广东省东莞市“七校联考”2025届高三上学期12月月考数学试卷（含答案）

广东省东莞市“七校联考”2025届高三上学期12月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知，满足，，，则，的夹角为( )
A. B. C. D.
4.已知，，则( )
A. B. C. D.
5.已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为( )
A. B. C. D.
6.古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点或圆球在等距的排列下可以形成正三角形的数，如，，，，，，我国宋元时期数学家朱世杰在四元玉鉴中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛如图所示，从上到下，顶上一层个球，第二层个球，第三层个球，若一“落一形”三角锥垛有层，则该锥垛第层球的个数为( )
A. B. C. D.
7.对任意两个实数，，定义，若，，则下列关于函数的说法正确的是( )
A. 函数是奇函数
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数图象与轴有三个交点
D. 函数最大值为
8.定义在上的函数满足，若且，则( )
A. B.
C. D. 与的大小不确定
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩百分制分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是( )
附：若随机变量服从正态分布，则．
A. 乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩
B. 甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩
C. 甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近
D. 若，则甲同学成绩高于分的概率约为
10.对于函数，给出下列结论，其中正确的有( )
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数在区间上的值域为
C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
D. 曲线在处的切线的斜率为
11.已知双曲线：的左右焦点分别为，且，、、为双曲线上不同的三点，且、两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为，则下列正确的是( )
A. 双曲线的实轴长为
B. 双曲线的离心率为
C. 若，则三角形的周长为
D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点引圆的切线，则切线方程为 ．
13.在中，若，且边上的中线长为，则面积的最大值为 ．
14.已知函数为奇函数，则函数在上的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某校高二年级为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：
语文成绩 合计
优秀 不优秀
数学成绩 优秀
不优秀
合计
根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”请利用样本数据，估计的值．
附：．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为的中点．
证明：平面；
若平面与平面的夹角为，求的长．
17.本小题分
已知数列的前项和为，，数列是以为公差的等差数列．
求数列的通项公式；
若对于任意正整数，都有，求实数的最小值．
18.本小题分
已知函数
当时，求曲线在点处的切线方程；
若函数有两个不同的零点，．
求实数的取值范围；
证明：．
19.本小题分
通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点，
已知平面内点，点，把点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标
已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点逆时针旋转所得的斜椭圆．
(ⅰ)求斜椭圆的离心率
(ⅱ)过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆于点、，过原点作直线与直线垂直，直线交斜椭圆于点、，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14. 或
15.解：零假设为：数学成绩与语文成绩无关，据表中数据计算得
，
根据的独立性检验，我们推断不成立，认为数学成绩与语文成绩有关．
表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”，利用样本数据，则有，，
所以，
则估计的值为．

16.解：连接交于点，连接，如图，
因为为的中点，为的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
因为平面，平面，平面，
所以，，
又，所以，，两两互相垂直，
故以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间坐标系如图所示，
设，则，，，，，
所以，．
显然为平面的一个法向量．
设平面的一个法向量为，
则即
令，得，
因为平面与平面的夹角为，
所以，
解得或舍去，即

17.解：
数列是以为公差的等差数列，且，
，，
当时，；
经检验，当时，满足上式．
由，
则
，
而，所以，即的最小值为．

18.解：当时，，，
，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程是．
函数有两个不同的零点，，
等价于方程有两个不同实根，．
令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，
由于，当时，；
当，，
的大致图象如图所示：
所以，当，即时，
函数有两个不同的零点，．
证明：不妨设，，，
两式相加得，
两式相减得，
所以．
要证，只需证．
即证．
设，令，
则，
所以函数在上单调递增，且，
所以，即．

19.解：由已知可得，则，
设，则，
所以，，即点的坐标为．
由与交点为和，
则，即
由与交点为和，则，
所以，即
则斜椭圆的离心率为．
设直线，与斜椭圆联立得
，
，，
，
设直线，与斜椭圆联立得
，，，
故．
故为定值．
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