的距离与南沙群岛中心岛屿O的距离之商为4.
(1)求小船M的运动轨迹方程；
(2)为了探查更远的范围，航海部门又安排一艘巡艇，从观测站A出发，往观测站B方向直线行驶，规定巡艇不进入预警区，求a的取值范围.
16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点.
(1)若焦距为，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程；
(2)若，且长轴长为，的面积为，求b的值.
17．如图，已知在四棱锥中，平面平面，在四边形ABCD中，，，在中，,，点E是棱上靠近S端的三等分点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
18．已知点N的坐标为，过点N的直线l与抛物线C：交于A,B两点，且，连接，直线l斜率与直线的斜率之积为-2.
(1)求p的值；
(2)若线段的垂直平分线与抛物线C交于E，F两点，求的面积.
19．已知，分别为双曲线的左，右焦点，与x轴分别交于点A，B，它的一条渐近线的斜率为，且右焦点到该渐近线的距离为.
(1)求双曲线M的方程；
(2)若过的直线与曲线M交于C，D两点（C，D不与两个顶点重合），记直线，的斜率为，，证明：为定值.
(3)若动点H在曲线M的左支上，定点，点P为圆上一动点，则求的最小值.
参考答案
1．答案：D
2．答案：C
3．答案：B
4．答案：D
5．答案：A
6．答案：B
7．答案：A
8．答案：B
9．答案：BD
10．答案：BCD
11．答案：ACD
13．答案：.
14．答案：
15．答案(1)根据已知条件设以O为坐标原点，,为x,y轴的正方向，建立平面直角坐标系，根据已知条件设且,，
由有
，
；
，
即，
整理得，它是以为圆心，4为半径的圆.
所以小船M的运动的轨迹方程为：.
(2)由(1)可知，过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直，
所以直线截距式方程为
化为一般式方程为，
根据题意，，解得，
所以综上可知a的取值范围为.
16．答案：：(1)已知，因为，所以，
点在椭圆上，将其代入椭圆的，
可得，即①，
又因为，即②，
联立①②，整理得，解得或，
因为，所以，
所以，
故椭圆C的标准方程为；
(2)因为，所以的面积，
则，
因为长轴长为，即，
根据椭圆的定义得，
所以，即③，
由余弦定理可得，
整理得④，
联立③④得：，即，
则，所以，
在椭圆中有，即，
解得.
17．答案：(1)取中点O，连接，过O点作，交于点M，
由题可知，，，则，，且，
因为，即，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
在四边形中，，则，
且，则，
以点O为坐标原点，,,分别为x,y,z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则,,,,，
可得，且点E是棱上靠近S端的三等分点，
则，可知.
且,，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则,，可得.
又因为，则，
可得，且平面，所以平面.
(2)由(1)易知,，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则,，可得.
设平面与平面夹角的为，
则，
故平面与平面的夹角的余弦值为.
18．答案：(1)设,，直线l斜率为k，
由题可知：点,，
则直线的斜率为：；
因为直线l斜率与直线的斜率之积为-2，
则，解得，
又因为点，过点N的直线l与抛物线C交于A,B两点，
故直线l的方程为，即，
联立方程，消去y可得，
则，可得,，
因为，则，
整理可得，即，解得.
(2)由题可知，直线垂直平分线段AB，
设线段AB的中点为，直线的斜率为，
由(1)知，则，即，
且，所以直线的方程为，即，
联立方程，消去y可得，
可得，
设,，则,，
所以，
且点O到直线的距离为，
所以的面积为.
19．答案：(1)因为双曲线M的一条渐近线的斜率为，
所以，，
则双曲线M的一条渐近线的方程为，
因为，
所以右焦点到渐近线的距离为，
所以，则，，
所以双曲线M的方程为.
(2)
依题意可知，A，B表示双曲线M的两个顶点，由(1)可知，，
设，.
因为C,D不与A,B重合，所以可设直线.
联立消x得：，
故，，
所以，，，
所以.
(3)
由(1)可知，设，为曲线M的左右焦点，
圆Q半径为，圆心，
，
，
(当且仅当H，Q，P共线且P在H，Q之间时取等号)，
，
当且仅当H是线段与双曲线的交点时取等号.
的最小值是7.