2025福建高中春季高考学业水平考试数学测试题（含解析）

2025福建高中春季高考学业水平考试数学测试题
（考试时间：90分钟；满分：100分）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．
参考公式：
样本数据的标准差
其中为样本平均数
柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高台体体积公式，
其中，S分别为上、下底面面积，h为高
锥体体积公式，其中S为底面面积，h为高
球的表面积公式，球的体积公式，其中R为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 57分）
一、选择题（本题共19小题，每小题3分，共计57分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知复数，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．（ ）
A．4 B． C． D．2
4．（ ）
A． B． C． D．
5．函数的最小正周期为（ ）
A．4 B． C．8 D．
6．某校为了解高一年级学生的体育健康标准测试（简称“体测”）成绩的分布情况，从该年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学生的成绩，并进行分组：，，，，，绘制成如下频率分布直方图，频率分布直方图中a的值是（ ）
A．0.017 B．0.018 C．0.020 D．0.023
7．已知函数为幂函数，则实数m的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
8．用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中，，则原的周长为（ ）
A． B． C．10 D．12
9．砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻 气韵生动 极富书卷气.一扇环形砖雕如图所示.若，且扇形的弧长为，则该扇环的面积为（ ）
A． B．4 C． D．
10．已知，，则（ ）
A． B．1 C． D．5
11．已知，则的最小值为（ ）
A． B．0 C．4 D．8
12．下列函数中，在其定义域上是减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
13．不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
14．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是（ ）
A．“恰有一名男生”和“全是男生” B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生”
C．“至少有一名男生”和“全是男生” D．“至少有一名男生”和“全是女生”
15．假设，且A与B相互独立，则（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.7 D．0.58
16．如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点.若，则三棱锥的体积是（ ）
A．72 B．54 C．36 D．18
17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
18．设函数，若在上单调递增，则a的取值范围为( ).
A． B． C． D．
19．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C．3 D．4
第Ⅱ卷（非选择题 43分）
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上．）
20．设向量、满足，，，则 .
21．关于的不等式的解集为，则 ．
22．若为偶函数，则实数 .
23．将个数据按照从小到大的顺序排列如下:，若该组数据的分位数为22，则 ．
三、解答题（本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
24.（本小题满分8分）
某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分．现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为 [ 40,50），[ 50,60），[ 60,70），[ 70,80），[ 80,90），[ 90,100 ]，共6组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求m的值，并求这100名学生成绩的平均数和中位数（保留一位小数）；
(2)现采用分层抽样的方式从 [ 50,60）和 [ 70,80）的学生中抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者分数差大于10分的概率．
25.（本小题满分9分）
中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力．中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速.现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入108万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入100万元
(1)求该芯片公司买该套生产设备产生的前年的总盈利额；
(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以54万元的价格处理，哪种方案较为合理 并说明理由(注：年平均盈利额=总盈利额)
26.（本小题满分10分）
已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)若，求函数的值域.
(3)若函数在上有且仅有两个零点，则求m的取值范围.
参考答案
一、选择题（本题共19小题，每小题3分，共计57分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
答案 B C D B D C B D A C B D D A D C C B D
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上．）
20、
21、
22、
23、21
三、解答题（本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
24.（本小题满分8分）
【答案】(1)，平均数为72分 ，中位数为 分
(2)
【知识点】由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计中位数
【分析】（1）利用个小矩形面积之和为1求解，再利用平均数和中位数的公式求解即可；
（2）先求出每个区间抽取的人数，然后利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】（1），解得，
平均数为，
中位数为 分；
（2）在[ 50，60）中抽取人，记为；
在[ 70，80）中抽取人，记为. 所有的取法为：共15种.
，满足条件的有共8种.
所求概率为.
25.（本小题满分9分）
【答案】(1)，
(2)方案二更合理，理由见解析
【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用
【分析】（1）依题意可得，即可得到解析式；
（2）根据二次函数的性质求出方案一的总利额，再由，利用基本不等式求出年平均盈利额达到最大值时的值，即可求出方案二的总利额，即可判断.
【详解】（1）依题意可得，；
（2）方案一：总盈利额，
又，
所以当或时，取得最大值，此时处理掉设备，则总利额为万元；
方案二：年平均盈利额为，
当且仅当，即时，等号成立；
即时，年平均盈利额最大，此时，
此时处理掉设备：总利润为万元；
综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要年即可，故方案二更合适．
26.（本小题满分10分）
【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为，；
(2)
(3)
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、根据函数零点的个数求参数范围、求sinx型三角函数的单调性
【分析】（1）利用三角恒等变换得到，求出最小正周期，整体法得到函数单调递增区间；
（2）在（1）基础上，得到，求出；
（3）转化为在上有且仅有两个解，求出，数形结合得到，求出答案.
【详解】（1）
，
的最小正周期，
令，，
解得，
故单调递增区为，；
（2），，
故，，
故函数值域为；
（3）函数，
即，，
故在上有且仅有两个零点，
等价于在上有且仅有两个解，
，，
要想在上有且仅有两个解，
则，解得，
故m的取值范围为.