广东省清远市清新区四校2025届高三上学期12月期末联考模拟预测数学试卷（含答案）

广东省清远市清新区四校2025届高三上学期12月期末联考模拟预测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数等于它共轭复数的倒数的充要条件是( )
A. B. C. D.
3.在等比数列中，，则( )
A. B. C. D.
4.抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
5.已知，分别是双曲线：的左、右焦点，点在双曲线上，，圆：，直线与圆相交于，两点，直线与圆相交于，两点．若四边形的面积为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
6.过圆上一点作圆的两条切线，切点分别为，，若，则实数( )
A. B. C. D.
7.甲、乙、丙等名同学参加政史地三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，则甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数在区间上有且只有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在正方体中，，，分别是面，面，面的中心，则下列结论正确的是
A. B. 平面
C. 平面 D. 与所成的角是
10.下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则的最小值为
C. 若，则的最大值为 D. 若，则
11.已知圆：，圆，、分别是圆与圆上的点，则( )
A. 若圆与圆无公共点，则
B. 当时，两圆公共弦所在直线方程为
C. 当时，则斜率的最大值为
D. 当时，过点作圆两条切线，切点分别为，，则不可能等于
12.已知函数，，其中且若函数，则下列结论正确的是( )
A. 当时，有且只有一个零点
B. 当时，有两个零点
C. 当时，曲线与曲线有且只有两条公切线
D. 若为单调函数，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.第二届广东自由贸易试验区联动发展区合作交流活动于年月日日在湛江举行，某区共有名代表参加，每名代表是否被抽到发言相互独立，且概率均为，记为该区代表中被抽到发言的人数，则 ．
14.函数是奇函数，则 ．
15.已知向量，，则使成立的一个充分不必要条件是 ．
16.如图，在四棱柱中，底面为正方形，，，，且二面角的正切值为若点在底面上运动，点在四棱柱内运动，，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中，角的对边分别为，已知．
求角的大小；
若，求的最小值．
18.本小题分
设是等比数列且公比大于，其前项和为是等差数列，已知，．
求的通项公式；
设，数列的前项和为，求满足的最大整数的值．
19.本小题分
在四棱锥中，底面是正方形，若，，，
求四棱锥的体积；
求直线与平面夹角的正弦值．
20.本小题分
甲乙两队进行篮球比赛，采取五场三胜制当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”，设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立．
在比赛进行场结束的条件下，求甲队获胜的概率；
赛事主办方需要预支球队费用万元．假设主办方在前场比赛每场收入万元，之后的比赛每场收入万元．主办方该如何确定的值，才能使其获利获利总收入预支球队费用的期望高于万元？
21.本小题分
抛物线，双曲线且离心率，过曲线下支上的一点作的切线，其斜率为．
求的标准方程；
直线与交于不同的两点，，以为直径的圆过点，过点作直线的垂线，垂足为，则平面内是否存在定点，使得为定值，若存在，求出定值和定点的坐标；若不存在，请说明理由．
22.本小题分
已知双曲线：的焦点到渐近线的距离为，其中一条渐近线的斜率为．
求双曲线的方程；
设过点的直线与双曲线交于，两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．
参考答案
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15.真包含于的任意范围或取值
16.
17.解：，
由正弦定理得：，
，
又，，
，
；
，，
由余弦定理得：，
当且仅当时等号成立，
，即的最小值为．

18.解：
设的公比为，
因为，所以，即，解得或舍，
所以，
设的公差为，
因为，所以，
所以，解得，所以．
故，．
，
即．
所以
．
，化简得，又，解得．
所以满足的最大整数．

19.解：
取的中点，连接，，
因为，所以，
又，，所以，
在正方形中，，所以，
所以，又，
所以，即，
又，平面，平面，
所以平面，
所以四棱锥的体积为；
过作交于，则，
结合中平面，故可建如图空间直角坐标系：
则，，，，
故，，，
设平面的法向量为，
则，故，取，则，，所以，
设直线与平面夹角为，
则，
所以直线与平面夹角的正弦值为．

20.解：
记事件为“比赛进行场结束”；事件为“甲最终获胜”，
事件表示“第场甲获胜”，
事件为“比赛进行场结束甲获胜”；事件为“比赛进行场结束乙获胜”．
则，
因为各场比赛结果相互独立，
所以
，
，
因为互斥，所以．
又因为，
所以由条件概率计算公式得．
设主办方本次比赛总收入为万元，
由题意：的可能取值为：．
，
，
，
则随机变量的分布列为：
所以．
设主办方本次比赛获利为万元，则，
所以，
由题意：，
所以预支球队的费用应小于万元．

21.解：抛物线，所以，，
所以切点为，
所以切线方程为，因为在切线上，
则，即，
又在双曲线上，又离心率，
所以
解得
故的标准方程为；
根据条件可设直线的方程为，与双曲线方程联列方程组
，消得，
设点，的坐标分别为，
所以，．
因为以为直径的圆过点，故，
所以，
化简得，
将，代入上式并整理得：
，即，
所以或，均满足，
所以直线恒过或，将舍掉，
设为点，所以点在以为直径的圆上，
所以点为的中点，
此时．

22.解：因为双曲线焦点到渐近线的距离为，所以．
因为双曲线的一条渐近线的斜率为，
所以，解得．
所以双曲线的方程为．
设直线的方程为，设定点，
联立，消去得．
所以，且，
解得且．
设点，，则，，
所以，
，
所以
，与无关，
所以令，解得，此时．
所以在轴上存在定点，使得为常数．
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