江苏省“高中教育高质量发展联盟”2025届高三上学期12月联合调研考试数学试题（含答案）

江苏省“高中教育高质量发展联盟”2025届高三上学期12月联合调研考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量是单位向量，若，则( )
A. B. C. D.
4.等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
5.设正三棱锥的一个侧面三角形面积是底面面积的两倍，则其侧面与底面所成的二面角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.已知、是轴上两定点，、是轴上两动点，则直线与的交点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
7.若函数在内存在两个零点且和为，则正数的最小值为( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，若两点连线的斜率为，则下列各式一定为正数的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在四棱柱中，是线段上的动点不包括两个端点，则下列三棱锥的体积为定值的是( )
A. 三棱锥 B. 三棱锥
C. 三棱锥 D. 三棱锥
10.有一组样本数据，，，，，，，，下列说法正确的是( )
A. 若该组数据的平均数为，则 B. 若该组数据的中位数为，则
C. 当时，该组数据的极差为 D. 当时，该组数据的方差最小
11.已知三次函数，则( )
A. 函数一定有两个极值点 B. 当时，
C. 当时，的极小值为 D. 在区间上的值域为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.展开式中的常数项为 用数字作答
13.若和都为锐角，，则 ．
14.从集合中选取个数，从集合中选取个数．若这个数的和不小于，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在直三棱柱中，．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
已知的三个内角所对边分别为，是边上一点，．
证明：；
若，且，求的面积．
17.本小题分
甲、乙两人参加学校组织的航空航天知识竞赛，规则如下：每轮比赛从题库中随机抽取两个问题，先由甲回答第一题，然后乙回答第二题．答题者若答对则得分，答错则对方得分．当某轮比赛结束后出现一人总分比另一人多分，则比赛结束，得分多者获胜．已知无论之前答题情况如何，甲每题回答正确的概率为，乙每题回答正确的概率为．
记为第一轮答题后甲的总分，求的分布列和数学期望；
求甲在这次竞赛中获胜的概率．
18.本小题分
已知双曲线的离心率为，左顶点为，右焦点为，且．
求的方程；
过点的直线与交于，两点，直线与直线分别交于点，．
若的面积是的面积的倍，求直线的方程；
证明：直线被以为直径的圆截得的弦长小于．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，沿着平行于轴的方向，按照一定的比例对图形的每个点到轴的有向距离进行放缩得到的平面图形，即将点映射到点的操作为固定的参数，这种变换在数学上称为水平错切．设是定义在上的函数，记，则称是的“错切函数”．
设函数的“错切函数”为，
求的最小值；
若与的值域相同，求正数的取值范围．
已知是上的增函数，是的“错切函数”，证明：是的零点当且仅当是的零点．
参考答案
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15.解：由题知面，又面，所以，
又，，面，所以面，
又面，所以，
又，所以四边形是正方形，得到，
又，面，所以平面．
如图，
建立空间直角坐标系，因为，
则，，
得到，，，
直线与平面所成角为，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的法向量为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为．

16.解：由，得到，
整理得到，又，所以，
又，所以，得到，即．
因为，所以，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得到，所以，
整理得到，解得，所以，，，
故的面积为．

17.解：第一轮答题后甲的总分可取，
，
，
，
的分布列为
．
记甲在这次竞赛中获胜为事件，因为甲获胜发生至少经过一轮答题，由知，
一轮回答后有三种情形，由全概率公式得：
，
是指一轮答题后甲得分的条件下甲获胜的概率，为乙获胜，比赛结束；
是指一轮答题后甲得分的条件下甲获胜的概率为；
是指一轮答题后甲得分的条件下甲获胜的概率为；
所以
解得，
求甲在这次竞赛中获胜的概率．

18.解：由双曲线的离心率为，则，
又，联立解得，
则，
故所求的方程为．
由题意，不与轴垂直，右焦点，
设直线方程为，
联立消得，，
由直线与双曲线有两个交点，
则，即．
设，
则，所以有；
且；
设，
由点，得直线方程为，
令，得，又由，得，
同理．
则
；
；
故；
；且．
若的面积是的面积的倍，则，
则，解得，即，满足条件．
故所求直线的方程为或；
设中点，则，即，即以为直径的圆的圆心，
半径；
点到直线即的距离；
由．
当时，以为直径的圆与直线相切，可看作所截弦长为；
当时，以为直径的圆与直线相交，
故直线被截得的弦长，
由，则，因为，
则其中，弦长
综上所述，直线被以为直径的圆截得的弦长小于．

19.解：因为函数的定义域为，，
由可得，由可得，
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以，函数的最小值为；
由可知，函数的值域为，由题意可知，函数的值域为
因为，且，
令，
，令，可得，解得，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，
所以，函数的值域为
要使得函数的值域为
则
所以，，即，可得，解得，
因此，实数的取值范围是．
“”：若为函数的零点，则，
所以，，故为函数的零点；
“”：若为函数的零点，则，
所以，函数存在零点，设函数的零点为，则，
因为函数在上为增函数，且，函数在上为增函数，
又因为函数在上为增函数，则内层函数在上为增函数，
由复合函数法可知，函数在上为增函数，
且，又因为，所以，，即，
所以，为函数的零点．
因此，是的零点当且仅当是的零点．

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