江苏省常州市金坛区第一中学2025届高三上学期12月阶段性检测数学试卷（含答案）

江苏省常州市金坛区第一中学2025届高三上学期12月阶段性检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合则( )
A. B. C. D.
2.已知，是两个虚数，则“，均为纯虚数”是“为实数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知向量满足，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.设是等比数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
5.下列说法不正确的是( )
A. 一组数据的第百分位数为
B. 若随机变量，且，则
C. 若随机变量，则方差
D. 对于回归分析，相关系数的绝对值越小，说明拟合效果越好
6.已知函数是奇函数，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
7.已知过点与圆相切的两条直线的夹角为，设过点与圆相切的两条直线的夹角为，则( )
A. B. C. D.
8.已知正三棱锥的四个顶点均在一个半径为的球面上，则该正三棱锥体积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有个相同的球，分别标有数字，，，，，，从中不放回地随机取两次，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则( )
A. 与为互斥事件 B. 与相互独立 C. D.
10.函数，下列结论正确的是( )
A. 函数在上单调递增
B. 函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到
C. 若关于的方程在上有两个不相等的实数根，则
D. 函数的最大值为
11.如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为，则下列结论正确的是( )
A. 点在曲线上
B. 点在上，则
C. 点在椭圆上，若，则
D. 过作轴的垂线交于两点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，项的系数为 用数字作答
13.已知、分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于，两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点，则双曲线的离心率为 ．
14.已知有两个极值点，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，对应的的三边分别是，，，且B.
求角的值
若，，求的面积．
16.本小题分
已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列．
Ⅰ求的值及数列的通项公式；
Ⅱ若求数列的前项和
17.本小题分
已知椭圆的左焦点为，上顶点为，直线与直线垂直，垂足为，且点是线段的中点．
求椭圆的方程；
若，分别为椭圆的左，右顶点，是椭圆上位于第一象限的一点，直线与直线交于点，且，求点的坐标．
18.本小题分
如图，三棱柱中，侧面底面，是边长为的正三角形，，与平面所成角为．
证明：平面；
若点为中点，点为棱上一点，且满足，是否存在使得平面与平面夹角余弦为，若存在求出值，存不存在请说明理由．
19.本小题分
已知函数，其中
当时，求曲线在处的切线方程
判断函数是否存在极小值，若存在，请求出极小值若不存在，请说明理由
当时，恒成立，求实数的值．
参考答案
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14.
15.解：因为，所以，
则，
所以，，，
故，又，所以．
若，，
解得，舍去，
则，所以，，由，得，
，的面积为．
16.解：Ⅰ，，成等差数列，
，即，
当时，，即，
当时，，
是等比数列，
，则，得，
数列的通项公式为，；
Ⅱ由得 ，
则前项和，
，
两式相减可得
，
化简可得．
17.解：椭圆的左焦点，上顶点，直线与直线垂直
直线的 斜率，即
又点是线段的中点
点的坐标为
又点在直线上

由得：

椭圆的方程为
设
由易得顶点、的坐标为
直线的方程是：
由 得：
又点在椭圆上，故

或舍

点的 坐标为

18.解：
取中点，连结，
为正三角形，，
侧面底面， 平面，平面平面，
面，
与平面所成角为，
即为与平面所成角，即，
，即，
侧面底面，平面，平面平面，
平面．
由可得、且，
连接，则由题，所以，，
所以两两垂直，故可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
设，则，，
，，，，
设平面法向量，平面法向量，
则，即，令，解得，即，
，即，令，解得，即，
，
即，解得或，
存在或使得平面与平面夹角余弦为．

19.解：，
当时，，，
又，
故曲线在处的切线方程为
由
，
解得，．
若，则在，上递减，在上递增．
极小值
若，则恒成立，函数单调递减，无极小值
若，则在，上递减，在递增，
极小值；
由题意得，
因为，所以，
当时，由得在上递减，在上递增，
在上最小值为，
此时存在使得，
不成立，，
下面证明时成立，
当时，，，，
，
当时，恒成立，所以的值为．
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